Вопрос 20. Парабола. Каноническое уравнение.

Пара́бола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Задается квадратным уравнением

   при   также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и  , но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке  , координаты которой вычисляются по формулам:

 где D = b2 − 4ac - дискриминант

Уравнение   может быть представлено в виде  , а в случае переноса начала координат в точку   каноническим уравнением. Таким образом для каждого квадратного уравнения можно найти систему координат такую, что в этой системе оно представляется каноническим.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

 (или  , если поменять местами оси).

Вопрос 21. Классификация кривых второго порядка.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

        Определение 12.1   Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

(12.1)

где   -- вещественные числа, и хотя бы одно из чисел

 отлично от нуля.         

Классификация кривых второго порядка

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если   Могут возникать следующие варианты:

• Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если 

  • эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;

    • частный случай эллипса — окружность— при условии I² = 4D или a₁₁ = a₂₂,a₁₂ = 0;

  • мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии ΔI > 0;

  • гипербола — при условии D < 0;

• Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если ΔI = 0

  • парабола — при условии D = 0.

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

• вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;

• пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;

• вырожденная парабола — при условии D = 0:

  • пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;

  • одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;

  • пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.

Вопрос 22. Поверхности второго порядка.

               Поверхности второго порядка. 

Определение 12.1. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

   -          (12.1)

уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы   и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (12.1) можно привести к одному из следующих видов:

1.        Если λ₁, λ₂, λ₃ – одного знака, уравнение (12.1) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме:

а)                                     -                                                           (12.2)

каноническое уравнение эллипсоида.

Замечание, Если два собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, уравнение (12.2) становится уравнением сферы.

б)                      -                                                                              (12.3)

уравнение задает точку в пространстве;

в)                     -                                                                              (12.4)

пустое множество.

2.        Если собственные числа разных знаков, уравнение (12.1) приводится к каноническому виду:

а)     -  каноническое уравнение однополостного гиперболоида,  (12.5)

б)      -                                                                                                   (12.6)

-          каноническое уравнение двуполостного гиперболоида,

в)   -                                                                                                     (12.7)

уравнение конуса второго порядка.

3.        Одно из собственных чисел равно 0. При этом с помощью преобразований координат можно получить следующие формы уравнения (12.1):

а)    -                                                                                                    (12.8)

каноническое уравнение эллиптического параболоида,

б)    -                                                                                                          (12.9)

каноническое уравнение гиперболического параболоида

и уравнения цилиндрических поверхностей:

в)    - эллиптический цилиндр,                                                     (12.10)

г)    - гиперболический цилиндр.                                                 (12.11)

Наконец, уравнение может определять пару плоскостей:

д)  .                                                                                                (12.12)

4.        Если два собственных числа равны 0, уравнение (12.1) приводится к одному из следующих видов:

а)    - параболический цилиндр,                                            (12.13)

б)      - пара параллельных плоскостей,                                  (12.14)

в)           - пустое множество.