1.3.5 Распределение мощности в спектре периодического сигнала

Пусть несинусоидальный периодический ток i (t) протекает по активному сопротивлению R (рисунок 1.10). Определить среднюю за период мощность, которая расходуется на этом сопротивлении.

i(t)

Средняя за период мощность определяется соотношением:

U (t) R . (1.8)

Рисунок.1.10. Разложим функцию тока i(t) в ряд Фурье:

,

Подставим это разложение в выражение (1.8):

,

Учитывая, что , а интегрирование за период исходной функции гармонических колебаний с удвоенной частотой и произведений косинусов и синусов дают нуль, получим:

.

Так как — постоянная составляющая тока, а — амплитуда n-ной гармоники, то

Средняя мощность периодического колебания выражается бесконечной суммой мощностей спектральных составляющих.

1.4 Спектры непериодических сигналов

1.4.1Спектральная плотность

Пусть задан сигнал S(t), который действует в конечном интервале времени . Для проведения гармонического анализа поступим следующим образом:

1. Превратим наш непериодический сигнал в периодический путем повторения его с произвольным периодом Т . Для полученной таким образом функции применимо разложение в ряд Фурье:

где –– комплексная амплитуда n-ой гармоники.

Известно, что комплексную амплитуду можно получить из функции S(t) в соответствии с выражением ( 1.5 ):

.

2. Предположим, что Т стремится к бесконечности. В пределе получим бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную функцию S(t). Количество этих гармоник будет бесконечно большим, а расстояние между гармониками –– бесконечно малым.

Спектр из линейчатого становится сплошным .Выразим это аналитически.

Подставим в S(t):

.

так как , то

.

При величина превращается в бесконечно малую dω; –– в текущую частоту , а операция суммирования- в операцию интегрирования, то есть .

Таким образом, получим :

.

В этом выражении обозначим второй интеграл через

. ( 1.10 )

Функция частоты называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции времени S(t).

Подставив в исходное выражение S(t), получим :

. ( 1.11 )

Выражения ( 1.10 ) и ( 1.11 ) носят названия пары преобразований Фурье, которые связывают между собой функцию времени S(t) и комплексную функцию частоты .

Поясним смысл спектральной плотности .

Если сигнал периодический, то n-ая гармоника с частотой будет иметь амплитуду

Если же сигнал непериодический, но в некотором ограниченном интервале совпадает с периодическим S(t),то на частоте спектральная плотность равна

.

Отсюда видно, что .

Так как .

Видно, что значение спектральной плотности на определенной частоте получается путем деления амплитуды n-ой гармоники на полосу частот , отделяющую соседние линии дискретного спектра. Таким образом, имеет смысл плотности амплитуд ( амплитуда: Герц ) и определяет величину сигнала, которая приходится на единицу полосы частот шириной в один Герц.

Поэтому эта непрерывная функция частоты и называется спектральной плотностью амплитуд или просто спектральной плотностью.

Огибающая сплошного спектра непериодического сигнала и огибающая линейчатого спектра периодического сигнала совпадают по форме и отличаются масштабом.

Спектральную плотность можно представить в комплексной форме :

, ( 1.12 )

где .

Модуль спектральной плотности равен ; аргумент .

Спектр непериодического сигнала характеризуется зависимостью модуля и аргумента спектральной плотности от частоты. В отличии от рассмотренных ранее дискретных спектров периодических колебаний, этот спектр является сплошным, так как описывается непрерывными функциями частоты и : (рисунок 1.11).

Рисунок 1.11- Зависимости модуля и аргумента спектральной плотности от частоты