- •Вопрос 1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3
- •Вопрос 4
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Вопрос 7
- •Вопрос 8
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16
- •Вопрос 17
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Вопрос 23
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25
- •Вопрос 26
- •Вопрос 27
- •Вопрос 28
- •Вопрос 29
Вопрос 1
Матрица. Под матрицей понимают прямоугольную таблицу с числовыми данными, в которой m строк и n столбцов. Обозначают A(mxn); A(m,n). Элементы матрицы aij, где i – номер строки, а j – номер столбца. Виды матриц:
1. Квадратичная матрица – количество строк равно количеству столбцов m=n A(nxn)
2. Матрица строка – A= (a11 a12 … a1n)
3. Матрица столбец
4. Ступенчатый вид матрицы. Главная диагональ – элементы с одинаковыми индексами a11, a22... Ступенчатый вид – когда под главной диагональю матрицы находятся только нулевые элементы, остальные – любые (но не нули). Для квадратичных матриц ступенчатый вид называют треугольным
5. Нулевая матрица – все элементы нули
6. Единичная матрица – только квадратичная матрица E(nxn) – на главной диагонали единицы, а остальные нули.
Операции над матрицами:
1. умножение числа на матрицу
2. сложение и вычитание матриц одинаковой размерности
3. умножение матриц A(mxn) * B(nxk) = AB(mxk). Матрица АВ элементы являются суммой произведений элементов строки матрицы А на элементы столбца В
4. возведение матрицы в целую положительную степень. Возводить в степень можно только квадратичную матрицу.
5. транспонирование матрицы – транспонированная матрица А’ получается из матрицы А с заменой местами строк и столбцов
Свойства операций над матрицами:1. А+В=В+А; 2. (А+В)+С=А+(В+С); 3. α(А+В)=αA+αB; 4. А(В+С)=АВ+АС; 5. А(ВС)=(АВ)С; 6. (A’)’=A; 7. α(AB)=(αA)B=A(αB); 8. (αA)’=αA’; 9. (A+B)’=A’+B’; 10. (AB)’=B’A’; 11. AB≠ВА
Вопрос 2
Определитель. Определитель можно вычислить только для квадратичной матрицы. Определитель матрицы А(nxn) – число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, с учетом знака. Определитель второго порядка . Определитель матрицы А обозначается |A| Вычисляется : из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали. |A|=a11a22 – a12a21. Определители третьего порядка. Правило треугольника |A|=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13 – a31a22a13 – a32a23a11 – a21a12a33.
Свойства определителей:
1. |A|=|A’| - определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы
2. Если в матрице поменять местами любые 2 строки (столбца), то знак определителя изменяется на противоположный
3. Если в матрице любую строку (столбец) умножить на число, то определитель умножится на это же число
4. Если в матрице есть нулевая строка (столбец), то определитель равен нулю.
5. Если в матрице есть одинаковые строки (столбцы), то определитель равен нулю.
6. Если в матрице есть строка ai равная линейной комбинации 2 других строк, то определитель равен нулю. Аналогично для столбцов. Если в матрице есть пропорциональные строки, то определитель равен нулю.
Вопрос 3
Определители высших порядков. Для матрицы A(nxn) минор k-го порядка (k<n) получается следующим образом: вычеркиваем любые k столбцов и k строк матрицы. Из элементов на их пересечении составляли матрицу Mk(kxk). Матрица из не вычеркнутых, оставшихся элементов называется дополнительным минором к Mk, его размер (n-k). Каждый элемент матрицы aij рассматривается как минор первого порядка. Дополнительный минор к нему обозначается Aij aij = (-1)i+j * |Aij| = Aij. Алгебраическое дополнение к элементу aij - определитель его дополнительного минора с учетом знака Aij=(-1)i+j *|Mij|. Теорема Лапласа Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения. |A|=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin Следствие: Теорема Лапласа справедлива и для любого столбца матрицы. Вычисление определителя по теореме Лапласа называют разложением по элементам строки или столбца. Следствие: Если матрица приведена к треугольному виду, то ее определитель равен произведению диагональных элементов |A|=a11a22…ann. Вычисляя определитель лучше раскладывая по той строке (столбцу), где больше нулей.