23.2. Методика формування основних понять коливального руху.

Учитель ознайомлює учнів з коливальним рухом, демонструючи коливання тягарця, підвішеного на пружині, і коливання маятника (тягарець на нитці, лінійка тощо). Вибір цих двох прикладів зумовлений тим, що коливання тягарця на пружині й коливання маятника є прикладами двох важливих випадків гармонічних коливань: коливань під дією сил пружності й малих коливань будь-яких коливальних систем.

На першому уроці розглядають тільки основну коливальну ознаку коливального руху – повторюваність станів коливальної системи. Треба уточнити, що саме повторюється. Безпосереднє спостереження механічних коливань дає змогу помітити повторюваність координат. Схематично зображаючи коливальний рух тіла вздовж осі, початок відліку суміщають із середнім положенням тіла (мал.1).

Щоб збудити коливання, треба тягарець на пружині або маятник вивести зі стану рівноваги. Надалі коливання цих тіл підтримуватимуться без зовнішнього впливу (якщо знехтувати тертям).

Вважаємо за доцільне від цих двох прикладів коливального руху відразу перейти до загального поняття коливальної системи. Тягарець на пружині – це не просто тіло, а система взаємодіючих тіл (пружина – тягарець), так само як і маятник (нитка – тягарець – Земля). До початку коливань кожна з цих систем була в стані стійкої рівноваги. Будь-яка система, що перебуває в стані стійкої рівноваги, здатна до вільних коливань, це коливальна система. При вивченні коливальних процесів основний інтерес становить саме поведінка коливальних систем.

Механізм виникнення вільних коливань з’ясовують (описово, без формул), розглядаючи динаміку руху тягарця на пружині. Потім вводять поняття математичного маятника і для нього повторюють аналогічні міркування. Зауважимо, що рівнодійна сил, прикладених до маятника, поводиться досить складно. Але складова її в напрямі дотичної до дуги, яку описує маятник, у будь-якій точці збігається із складовою сили тяжіння в тому самому напрямі. Тому процес вільних коливань математичного маятника можна пов’язувати тільки із складовою сили тяжіння. Якщо динаміку пружних коливань при першому ознайомленні пояснюють без використання формул, то, пояснюючи коливання маятника, краще записати рівняння руху у векторній формі: , а потім перейти до розгляду цього рівняння в проекціях на осі координат.

З’ясувавши роль сили тертя, можна сформулювати умови, за яких можливі вільні коливання в системі, виведеній з рівноваги: 1) в системі мають діяти внутрішні сили, що повертають її в стан рівноваги; 2) тертя повинно бути малим.

Рівняння коливального руху.

Після того, як учні дістануть загальне уявлення про механізм коливань, важливо показати, як коливальний рух описується законами динаміки. При цьому встановлюють, що з кількісного боку коливання тіла на пружині й коливання маятника не відрізняються одне від одного. Саме цей висновок (а не самі викладки) є головним у виведенні рівнянь руху тіла на пружині й математичного маятника.

1. Коливання під дією сили пружності – найпростіший вид гармонічних коливань, і рівняння руху знаходимо безпосередньо з другого закону Ньютона і закону Гука. Для спрощення викладок розглядають пружні коливання тягарця, який ковзає вздовж горизонтального стержня. У цьому разі сила тяжіння в будь-який момент зрівноважена силою реакції стержня. Силою тертя нехтують. Рівняння записують так : .

Однак простіше показати коливання тягарця, підвішеного на вертикальній пружині. Пояснюючи такі коливання, слід зауважити, що сила тяжіння не впливає на характер пружних коливань. Коливання зумовлюються наявністю змінної сили пружності, тоді як сила тяжіння і спричинює тільки деякий додатковий розтяг пружини (зміщення положення рівноваги), а не розгойдування тягарця.

