- •Вопрос 1 Вектор. Линейные операции над векторами. Базисы на плоскости и в пространстве. Декартова система координат. Проекции и координаты вектора.
- •Вопрос 4 Матрицы и их основные свойства. Действия над ними
- •Вопрос 8. Векторное произведение векторов. Основные свойства. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями:
- •Вопрос 10. Различные способы задания прямой на плоскости.
- •Вопрос 11. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •Вопрос 15. Расстояние от точки до плоскости.
- •Вопрос 16. Различные способы задания прямой в пространстве.
- •Вопрос 17. Взаимное расположение прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •Вопрос 18. Эллипс. Каноническое уравнение.
- •Вопрос 20. Парабола. Каноническое уравнение.
- •Вопрос 21. Классификация кривых второго порядка.
- •Вопрос 22. Поверхности второго порядка.
- •Вопрос 23. Линейное пространство. Базис и размерность линейного пространства.
- •Вопрос 24. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Ядро и образ линейного оператора.
- •Вопрос 25. Матрица линейного оператора в новом базисе.
- •Вопрос 26. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
- •Вопрос 27. Теорема Кронекера-Капелли.
- •Вопрос 28. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
- •Вопрос 29. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
- •Вопрос 30. Решение системы линейных уравнений матричным методом.
- •Вопрос 31. Множества и операции над ними.
- •Вопрос 32. Свойства действительных чисел.
- •Вопрос 33. Модуль действительного числа. Неравенство треугольника.
- •Вопрос 34. Грани числовых множеств.
- •Существование грани множества
- •Принцип вложенных отрезков
- •Вопрос 35. Числовые последовательности (предел, переход к пределу в неравенствах)
Вопрос 28. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).
Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)
с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:
В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1,b2,...,bn и x1,x2,...,xn, либо набор c1,c2,...,cn состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом.
Пример
Система линейных уравнений:
Определители:
Решение:
Пример:
Определители:
Вопрос 29. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Пусть исходная система выглядит следующим образом
Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.
Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):
При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных .
Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
Если хотя бы одно число , где i > r, то рассматриваемая система несовместна.
Пусть для любых i > r.
Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом ( , где — номер строки):
, где
Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают. Простейший случай В простейшем случае алгоритм выглядит так:
Прямой ход:
Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.
Пример Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и , соответственно:
Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на :
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.
На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
из третьего;
из второго, подставив полученное
из первого, подставив полученные и .
Таким образом исходная система решена.