- •1. Аномальные свойства воды
- •2. Двухмерное стационарное температурное поле
- •3. Аналитические методы решения уравнения теплопроводности
- •3.1. Метод разделения переменных при решении уравнения теплопроводности
- •3.2. Частный пример нестационарного температурного поля в стенке
- •3.3. Решение уравнения теплопроводности при различных граничных условиях [8]
- •4. Расчет тепловых потоков через поверхность и дно водоема
- •Расчет температуры воды по глубине водоема
- •Расчет температуры воды по глубине водоема
- •Расчет элементов термического режима водотока
- •6.1. Термический режим водотоков
- •6.2. Расчет температуры воды в водотоке
- •6.3. Расчет температуры воды в водохранилище-охладителе тэс
- •7. Расчет элементов ледотермического режима нижнего бьефа гидроузла
- •7.1. Ледотермический режим нижнего бьефа гэс
- •Режимы движения кромки льда
- •8.2. Тепловой расчет полыньи в нижнем бьефе гэс
- •7.3. Зажорные явления на реках
- •7.4. Расчет расхода шуги
- •8. Расчет толщины ледяного покрова
- •8.1. Общие сведения о толщине льда на водоемах и водотоках
- •8.2. Начальная толщина льда
- •Формулы для расчета начальной толщины льда
- •8.3. Толщина льда на водоемах и водотоках в период ледостава
- •Изменение толщины льда к окончанию ледостава
- •9. Взаимодействие льда и сооружений
- •Экспериментальные данные в.П.Афанасьева и ю.В.Долгополова
3.3. Решение уравнения теплопроводности при различных граничных условиях [8]
Не будем приводить последовательный ход решения уравнения теплопроводности при других граничных условиях, которые имеют практическое значение в решении некоторых задач. Ниже ограничимся лишь формулировкой их условий с показом имеющихся готовых решений.
Задача № 1. Исходные данные. Стенка имеет толщину 2Х. В начальный момент во всех ее точках, кроме поверхности, температура Тс Температура на поверхности 0°С удерживается в течение всего расчетного периода.
Требуется найти t = f(x, τ).
Решение.
(3.28)
Пример к задаче № 1. Неподвижное водохранилище покрылось льдом при температуре наибольшей плотности воды (Тс = 4°С). Глубина водохранилища 5м (Х = 5 м). Рассчитать температуру воды в водохранилище через 3 месяца после ледостава. Температуропроводность неподвижной воды a = 4,8·10-4 м2/ч. Тепловой поток у дна, т. е. при x = 0, отсутствует.
В течение расчетного периода (τ=3·30·24=2160ч) температура на поверхности удерживается постоянной и равной нулю, т. е. при x = Х Тп = 0°С.
Весь расчет сводим в табл. 3 и 4. Эти таблицы позволяют вычислить значения температуры через 3 месяца после начального момента для глубин у дна, а затем выше через 1 м, т. е. t0(дно) = 4°С; t1 = 4°С; t2 = 3,85°С; t3 = 3,30°С; t4 = 2,96°С; t5(пов) = 0°С.
Таблица3.3
Таблица3.4
Как видим, в абсолютно неподвижной воде температурные возмущения весьма медленно проникают вглубь. В природных условиях в водоемах под ледяным покровом всегда наблюдаются течения либо гравитационные (проточные), либо конвективные (разноплотностные), либо, наконец, вызванные поступлением грунтовых вод. Все многообразие указанных природных особенностей следует учитывать при практических расчетах, а рекомендации к этим расчетам можно найти в пособиях и в работах К.И.Россинского [37].
Задача №2. Исходные данные. Тело ограничено с одной стороны (полуплоскость). В момент времени τ = 0 во всех точках температура тела равна Тс. Для всех моментов времени τ > 0 на поверхности тела поддерживается температура Тп = 0°С.
Требуется найти распределение температуры в толще тела и потерю теплоты через свободную поверхность как функцию времени: t = f (x, τ),
Решение. Температура в любой точке тела и в любой момент времени
( 3.29)
г де есть интеграл Гаусса. Его значения в зависимости от функции даны в табл.3.5.
Таблица 3.5
П рактически решение начинается с определения отношения , в котором х и τ заданы в условии задачи.
К оличество теплоты, теряемой единицей поверхности тела в окружающую среду, определяется по закону Фурье. За весь расчетный период с начального момента до расчетного
( 3.30)
П ример к задаче № 2. В начальный момент времени температура почвы от поверхности до значительной глубины была постоянной и равной 6°С. В этот момент температура на поверхности почвы упала до 0°С.
Требуется определить температуру почвы на глубине 0,5 м через 48 ч при значении коэффициента температуропроводности почвы a = 0,001 м2/ч, а также оценить количество теплоты, теряемое поверхностью за это время.
Решение. Определяем значение функции
И з табл.3.5 находим по интерполяции значение интеграла Гаусса
П о формуле (3.29) температура почвы на глубине 0,5 м через 48 ч t=6·0,87=5,2°С.
Общее же количество теплоты, потерянной единицей поверхности почвы, при коэффициенте теплопроводности λ = 0,35 Вт/(м·°С), удельной теплоемкости c = 0,83·103 Дж/(кг·°С) и плотности ρ = 1500 кг/м3 определим по формуле (3.30) Q=l,86·106 Дж/м2.
Рис.3.2 Распределение температуры по глубине толщи [8]
Задача № 3. Исходные данные. Вследствие некоторого внешнего воздействия температура поверхности тела, ограниченного с одной стороны (полуплоскость), претерпевает периодические колебания около нуля. Будем считать, что эти колебания гармонические, т. е. температура поверхности меняется по косинусоиде:
( 3.31)
где — продолжительность колебания (период), T0 — температура поверхности,
T0 макс — ее максимальное отклонение,.
Требуется определить температурное поле как функцию времени.
Решение.
(3.32)
Амплитуда колебаний температуры меняется с x по следующему закону (рис.3.2):
( 3.33)
П ример к задаче № 3. Изменение температуры на поверхности сухой песчаной почвы в течение года характеризуется косинусоидальным ходом. Средняя годовая температура при этом равна 6°С при максимальных отклонениях от средней летом и зимой, достигающих 24 °С.
Требуется определить температуру грунта на глубине 1 м в момент, когда температура на поверхности равна 30°С (условно 1/VII).
Решение. Выражение косинусоиды (3.31) применительно к данному случаю (температуре поверхности) при T0 макс = 240С примет вид
Т0 = 24 cos (2πτ/8760) + 6.
Ввиду того, что поверхность грунта имеет среднюю годовую температуру 6°С, а не нуль, как в уравнении (3.32), расчетное уравнение примет следующий вид:
(3.34)
П риняв для грунта коэффициент температуропроводности a = 0,001 м2/ч и имея в виду, что по условию задачи необходимо определить температуру на конец расчетного периода (через 8760 ч от начального момента), найдем
Расчетное выражение (3.34) приобретет следующий вид: t = 24e-0,6·0,825 + 6 = 16,9 °С.
Н а той же глубине 1м максимальная амплитуда годового колебания температуры, согласно выражению (3.33), составит
T1 макс = 24e-0,6 = 13,2 °С,
а максимальная температура на глубине 1 м
t1 макс = Tx макс + 6 = 13,2 + 6 =19, 2 °С.
В заключение отметим, что рассмотренные задачи и подходы могут быть использованы при решении вопросов, связанных с выпуском теплой воды в водоем, а также при химическом методе определения расхода воды и в других случаях.