2. Коливання математичного маятника зумовлені сумою двох сил: змінною силою пружності, що діє на тягарець з боку нитки, і силою тяжіння. Роль, яку відіграють ці сили, дещо парадоксальна: коливання маятника зумовлені в кінцевому підсумку сталою силою тяжіння, а не змінною силою пружності. У підручнику це обґрунтовано тим, що робота сили пружності нитки дорівнює нулю на всьому шляху, тому за теоремою про кінетичну енергію, така сила не змінює швидкості маятника за модулем. За цим коротким поясненням стоїть той факт, що вектор сили пружності нитки перпендикулярний до вектора швидкості рухомого маятника в будь-якій точці траєкторії. Саме сталий прямий кут між векторами і виключає вплив змінної сили на модуль швидкості , тоді як кут між сталою силою й вектором швидкості безперервно змінюється, оскільки рух відбувається по дузі.

Отже, зміна кута між силою тяжіння і вектором швидкості є причиною зміни прискорення (тут важлива зміна тангенціальної складової прискорення), а разом з тим і коливального характеру руху маятника.

Аналізуючи рух математичного маятника, роль цієї зміни кута враховують тим, що силу тяжіння замінюють її складовими: тангенціальною , яка лежить на одній осі з вектором швидкості , і нормальною , перпендикулярною до . Проте треба уточнити, до якої системи відліку віднесено всі міркування і виклади. Така система відліку має бути: а) інерціальною, б) нерухомою відносно точки підвісу, бо тільки за такої умови кут між ниткою маятника і його шв-тю буде завжди прямим.

Звичайно користуються «миттєвими» осями координат, тобто для кожної точки траєкторії береться своя пара осей: нормальна і тангенціальна. При цьому не осі рухаються разом з маятником, а маятник проходить уявно через послідовність ортогональних нерухомих координатних осей.

Другий закон Ньютона в застосуванні до математичного маятника записують для проекції сил на ці осі так: на нормальну вісь , на тангенціальну вісь . Ці рівняння визначають нормальну і тангенціальну складові прискорення.

Учням треба пояснити, що повне прискорення, яке характеризує зміну шв-ті і за модулем і за напрямом, напрямлене так само, як рівнодійна сила (див мал2). Нормальне (доцентрове) прискорення характеризує зміну швидкості лише за напрямом, тангенціальне прискорення хар-є зміну шв-ті лише за модулем.

Для виведення р-ня мат маятника принципове значення має те, що розгл лише малі коливання. Саме завдяки цій умові р-ня руху набуває вигляду, який відповідає гармонічним коливанням. Якщо кут відхилення нитки відносно осі малий, то можна вважати, що , це дає змогу підставити замість синуса кута його радіальну міру. Дуга, яку описує маятник, дуже близька до прямої. Тому для опису руху маятника при малих коливаннях досить одного р-ня, яке визначає тангенціальне прискорення.

23. У плоскому горизонтально розміщеному конденсаторі заряджена краплинка ртуті знаходиться у рівновазі при напруженості електричного поля . Заряд краплини . Знайти її радіус.

Дано:

нехтуємо

Відповідь:

24.1.Розподіл Максвелла.

Перший крок у розроблені загальних методів обчислення статистичних середніх зробив у 1959 році Джеймс Максвелл. Максвелл поставив таку задачу: визначити середнє число частинок, швидкість яких знаходиться в замкнених межах після великого числа зіткнень між великою кількістю частинок.

Він розв’язав цю задачу ввівши до фізики поняття ймовірності. Однак, більшою заслугою ніж рівняння цієї задачі можна вважати постановку цієї нової проблеми. Розглянемо задачу Максвелла для ідеального газу, який знаходиться в стані термод. рівноваги. Припустимо, що має місце молекулярний хаос. Тобто молекули рівномірно розподілені у просторі, а їх швидкість рівномірно розподіляється за всіма напрямками. Встановлення молекулярного хаосу зумовило взаємодію між молекулами при зіткненні, і тою обставиною, що число молекул велике. Зважаючи на рівномірний розподіл молекул у просторі розглянемо газ у тривимірному просторі швидкості. Кожна точка у цьому просторі відповідає молекулі із строго заданою швидкістю .

Кожна точка у просторі швидкостей може бути подана, як кінець вектора швидкості початок якого знаходиться в початку координат .

Введемо поняття про імовірність того, що компонент швидкості знаходиться в інтервалі .

Ця імовірність може бути обчисл за формулою: .

В силу ізотропностей простору швидкостей функції густини ймовірностей (функціональні залежності) для і , і будуть точно такі самі.

Імовірність того, що вектор швидкості знаходяться в елементарному кубику у просторі швидкостей можна записати так: (1)

Для кожного компонента швидкості ймовірностей можна записати так: , , .

З гіпотези про молекулярний хаос що компоненти швидкості , ,-незалежні. Тому їх імовірності – це імовірності незалежних подій. Імовірність того, що компоненти швидкості молекули одночасно мають значення , , можна знайти за теоремою про множення ймовірностей так: (2)

формули (1) і (2) дозволяють обчислити одну і ту саму імовірність різними способами. Порівняння формул (1) і (2) дає такий вираз: (3)

Ми одержали функціональне рівняння для функції F і f. F- густина імовірності для шв., f – густина імовірності для компонентів швидкості.

Вирази цих функцій відрізняються лише тим, що в них присутні різні аргументи. Виконуючи математичні перетворення з р-ням (3) можна одержати роз-ня його функціонального р-ня. В результаті ф-ція, напр. , має такий вигляд . (4)

У цій ф-лі - деяка додатна величина, с- константа інтегрування.

. Поки що залишаються незмінними величини с і . Для того щоб їх знайти використаємо умову нормування для компонента швидкості:

(6).

З рівняння (6) можна одержати вираз для константи с.

Виявляється, що інтеграл такого типу, як у знаменнику , тоді . (7)

Сталу величину можна виразити через параметри розглядуваного рівноважного ідеального газу.

Розглянемо конкретну фізичну задачу в якій фігурують параметри такого газу. Знайдемо середню кінетичну енергію молекули, яка припадає на 1 ступінь вільності. Для цього скористаємось загальним правилом знаходження статистичних середніх.

(8)

Для того щоб знайти інтеграл у ф-лі (8) потрібно використати уже відомий вам інтеграл. Якщо ми його про диференціюємо, то і підставимо одержане значення в р-ня (8), врешті решт, ми одержимо, що . (9)

З молекулярної фізики відомо, що середня кінетична енергія молекул ідеального газу пропорційна абсолютній температурі. За теоремою про рівномірний розподіл енергії за ступенями вільності молекул ідеального газу: (10)

Визначимо сталу величину через параметри ідеального газу. Порівняємо ф-ли (9) і (10) ми одержимо: (11)

Враховуючи одержані значення сталих величин с і функції густини імовірності можна записати так: (12); . (13)

Ф-ла (13) дає можливість обчислити імовірність того, що молекула має швидкість з комп. , ,.

якщо сума квадратів компонентів шв-ей в усіх випадках однакові тобто, якщо однакові модулі швидкостей. Ця особливість дозволяє знайти розподіл молекул газу за молекулами шв-ей. Цей розподіл позначимо літерою , -модуль шв.

Кожна молекула може в один і той же момент мати шв-ть з однаковим модулем, але не може в один і той же момент мати шв-ть з різними векторами. З точки зору теорії ймовірностей події різних значень -несумісні. Теорема про додавання ймовірностей несумісних подій дозволяє обчислити імовірність того, що молекула має значення шв-ті з одним і тим же модулем, причому, що вектори різні. .

Імовірність можна одержати додаючи імовірності всіх однакових за модулем і різних за напрямом швидкостей молекул. Це додавання позначено (інтеграл з штрихом). Для того, щоб знайти значення цього інтеграла зауважимо, що інтегрування потрібно виконувати по всіх шв-ях , які задовольняють умову: .

При цьому користуємось теоремою про додавання ймовірностей несумісних подій (якщо шв. молекул , то вона не може бути рівна або якійсь іншій ). Умова для модуля швидкості має такий геометричний зміст: в цій умові задовольняють в-р’я швидкості, кінці яких у просторі швидкостей потрапляють до тонкого сферичного шару з внутрішнім радіусом і зовнішнім радіусом .

Якщо зважити на ці обставини ;

Це формула для розподілу ймовірностей за модулями швидкостей. Ця формула є розв’язанням задачі Максвелла

, .

Розподіл Максвелла дозволяє обчислювати різні величини, як середні статистичні, що хар-ють сукупність частинок, що має властивості ідеального газу. Для всякої сукупності частинок, які не взаємодіють між собою на відстанях, можна використати ці формули.

