1.2.1.Метод Крамера

Данный метод применяют для решения, так называемых, квадратных систем (число уравнений системы равно числу неизвестных):

, (3)

главный определитель Δ которoй отличен от нуля

.

Решение системы (3) находят по формулам Крамера:

где - это вспомогательные определители системы, полученные путем замены i – того столбика главного определителя, столбцом свободных членов:

- первый вспомогательный определитель,

- второй вспомогательный определитель,

- n – ый вспомогательный определитель.

Замечание. Если главный определитель системы отличен от нуля   0, то система имеет единственное решение.

Если главный определитель системы равен нулю  = 0 и все вспомогательные определители равны нулю _i= 0, то система имеет множество решений.

Если главный определитель системы равен нулю  = 0 , а среди вспомогательных определителей найдется хотя бы один отличный от нуля, то система решений не имеет.

Пример 1. Решить систему уравнений методом Крамера

.

Решение. Вычислим главный определитель системы , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

.

Далее найдем значения вспомогательных определителей ₁, _2, ₃.

Первый вспомогательный определитель ₁ получим заменой первого столбика главного определителя  свободными членами:

.

Второй вспомогательный определитель ₂ получим заменой второго столбика главного определителя  свободными членами:

.

Третий вспомогательный определитель ₃ получим заменой третьего столбика главного определителя  свободными членами:

.

Неизвестные члены x_i системы уравнений вычислим по формулам Крамера:

Ответ.(1; 2; 3).

1.2.2.Матричный метод

Данный метод применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений, содержащих n уравнений с n неизвестными

, (4)

если определитель основной матрицы системы отличен от нуля   0.

Эту систему можно записать в матричном виде с помощью матричного уравнения

AX = B, (5)

где А - основная матрица системы, Х - матрица-столбец неизвестных,

В - матрица-столбец свободных членов

, , .

Решением матричного уравнения будет матрица Х, которую находят путем умножения обратной матрицы А^-1 на матрицу В – столбец свободных членов

Х = А^-1 В. (6)

Пример 2. Решить матричным методом систему уравнений

.

Решение. Составим основную матрицу системы А, матрицу – столбец свободных членов В, матрицу – столбец неизвестных Х

, , .

Найдем обратную матрицу А^-1. Для этого вычислим определитель матрицы системы

.

Определитель отличен от нуля, следовательно, систему уравнений можно решать матричным способом.

Далее найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы по формуле

,

где М_ij – это определитель, полученный из определителя матрицы системы, путем вычеркивания строки с номером i, столбика с номером j.

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Обратную матрицу вычислим по формуле

.

Получим обратную матрицу .

Далее воспользуемся формулой (6) для определения неизвестных x,y,z.

=

= , то есть, получено решение системы:

x = 2, y = 0, z = -1.

Правильность полученного результата устанавливаем с помощью проверки, подставляя найденные значения переменных х, y, z

в каждое уравнение системы

.

Ответ. (2, 0, 1).