Вопрос 25. Матрица линейного оператора в новом базисе.

Матрица оператора в новом базисе.

Оператор  , действующий в линейном пространстве  , задан своей матрицей  . Найдем координаты образа  вектора  . В линейном  пространстве    введен новый базис  ,  ,  ,  . Найдем координаты вектора  , координаты образа   и матрицу оператора в новом базисе.

Вопрос 26. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора      Ненулевой вектор   называется собственным вектором линейного оператора  , если   (  для комплексного  ), такое, что   Число   называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.  Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор   имеет координатный столбец X, то   или 

 Собственные числа   линейного оператора   - корни характеристического уравнения  , где   - матрица оператора f,   - символ Кронекера.

Для каждого собственного значения   соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения   или соответствующей ему системы линейных уравнений

     Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где   - соответствующие собственные значения.

Вопрос 27. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера—Капелли

— критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.  Теорема Кронекера—Капелли применяется при исследованиях систем алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы). В результате исследования должна быть записана эквивалентная система алгебраических уравнений с минимальным числом уравнений.

Решить с помощью теоремы Кронекера-Капелли систему уравнений:   Решение

   Из последнего преобразования вытекает, что  . Начальная система эквивалентна системе:  .     Среди миноров второго порядка, составленных из элементов матрицы коэффициентов при неизвестных, существует хотя бы один отличный от нуля. В нашем случае их несколько. Если отличный от нуля минор выберем из коэффициентов при двух неизвестных, то таким образом мы переведем эти неизвестные в разряд основных. Пусть, например, это неизвестные х₁, х₂. Тогда, перенеся остальные неизвестные в правую часть системы уравнений, получим:   . Главный определитель этой системы  . Найдем  . .    По правилу Крамера:    Последние равенства определяют общее решение системы уравнений. Чтобы получить частные решения, достаточно предоставить свободным неизвестным х₃, х₄, х₅ некоторых числовых значений.     Например, если     х₃ = 0, х₄ = 0, х₅ = 0,     имеем решение  ;     если х₃ = 2, х₄ = 1, х₅ = –2 — решение (3, 5, 2, 1, –2) и т.д.     Таких частных решений в данном случае можно построить бесконечное количество.