Вопрос 10

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Вектор х≠0 называется собственным вектором линейного оператора А, если существует число β такое, что Ã(х)=β(х);(1). Β называется собственным значением соответствующим вектору х. Таким образом, под действием линейного оператора собственный вектор переходит в коллинеарный. Равенство (1) запишем в матричной форме АХ=βХ. А – матрица линейного оператора А. Х=

АХ-βХ=0 Х(А-βЕ)=0. Нахождение собственных векторов и собственных значений операторов. Характеристическое уравнение |A-βE|=0 |a₁₁-βa₁₂…a_1n и т.д.|=0

Уравнение с неизвестной β может иметь n корней β₁,β₂,…,β_n – собственные значения линейного оператора. Для каждого собственного значения β соответствует система вида (А-βЕ)Х=0. Эта система всегда имеет бесконечное множество решений. Поэтому собственный вектор имеет вид (С₁Х₂(С),…,Х_n(C)), т.е. это множество коллинеарных векторов с переменной С. Теорема 1. Если матрица линейного оператора Ã в некотором базисе имеет диагональный вид, то все векторы этого базиса являются собственными векторами Ã. Следствие. Числа на главной диагонали матрицы линейного оператора в диагональном виде являются собственными значениями. Теорема 2. Если линейный оператор Ã в n-мерном пространстве имеет n различных собственных значений, то все его собственные векторы ЛНЗ, и матрица линейного оператора в этом базисе имеет диагональный вид.

Вопрос 11

Квадратичные формы. Квадратичной формой в пространстве размерности n L(x₁,x₂,...,x_n) называется сумма, каждое слагаемое которой либо квадрат одной из переменных, либо произведение двух различных переменных, взятые с коэффициентом. L(x₁,x₂,x₃)=∑ П a_ij x_i x_j; a_ij= a_ji. Каждой квадратичной форме соответствует матрица, составленная из ее коэффициентов. Она симметрична относительно главной диагонали. Пусть квадратичная форма L имеет матрицу А. Пусть имеется линейный оператор с матрицей С (|C|≠0). Если на квадратичную форму подействовать линейным оператором, то получим квадратичную форму с матрицей. А*=С’АС, где С’ – транспонированная матрица. Квадратичная форма L(x₁,x₂,...,x_n) записана в каноническом виде, если она имеет вид L=a₁₁x²₁+a₂₂x²₂+…+a_nnx²_n. Теорема. Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью некоторого линейного оператора. Канонический вид квадратичной формы не единственен. Теорема (Закон инерции квадратичной формы) L= a₁₁x²₁+a₂₂x²₂+…+a_nnx²_n. Количество слагаемых с положительным знаком в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа его получения. Теорема Ранг матрицы квадратичной формы равен числу ненулевых слагаемых в ее каноническом виде и не зависит от действия линейного оператора. Квадратичная форма L(x₁,x₂,...,x_n) называется положительно определенной, если для любых значений x₁,x₂,...,x_n одновременно не равных нулю, L(x₁,x₂,...,x_n)>0. Аналогично определяется отрицательно определенная квадратичная форма L(x₁,x₂,...,x_n)<0. Теорема. Для того, чтобы квадратичная форма L с матрицей А была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А β₁,β₂,…,β_n были положительны. Аналогично при отрицательно определенной β₁,β₂,…,β_n<0.