7.2. Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).
Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxaпротивоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb ) = (lа ) х b = а х (lb ).
Пусть l>0. Вектор l(ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторыl(ахb ) и ( lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
Поэтому l(a хb )= lахb . Аналогично доказывается при l<0.
3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.
В частности, i *i =j *j =k *k =0.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
(a+b) хс= ахс+b хс.
Примем без доказательства.
Вопрос16 Смешанное произведение
Сме́шанное
произведе́ние 
векторов 
— скалярное
произведение вектора 
на векторное
произведение векторов 
и 
:
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрический
смысл: Модуль
смешанного произведения численно равен
объёму параллелепипеда,
образованного векторами 
.
-
Свойства
-
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
-
Смешанное произведение
в
правой декартовой системе координат
(в ортонормированном базисе)
равно определителю матрицы,
составленной из векторов 
и 
:
-
Смешанное произведение
в
левой декартовой системе координат (в
ортонормированном базисе)
равно определителю матрицы,
составленной из векторов 
и
,
взятому со знаком "минус":
В частности,
-
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
-
Геометрический смысл — Смешанное произведение
по
абсолютному значению равно
объёму параллелепипеда (см.
рисунок), образованного векторами 
и 
;
знак зависит от того, является ли эта
тройка векторов правой или левой
Вопрос17
Матрицы. Основные типы матриц.
Матрица- прямоугольная числовая таблица, содержащая m строк и n столбцов, если матрица составляется из коэффициентов взятых из системы линейно-алгебраических уравнений (СЛАУ),То она называется матрицей СЛАУ
Типы матриц:
Квадратная(матрица размера an,nxn), диагональная (квадратная матрица у которой все элементы вне главной диагонали равны 0), единичная(диагональная матрица с единицами на главной диагонали),нулевая(матрица, элементы которой равны 0),симметрическая, столбцевая(матрица состоит из одного столбца),строчная(матрица состоит из одной строки),вырожденная (если определитель = 0).