Вопрос 29

Однородная система линейных уравнений (СЛОУ)"

Согласно определению 4.2 запишем однородную систему линейных уравнений.

     (7.1).

 

Однородная система всегда совместна, так как всегда имеется тривиальное решение.

Согласно общей теории, если  , то единственным является тривиальное решение.

Если же  , то решений бесконечно много, и все они, кроме одного, нетривиальные.

 

Теорема 7.1 (о нетривиальных решениях однородной системы)

Однородная линейная система с квадратной матрицей  имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

 

Доказательство

По теореме Крамера (5.1)   тогда и только тогда, когда система с квадратной матрицей имеет единственное решение (т.е. векторы – столбцы системы (7.1) – линейно зависимы). В случае если задана система линейных однородных уравнений, это решение – тривиальное  (0,0,…0). Значит, нетривиальные решения имеются тогда и только тогда, когда   (т.е. решений системы бесконечное множество).

 

Любое решение СЛОУ выражается в виде линейной комбинации

 векторов (если  ):

 

, …,  .           (7.2)

Покажем, что вектора   – линейно независимы. Для этого составим матрицу   из их координат:

.

Ниже черты расположен минор порядка  , отличный от нуля         столбцов матрицы   линейно независимы.

Следовательно, вектора   – линейно независимы, т.е. эти вектора образуют базис подпространства.

Вопрос 30

Линейные неравенства - это неравенства, которые представляют собой линейные функции, а системы, это те неравенства, у которых есть или нету общих решений.

Линейные неравенства и системы линейных неравенств с одним неизвестным

 

Под линейными неравенствами понимают неравенства вида

 ax+b>0,  ax+b<0,  ax+b≥0,  ax+b≤0,     

где a и b - действительные числа (a/=0) . Линейные неравенства решают заменой исходного неравенства ему эквивалентным. При этом используются следующие преобразования неравенств, приводящие к эквивалентным неравенствам: прибавление к обеим частям неравенства одного и того же числа и умножение (деление) обеих частей неравенства на одно и то же число. Так, множество решений неравенства

ax+b>0    (1)

может быть найдено следующим образом:

Прибавим к обеим частям неравенства (1) число −b , в результате чего получим эквивалентное неравенство

ax>−b    (2) 

и разделим обе части неравенства на a. Тогда: 1) Если a>0, то получаем неравенство

x>−ab,

которое и дает множество решений исходного неравенства (1). Это множество решений также можно записать в виде

x∈(−ab;+∞) 

 

2) Если a<0, то получаем неравенство

x<−ab

Множество действительных чисел, удовлетворяющих этому неравенству, и есть множество решений исходного неравенства (1):

x∈(−∞;−ab) 

Аналогичным образом могут быть найдены решения любых линейных неравенств.

Множество решений системы двух линейных неравенств

 ax+b>0,  cx+d>0     

находится как пересечение множеств решений этих неравенств.

Вопрос 31

Уравнение Ax + By + C = 0 с произвольными коэффициентами A, B

и C такими, что A и B не равны нулю одновременно, называется

общим уравнением прямой.

Уравнение

x/a + y/b= 1 называется уравнением прямой в отрезках.

В уравнении "в отрезках"числа a и b имеют простой геометрический смысл

они равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ox

и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат).

Уравнение

x − x1/l=y − y1/m

называют каноническим уравнением

прямой.

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым

Коэффициентом