Вопрос 12

Прямая линия на плоскости может быть задана различными способами: 1.точка и направляющий вектор любой вектор p(p₁,p₂), параллельный прямой l, называется ее направляющим вектором. Уравнение прямой, проходящей через точку М (x₀,y₀) и с направляющим вектором p(p₁,p₂). Каноническое уравнение прямой x-x₀/p₁=y-y₀/p₂. Общее уравнение прямой имеет вид Ax+By+C=0. Из канонического уравнения прямой получим общее уравнение p₂(x-x₀)=p₁(y-y₀); p₂x-p₂x₀-p₁y₊p₁y₀=0; A=p₂; B= -p₁; C= p₁y₀-p₂x₀. Если уравнение прямой задано в общем виде Ax+By+C=0, то направляющий вектор p(-B;A). 2. Две точки M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂). Уравнение прямой, проходящей через две точки: x-x₁/x₂-x₁=y-y₁/y₂-y₁. 3. Точка и нормальный вектор. Нормальным вектором называется вектор n(n₁,n₂), перпендикулярный прямой l. Уравнение прямой, проходящей через точку M (x₀,y₀) с нормальным вектором n(n₁,n₂): n₁(x-x₀)+n₁(y-y₀)=0. Если уравнение прямой в общем виде Ax+By+C=0, то нормальный вектор n(A;B). 4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол наклона прямой α называется угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс (Ох) y=kx+b; k=tgα; М (x₀,y₀). 5. Уравнение прямой в отрезках x/a+y/b=1, где a и b – отрезки, отсекаемые прямой от осей координат (с учетом знака)

Вопрос 13

Расположение прямой на плоскости. Прямая проходит через начало координат Ax+By+C=0. Прямая параллельна оси Ох: By+C=0 Прямая параллельна оси Оy: Ax+C=0. Взаимное расположение двух прямых A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0 Прямые совпадают: A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=q. Прямые параллельны: A₁/A₂=B₁/B₂=q. Прямые пересекаются, если нет пропорциональности. Прямые перпендикулярны: A₁= -B₂ и B₁=A₂. Если прямые заданы с угловыми коэффициентами: y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂ Прямые параллельны, если k₁=k₂; Прямые совпадают, если k₁=k₂ и b₁=b₂ k₁=k_2. Прямые перпендикулярны, если k₁*k₂= -1. Основные задачи прямой на плоскости: 1. Точка пересечения 2 прямых A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0 – система уравнений. Если решение единственное (x₀,y₀) – эта точка пересечения. Если нет решений, то прямые – параллельны. Если бесконечное множество решений, то прямые совпадают. 2. Расстояние от точки M₀ (x₀,y₀) до прямой Ax+By+C=0, d=Ax₀+By₀+C/√A²+B². Расстояние между параллельными прямыми: берем любую точку на одной прямой и находим расстояние от нее до другой прямой. 3. Угол между прямыми α: а) A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0; cos α = A₁A₂+B₁B₂/√A²₁+B²₁*√A²₂+B²₂ – угол между нормальными векторами; б) y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂: tg α=k₂-k₁/1+k₁*k₂. 4. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C. Для точки M₀ (x₀,y₀) и прямой Ax+By+C=0: если Ax₀+By₀+C>0, то точка лежит выше прямой; если Ax₀+By₀+C<0, то точка лежит ниже прямой; если Ax₀+By₀+C=0, то точка лежит на прямой.

Вопрос 14

Кривые второго порядка. Окружность – множество точек плоскости равноудаленной от одной данной точки. Данная точка O(x₀,y₀) – центр окружности; расстояние, на которое удалена точка окружности от центра называется радиусом R. Уравнение окружности (x-x₀)²+(y-y₀)²=R². Окружность с центром в начале координат О(0;0) x²+y²=R². Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояния каждой из которых до двух заданных (фокусов) есть величина постоянная. Уравнение эллипса, симметричного относительно двух осей: x²/a²+y²/b²=1; a – большая полуось, b – малая полуось. A₁(a;0) A₂(-a;0) B₁(0;b) B₂(0;-b); ОА₁ – большая полуось, А₁А₂ – большая ось эллипса; ОВ₁ – малая полуось, В₁В₂ – малая ось; F₁,F₂ – фокусы F₁(c;0) F₂(-c;0) a²-c²=b². Эксцентриситет ε – мера сжатия эллипса ε=с/a<1. Если рассматривать окружность как частный случай эллипса (a=b), то у такого эллипса 1 фокус – центр окружности и ε=0. Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояния от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная. Уравнение гиперболы x²/a²-y²/b²=1 a-действительная полуось, b- мнимая полуось. Ассимптоты гиперболы: y=±b/a*x. Фокусы F₁(c;0) F₂(-c;0) c²-a²=b² Эксцентриситет ε=c/a>1. Если действительная полуось гиперболы не ось у: y²/a² – x²/b²=1 Фокусы F₁(0;c) F₂(0; -c). Парабола – множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до данной точки (фокуса) и данной прямой (директриссы) одинаковое y²=2px Фокус F(p/2;0) Директрисса d x= - p/2 Эксцентриситет ε=1. Если фокус не оси у: x²=2py F(0;p/2) d y= -p/2