Вопрос 6

Векторное произведение. В трехмерном пространстве a=(a₁,a₂,a₃) b=(b₁,b₂,b₃). Направление от вектора a к вектору b называется положительным, если оно против часовой стрелки; по часовой стрелке – отрицательное направление. Векторным произведением векторов a и b называется вектор axb ([a;b]), расположенный перпендикулярно плоскости векторов a и b, направленный так, что из его конца направление от a к b – положительное, его длина |axb|=|a|*|b|*sin α, где α – угол между a и b. Координаты axb=

Свойства векторного произведения: 1 axb=bxa; 2. 8(axb)=(8a)xb=ax(8b); 3 ax(b+c)=axb+axc; 4 axb=0, если a||b. Модуль векторного произведения векторов a и b равен площади параллелограмма, натянутого на эти вектора |axb|=|a|*|b|*sin α. Смешанное произведение векторов a=(a₁,a₂,a₃) b=(b₁,b₂,b₃) c=(c₁,c₂,c₃). Смешанное произведение (a,b,c)=(axb)*c. Вычислить смешанное произведение можно (a,b,c)=

Свойства смешанного произведения: 1 (axb)*c=a(bxc); 2 (axb)*c=(bxc)*a=(cxa)*b. Модуль смешанного векторного произведения равен объему параллелепипеда, натянутого на эти вектора.

Вопрос 7

Линейное векторное пространство. Линейное векторное пространство – множество векторов, на котором определены операции: сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие следующим свойствам: 1 a+b=b+a; 2 a+(b+c)=(a+b)+c; 3. α(βa)=(α*β)a; 4. α(a+b)=αa+αb; 5. (α+β)a=αa+βa; 6. Существует нулевой вектор; 7. Для каждого вектора a существует противоположный ему (-a): a+(-a)=0; 8. 1*a=a.

Вопрос 8

Базис линейного пространства. Базисом линейного пространства является совокупность максимального числа. ЛНЗ векторов. Любой вектор пространства можно разложить по базисным векторам, т.е. представить в виде линейной комбинации этих векторов. Трехмерное пространство Базис i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1). Векторы называются ортогональными, если перпендикулярны друг другу. Базис называется ортогональным, если все векторы базиса попарно ортогональны. Нормированный вектор имеет единичную длину. a=(a₁,a₂,a₃) |a| нормированный вектор a*(a₁/|a|; a₂/|a|; a₃/|a|). Ортонормированный базис - все векторы имеют единичную длину и попарно ортогональны. Переход от одного базиса к другому(в трехмерном пространстве) Имеется старый базис e₁,e₂,e₃ Новый базис e*₁,e*₂,e*₃ Каждый вектор нового базиса можно разложить во векторам старого базиса: e*₁=a₁₁e₁+a₁₂e₂+a₁₃e₃

e*₂=a₂₁e₁+a₂₂e₂+a₂₃e₃

e*₃=a₃₁e₁+a₃₂e₂+a₃₃e₃

Матрица перехода от старого базиса к новому А=(a₁₁ a₂₁ a₃₁ … и т.д.) коэффициенты разложения одного вектора в столбец

Вопрос 9

Линейные операторы Рассмотрим 2 линейных пространства различной размерности Rⁿ и R^m. Определение. Если существует правило(закон), по которому каждому вектору x пространства Rⁿ ставится некоторому вектору y пространства R^m , то говорят, что оператор перехода от пространства Rⁿ к пространству R^m y= Ã(X). Вектор y называется образом вектора x называется прообразом вектора y. Оператор называется линейным, если он удовлетворяет следующим свойствам: 1 Ã(x+y)= Ã(x)+ Ã(y); 2 Ã(αx)=α Ã(x). Переход от пространства Rⁿ в пространство R^m задается линейным оператором Ã, которое переходит в само себя. Таким образом линейный оператор и будет рассматривать x=(x₁,x₂,…,x_n) y(y₁,y₂,…,y_n)

Y₁=f₁(x₁,…,x_n)

Y₂=f₂(x₁,…,x_n)

Y_n=f_n (x₁,…,x_n)

В случае линейного оператора Ã закон, который его определяет имеет вид:

Y₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n

Y₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n (*)

Y_n=a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n

Таким образом, которому линейный оператор соответствует матрица А (nxn) соответствует линейный оператор А в перпендикулярном пространстве Rⁿ . Система (*) в матрице вида записывается Y=A*X, где Y= X= A=( a₁₁ a₁₂…a_1n и т.д.).

Один и тот же линейный оператор Ã в различных базисах имеет различные матрицы.

Операции с линейными операторами à и B: 1. Сложение линейных операторов (Ã+В)(х)=Ã(х)+В(х); 2. Умножение оператора на число α: (αÃ)(х)=αÃ(х); 3. Умножение линейных операторов: (ÃВ)(х)=Ã(В(х)). Матрица одного и того же линейного оператора à в разных базисах – различная. Теорема. Пусть имеется два базиса – старый e₁,e₂,…,e_n и новый e*₁,e*₂,…,e*_n. Матрица линейного оператора à в старом базисе А, а в новом А*. Матрица перехода от старого базиса к новому С. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах определяется равенством: А*=С^-1*А*С