1.3 Спектры периодических сигналов

Будем рассматривать детерминированные сигналы. Эти сигналы принято делить на периодические и непериодические. Сигнал является периодическим, если он удовлетворяет условию: на интервале - , где Т—период, К—целое число. Непериодический сигнал не удовлетворяет указанному условию на всей оси времени. Он задается на конечном интервале , а за пределами это интервала принимается равным нулю. В теории сигналов широко применяется спектральное представления сигналов.

Спектральным представлением детерминированного сигнала S(t) называется его представление в виде суммы конечного и бесконечного числа гармонических составляющих. Основой спектрального представления сигналов является преобразование Фурье. Рассмотрим сначала спектральное представление управляющих или видеосигналов.

1.3.1 Ряд Фурье. Амплитудные и фазовые спектральные диаграммы

Любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов.

Пусть функция S(t) периодически повторяется с частотой и для нее выполняются условия Дирихле:

1. в любом конечном интервале функция S(t) должна быть непрерывной или иметь конечное число разрывов первого рода, т.е. при стремление t к точкам разрыва функции S(t) должна иметь конечные пределы;

2. в пределах одного периода функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов.

Такая периодическая функция S(t) может быть представлена в виде ряда Фурье:

( 1.1 )

где -среднее значение сигнала или постоянная составляющая ;

;

— основная частота или частота первой гармоники ;

— частоты высших гармоник.

Ряд Фурье можно записать по-другому:

( 1.2 )

где — амплитуда и начальная фаза n-ой гармоники.

Обратные зависимости для коэффициентов и имеют вид:

.

Совокупность гармонических составляющих, на которые раскладывается функция S(t), называется спектром. Причем совокупность коэффициентов называется спектром амплитуд, а совокупность значений называется спектром фаз.

Наглядное представление о спектре дают спектральные диаграммы: амплитудные ( рисунок 1.4 а ) и фазовые ( рисунок 1.4 б ). При их построении по оси абсцисс откладывают частоты гармоник, а по оси ординат –– значения амплитуд или фаз каждой гармоники.

Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих частотам: .

а б

Рисунок 1.4

Ряд Фурье можно записать и в комплексной форме. Для этого воспользуемся формулами Эйлера:

.

Примем, что . Подставляем эти соотношения в выражение (1.2 ), получим ряд Фурье в комплексной форме:

. ( 1.3 )

В этом выражении — комплексная амплитуда n-ой гармоники, которая связана с коэффициентами ряда Фурье соотношениями:

.

Подставляя значение в (3), получим:

. (1.4)

Комплексную амплитуду можно получить непосредственно из функции S(t), минуя вычисление коэффициентов и .

) . ( 1.5 )

Это выражение позволяет найти амплитудный спектр, то есть совокупность гармонических составляющих, в сумме образующих S(t).