1.Оценка точности измеренных величин, обобщенная теорема оценки точности.

(Замечательные теоремы)

Теорема 1

Математическое ожидание линейной функции y=Аx+b равно:

Мy=АМx+ b

Доказательство: Мy=МΣAmn * xm+ b=Σ Amn* Мxm+ b= A Мx+b, что и требовалось доказать. Где А – матрица частных производных.

Заметим, что данная теорема необходима для дальнейшего изложения и доказательств.

Теорема 2 (Теорема обобщенной оценки точности функции или формула переноса ошибок)

Корреляционная матрица вектор-функции равна произведению матрицы линейного преобразования случайного вектора, корреляционной матрицы случайного вектора и транспонированной матрицы линейного преобразования.

Корреляция — показатель наличия линейной зависимости двух переменных. Может быть использован только для интервальных переменных и не может быть интерпретирован как "степень взаимосвязи" переменных.

В аналитической форме выглядит так: Кy= AKxA ^т А-матрица линейного преобразования, Кx- корелляционная матрица аргументов функции (случайного вектора).

Доказательство:

Получим корреляционную матрицу для вектор-функции:

Кy= М[(y- Мy)( y- Мy)^Τ] (1)

Так как вектор У можно записать в виде

Y=Ax+b (2)

Математическое ожидание согласно предыдущей теореме:

Мy=AMx+b (3)

где b – неслучайный вектор, то подставим выражение (2) и (3) в выражение (1)

получим:

Ky= M [(Ax+b-AMx-b)(Ax+b-AMx-b) ]=M[(Ax-AMx)(Ax-AMx)^т]=

M[A(X-Mx)(X-Mx) ^т]A ^т=AM[(X-Mx)( X-Mx) ^т]A ^т=AKxA ^т

что и требовалось доказать.

Заметим, что данная формула является точной только для линейных функций.

2.Задачи теории ошибок измерений

Измерением называется процесс сравнения некоторой физической величины с другой одноименной величиной, принятой за единицу меры.

Достаточные измерения – минимальное количество измерений, которых необходимо для уравнивания.

Прямое измерение — измерение, при котором искомое значение физической величины получают непосредственно.

Косвенное измерение — определение искомого значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной.

Избыточные измерения (точнее информативно-избыточные измерения) — измерения нескольких рядов однородных физических величин, размеры которых связаны между собой по закону арифметической или геометрической прогрессии, при неизменных или нормировано измененных значениях параметров нелинейной (в общем случае) функции преобразования сенсора (или измерительного канала в целом), при которых искомое значение физической величины получают приведенным ко входу измерительного канала путем обработки результатов промежуточных измерений по уравнению избыточных измерений, т.е. опосредованно. Избыточные измерения обеспечивают автоматическое (естественное) исключение систематических составляющих погрешности конечного результата измерений.

Равноточными называют результаты, полученные при измерениях одним и тем же прибором, одним и тем же методом, одинаковым числом приёмов и в одинаковых условиях. Равноточные измерения характеризуются одинаковой для всех результатов средней квадратической ошибкой.

Неравноточными называют измерения, которые имеют различные дисперсии. Это имеет место, когда измерения производят в различных условиях, по разной методике, с помощью различных приборов.

Ошибки измерения представляют собой отклонения измеренных величин от их точных значений. Различают грубые, систематические и случайные ошибки. Теория ошибок наблюдений занимается исследованием поведения случайных и систематических ошибок при массовых измерениях с помощью методов теории вероятностей и математической статистики. Изучением грубых ошибок наблюдений теория ошибок не занимается, но с этим вопросом тесно связана одна из задач теории ошибок – отбраковка измерений, содержащих грубые ошибки (на стадии предварительной обработки).

Любые измерения всегда обременены случайными ошибками. В практике измерения производят таким образом, чтобы результаты получались с некоторой заданной точностью.

Понятие «заданная точность» определяется численными критериями, которые должны представлять собой вероятностную характеристику возможных отклонений полученных результатов от их истинных значений.

Основными задачами теории ошибок измерений являются:

1. Определение указанных критериев их оценки;

2. Изучение законов возникновения и распределения ошибок измерений и вычислений, установление допусков (критериев, указывающих на наличие грубых ошибок);

3. Вычисление наиболее точных по вероятности значений измеряемых величин и их функций;

4. Предвычисление ожидаемой точности и оценка точности полученных результатов.

5. Характеристика точности окончательных значений определенной величины по результатам математической обработки.