Вопрос 23. Линейное пространство. Базис и размерность линейного пространства.

Определение линейного пространства       Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать   ...), в котором установлены правила:

1) любым двум элементам   соответствует третий элемент   называемый суммой элементов   (внутренняя операция);

     2) каждому   и каждому   отвечает определенный элемент   (внешняя операция).

     Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

     I. 

     II. 

     III.   (нулевой элемент, такой, что  ).

     IV.   (элемент, противоположный элементу  ), такой, что 

     V. 

     VI. 

     VII. 

     VIII.         Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C). Базис пространства  . Координаты вектора 

     Базис - любая упорядоченная система   из n линейно независимых векторов пространства  .

     Обозначение: 

     Для каждого вектора   существуют числа   такие, что

     Числа   называются координатами вектора   в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора   в этом базисе. Употребляется запись: 

     Справедливы формулы:

Вопрос 24. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Ядро и образ линейного оператора.

Линейные оператор

Пусть заданы линейные пространства   и  . Правило, по которому  каждому элементу   ставится в соответствие единственный элемент  , называется оператором, действующим в линейных пространствах  . Результат  действия оператора   на элемент   обозначают   или  . Если элементы   и   связаны соотношением  , то   называют образом элемента  ; элемент   прообразомэлемента  .

Множество элементов линейного пространства  , для которых определено действие оператора  , называют областью определения оператора и обозначают  .

Множество элементов линейного пространства  , которые являются образами элементов из области определения  оператора  , называют образом оператора и обозначают  . Если  , то  .

Оператор  , действующий в линейных пространствах   называется линейным оператором,

если   и   для любых   и для любого числа 

Если пространства   и   совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве  . 

Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор  , действующий в конечномерном линейном пространстве  ,  и пусть   базис в  . Обозначим через  образы базисных векторов  .

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно  каждая  квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа   с координатами прообраза  , с другой стороны,  описывают действие оператора, заданного матрицей  .

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве   произошел переход от базиса   к базису  . Связь между матрицей   оператора   в базисе    и матрицей   этого оператора в базисе   задается формулой .

Здесь    матрица перехода от базиса   к базису   и обратная к ней.

Образ и ядро линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор  , действующий в конечномерном линейном пространстве  . Доказано, что образ  линейного оператора   линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается  .

Ядром линейного оператора называется множество элементов из  , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают  :  . Ядро линейного оператора   линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается  :  .

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве  , справедливы следующие утверждения:

сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор:  ;

ранг оператора равен рангу его матрицы;

ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с матрицей  , размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.