Вопрос 15

Способы задания плоскости в пространстве. 1. Плоскость, проходящая через точку М(x₀,y₀,z₀) перпендикулярно вектору n (n₁,n₂,n₃), n – нормальный вектор плоскости n₁(x-x₀)+n₂(y-y₀)+n₃(z-z₀)=0 Ax+By+Cz+D – общее уравнение плоскости. Координаты нормального вектора n (A;B;C). Расположение плоскости в пространстве: а) D=0, Ax+By+Cz=0 – проходит через начало координат; С=0, Ax+By+D=0 – параллельно оси Z; B=0, Ax+Cz+D=0 – параллельно оси Y; A=0, By+Cz+D=0 - параллельно оси X; б) D=0, C=0, Ax+By=0 – плоскость проходит через ось Z; D=B=0, Ax+Cz=0 - плоскость проходит через ось Y; D=A=0, By+Cz=0 - плоскость проходит через ось X; B=C=0, Ax+D=0 – параллельно координатной плоскости yOz; A=C=0, By+D=0 параллельно координатной плоскости xOz; A=B=0, Cz+D=0 - параллельно координатной плоскости xOy; 2. Уравнение плоскости в отрезках x/a+y/b+z/c=1, где a,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от координатных осей. 3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащей на одной прямой M₁ (x₁,y₁,z₁) M₂ (x₂,y₂,z₂) M₃ (x₃,y₃,z₃)

M₁M₂ x-x₁ y-y₁ z-z₁

M₁M₃ x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ =0

X₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁

Если точки M₁,M₂,M₃ лежат на одной прямой, то получим 0=0.

Вопрос 16

Способы задания прямой в пространстве. 1. Точка и направляющий вектор. Пусть в пространстве дана точка M₀ (x₀,y₀,z₀) и вектор p (p₁,p₂,p₃). Уравнение прямой, проходящей через точку M₀ параллельно вектору p. Каноническое уравнение прямой x-x₀/p₁=y-y₀/p₂=z-z₀/p₃. Параметрическое уравнение прямой x=p₁t+x₀ y=p₂t+y₀ z=p₃t+z₀. 2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. M₁ (x₁,y₁,z₁) M₂ (x₂,y₂,z₂). M₁M₂ x-x₁/x₂-x₁=y-y₁/y₂-y₁=z-z₁/z₂-z₁ 3. Прямая как пересечение двух плоскостей. A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0. Если необходимо из этого вида прямой получить каноническое уравнение, то в качестве точки M₀ берется любое решение системы: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0. В качестве направляющего вектора p=n₁xn₂, n₁ и n₂ – нормальные векторы плоскостей n₁ (A₁,B₁,C₁), n₂ (A₂,B₂,C₂)

Вопрос 17

Основные задачи в пространстве: углы, условия параллельности и перпендикулярности. 1. Угол между плоскостями α. A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 Угол между плоскостями – любой из смежных двугранных углов между ними. Косинус угла между нормальными векторами плоскостей cos α=A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂/√A²₁+B²₁+C²₁*√ A²₂+B²₂+C²₂. 2. Условие параллельности плоскостей. A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂ – коллениарность нормальных векторов. 3. Условие перпендикулярности плоскостей A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂ =0 – нормальные векторы перпендикулярны. 4. Угол между прямыми в пространстве – любой из двух смежный углов между прямыми, параллельными данным и проходящим через общую точку x-x₁/p₁=y-y₁/p₂=z-z₁/p₃ и x-x₂/q₁=y-y₂/q₂=z-z₂/q₃ p (p₁,p₂,p₃) – направляющий вектор первой прямой; q(q₁,q₂,q₃) – направляющий вектор второй прямой cos α=p₁q₁+ p₂q₂+ p₃q₃/√p²₁+p²₂+p²₃*√ q²₁+q²₂+q²₃. 5. Условие параллельности прямых p₁/q₁=p₂ /q₂=p₃/q₃ – коллениарность параллельных векторов. 6. Условие перпендикулярности прямых p₁q₁+ p₂q₂+ p₃q₃=0. 7. Угол между прямой и плоскостью – любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. x-x₀/p₁=y-y₀/p₂=z-z₀/p₃ Ax+By+Cz+D=0 cos α=p₁A+p₂B+p₃C/√p²₁+p²₂+p²₃*√A²+B²+C² – угол между направляющим вектором и нормальным вектором плоскости. 8. Условие параллельности прямой и плоскости p₁A+p₂B+p₃C=0 – направляющий вектор перпендикулярен нормальному вектору плоскости. 9. Условие перпендикулярности прямой p₁/A=p₂/B=p₃/C – направляющий вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости