3. Аналитические методы решения уравнения теплопроводности

В настоящее время аналитическим путем решено очень большое количество одномерных задач теплопроводности.

А.В.Лыков, например, рассматривает четыре метода решения уравнения теплопроводности в условиях одномерной задачи: метод разделения переменных, метод источников, операционный метод, метод конечных интегральных преобразований.

В дальнейшем остановимся только на первом методе, получившем наибольшее распространение.

3.1. Метод разделения переменных при решении уравнения теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности в условиях одномерной задачи и без источников теплоты имеет вид

∂t/∂τ = a ∂²t/∂x². (3.1)

Это уравнение является частным случаем однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для некоторой функции t от двух переменных x и τ:

( 3.2)

Легко проверить, что частным решением этого уравнения будет выражение

t = C exp (αx + βτ). (3.3)

Действительно:

∂t/∂x = αС ехр (αx + βτ); ∂t/∂τ = βС ехр (αx + βτ);

∂²t/∂x² = α²С ехр (αx + βτ);

∂²t/∂τ² = β²С ехр (αx + βτ); ∂²t/(∂x ∂τ) = αβС ехр (αx + βτ). (3.4)

Совместное решение последних семи уравнении дает

a₁α² + b₁αβ + c₁β² + d₁α + l₁β + f₁ = 0. (3.5)

Последнее уравнение называется уравнением коэффициентов.

Переходя к уравнению (3.1) сопоставляя его с уравнением (3.2), заключаем, что

b₁ = c₁ = d₁ = f₁ = 0; a₁= - a; l₁ = 1. (3.6)

Уравнение коэффициентов (3.5) для частного случая уравнения (3.1) приобретает вид

- α²a + β = 0 (3.7)

или

β = α²a. (3.8)

Таким образом, частное решение (3.3) является интегралом дифференциального уравнения (3.1) и с учетом (3.8) приобретет вид

t = C exp (α²aτ + αx). (3.9)

В этом уравнении можно задавать любые значения чисел для C, α, a.

Выражение (3.9) может быть представлено в виде произведения

t = C exp (α²aτ) exp (αx), (3.10)

где сомножитель exp (α²aτ) является функцией только времени τ, а сомножитель exp (αx) — только расстояния x:

exp (α²aτ) = f (τ); exp (αx) = φ (x). (3.11)

С увеличением времени τ температура во всех точках непрерывно растет и может стать выше наперед заданной, что в практических задачах не встречается. Поэтому обычно берут только такие значения α, при которых α² отрицательно, что возможно при α чисто мнимой величине.

Примем

α = ± iq, (3.12)

г де q — произвольное действительное число (ранее значком q обозначали удельный тепловой поток),

В этом случае уравнение (3.10) приобретет следующий вид:

t = C exp (- q²aτ) exp (± iqx). (3.13)

Обращаясь к известной формуле Эйлера

exp (± ix) = cos x ± i sin x (3.14)

и, пользуясь ею, преобразуем уравнение (3.13). Получим два решения в комплексном виде:

( 3.15)

Суммируем левые и правые части уравнений (3.15), затем отделим действительные от мнимых частей в левой и правой частях суммы и приравняем их соответственно. Тогда получим два решения:

( 3.16)

Введем обозначения:

(C₁ + C₂)/2 = D; (C₁ - C₂)/2 = C (3.17)

тогда получим два решения, удовлетворяющих дифференциальному уравнению теплопроводности (3.1):

t₁ = D exp (- q²aτ) cos (qx); t₂ = C exp (- q²aτ) sin (qx). (3.18)

Известно, что если искомая функция имеет два частных решения, то и сумма этих частных решений будет удовлетворять исходному дифференциальному уравнению (3.1), т. е. решением этого уравнения будет

t = C exp (- q²aτ) sin (qx) + D exp (- q²aτ) cos (qx), (3.19)

а общее решение, удовлетворяющее этому уравнению, можно записать в следующем виде:

( 3.20)

Любые значения q_m, q_n, C_i, D_i в уравнении (3.20) будут удовлетворять уравнению (3.1). Конкретизация в выборе этих значений будет определяться начальными и граничными условиями каждой частной практической задачи, причем значения q_m и q_n определяются из граничных условий, а C_i, и D_i, — из начальных.

П омимо общего решения уравнения теплопроводности (3.20) в котором имеет место произведение двух функций, одна из которых зависит от x, а другая - от τ, существуют еще решения, в которых такое разделение невозможно, например:

(3.21)

и

( 3.22)

Оба решения удовлетворяют уравнению теплопроводности, в чем легко убедиться, продифференцировав их сначала по τ, а затем 2 раза по x и подставив результат в дифференциальное уравнение (3.1).