Вопрос 8. Векторное произведение векторов. Основные свойства. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора   равен  , где   - угол между векторами   и  ; 2). Вектор   перпендикулярен к каждому из вектора   и  ; 3). Направление вектора   соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы  ,   и   приведены к общему началу, то вектор   должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору  ), а указательный - по второму (то есть по вектору  ).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно: . Модуль векторного произведения   равен площади S параллелограмма, построенного на векторах   и  : . Само векторное произведение может быть выражено формулой: ,где   - орт векторного произведения.

Векторное произведение   обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы   и  коллинеарны. В частности,  . Если система координатных осей правая и векторы   и   заданы в этой системе своими координатами:

,  , то векторное произведение вектора   на вектор   определяется формулой

,или .

Вопрос 9. Смешанное произведение векторов. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Знак смешанного произведения совпадает со знаком cos φ, и поэтому смешанное произведение положительно, когда тройка векторов правая, и отрицательно, если тройка векторов левая. Если перемножаемые векторы лежат в одной плоскости (cos φ = 0), то   - необходимое и достаточное условие компланарности векторов. Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат Из 3.6.2 известно, что

Скалярно умножим этот вектор на вектор   и, учитывая свойства скалярного произведения, получим

Это выражение может быть получено при вычислении определителя

по элементам третьей строки, исходя из правила вычисления определителя.

Поэтому смешанное произведение трех векторов обозначают как  , не подчеркивая при этом, какая пара векторов умножается векторно.

Вопрос 10. Различные способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости      Общее уравнение  Ax + By + C (  > 0).

     Вектор   = (А; В) - нормальный вектор прямой.

     В векторном виде:   + С = 0, где   - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

     Частные случаи:

     1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;      2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;      3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;      4) y = 0 - ось Ox;      5) x = 0 - ось Oy.

     Уравнение прямой в отрезках 

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.      Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)  где   - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

     Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь   - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если   и произвольно, если C = 0.

Векторно-параметрическое уравнение прямой: 

где   - фиксированная точка, лежащая на прямой;   - направляющий вектор (см. рис. 4.11).

     В координатах (параметрические уравнения):      Каноническое уравнение прямой:

     Уравнение прямой по двум точкам (рис. 4.12) 

Или или      Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту (рис. 4.12)   или  где   b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.