Розподіл Максвелла стосується лише розподілу молекул за швидкостями. При розгляді цієї формули ми користувались гіпотезою про молекулярний хаос, зміст якої зокрема полягає у тому, що у просторі молекули газу розподілені рівномірно.

Розподіл Больцмана.

Людвіг Больцман узагальнив розподіл Максвела на той випадок, коли на газ діють зовнішні сили та коли газ багатоатомним. За відсутності зовнішніх сил середня концентрація молекул газу в стані рівноваги всюди в посудині однакова. Але цього не буде за наявності силових полів. Розглянемо, наприклад, ідеальний газ в однорідному полі тяжіння. Для механічної рівноваги додатково необхідно щоб концентрація молекул зменшувалась із збільшенням висоти. Знайдемо закон зміни концентрації молекул ідеального газу з висотою у вертикальному полі тяжіння за умови, що має місце теплова і механічна рівновага.

Розглянемо вертикальний стовп газу. Вага газу в такому шарі цього стовпа повинна зрівноважуватись різницею тисків та висоті і .

- умова механічної рівноваги. Знак «-» тому, що і мають різні знаки. ; ; (1) (2)

Підставивши в (2) формулу (1) і зваживши на те, що температура Т однакова на всіх висотах, одержимо або .

Зауважимо, що припущення про однорідність поля тяжіння, використане при виведенні, несуттєве. Аналогічне співвідношення можна одержати і для неоднорідного поля. В цьому випадку умову механічної рівноваги необхідно записувати для малого об’єму, в якому поле можна вважати однорідним, умову рівноваги в цьому випадку зручніше записувати у векторній формі: . Якщо - потенціальна енергія молекули в силовому полі, то , а тому . В цьому записі умови механічної рівноваги уже не залишилось ніяких ознак однорідності і фізичної природи силового поля.

Інтегруючи , одержуємо .

Це важливе співвідношення наз. законом розподілу Больцмана.

, ,

- барометрична формула.

Розподіл, який дозволяє визначити імовірності швидкостей і положень молекул одночасно наз. розподіл Максвелла-Больцмана.

Дослід Штерна. Уперше швидкість теплового руху атомів експериментально визначив німецький вчений-фізик О. Штерн 1920 року. Він користувався приладом, схему якого зображено на рис.3.1.12. Уздовж осі двох циліндрів різних діаметрів зі спільною віссю розміщено платиновий дріт С, покритий шаром срібла. Внутрішній циліндр мав щілину. Дріт нагрівався під час пропускання електричного струму через нього і при t = 1300 °С срібло з його поверхні випаровувалось. У такий спосіб у камері циліндрів, повітря з якої заздалегідь відкачувалося до тиску 1,3·10^-4 Па, утворювався газ із атомів срібла. У результаті на зовнішньому циліндрі супроти щілини утворювалась срібна смужка. Її положення на рис.3.1.12 відповідає точці Д.

Потім циліндри обертали із частотою n. За час t, потрібний атому для проходження шляху, що дорівнює різниці радіусів циліндрів R_B - R_A, циліндри поверталися на деякий кут j. Через це атоми, що рухалися зі сталою швидкістю, потрапляли на внутрішню поверхню великого циліндра не проти щілини О (рис.3.1.12), а на певній відстані S від кінця радіуса, що проходить через середину щілини до точки Д'. Адже атоми рухаються прямолінійно. Якщо через позначити модуль швидкості обертання точок поверхні зовнішнього циліндра, то

S = t = 2pnR_Bt. (3.1.13)

Насправді, не всі атоми срібла мають однакову швидкість. Тому відстань S для різних атомів буде різною. Під S треба розуміти відстань між ділянками на смужках Д і Д' з найбільшою концентрацією атомів срібла. Цій відстані відповідатиме середня швидкість атомів. Середня швидкість атома

Підставивши у формулу (3.1.14) значенняМодулі швидкостей, визначені з досліду, збігаються з теоретичними значеннями середньої квадратичної швидкості.

Цей дослід є експериментальним доказом існування атомів речовини і правильності теорії в цілому.