1.2.3 Метод Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему (1)

.

Процесс решения такой системы методом Гаусса состоит из трех этапов.

На первом этапе с помощью элементарных преобразований получают систему уравнений, эквивалентную системе (1). Другими словами систему (1) сводят к ступенчатому виду

(7)

где - коэффициенты при неизвестных и свободные члены, полученные в результате элементарных преобразований.

На втором этапе исследуют систему линейных алгебраических уравнений, то есть определяют количество ее решений по теореме

Кронекера - Капелли.

Теорема 1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы

.

Правила практического поиска всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение

.

Теорема 3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений

.

На третьем этапе последовательно находят все решения, начиная поиск неизвестных членов х_i c последнего уравнения эквивалентной системы (7) .

Пример 3. Решить систему методом Гаусса:

.

Решение. Переход к эквивалентной системе проведем с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы заданной системы уравнений (получим нули под главной диагональю):

~ ~ ~ ~ .

Полученная матрица соответствует системе

.

Ранг расширенной матрицы = равен трем,

,

т.к. в ней содержится минор наивысшего третьего порядка, отличный от нуля

,

т.е. (матрица состоит из трех не нулевых строк).

Ранг основной матрицы системы также равен трем

.

Так как ранги расширенной и основной матрицы равны между собой и равны количеству неизвестных

,

то система уравнений имеет единственное решение.

Начиная с последнего уравнения системы найдем последовательно значения неизвестных х₃, х₂, х₁:

х₃ = 1,

х₂ = 1,

х₁ = 3 – х₂ – х₃ ,

откуда окончательно имеем решение системы х₃ = 1, х₂ = 1, х₁ = 1.

Ответ. (1,1,1).

Пример 4. Решить систему методом Гаусса:

.

Решение. Составим расширенную матрицу системы и обнулим с помощью элементарных преобразований элементы, стоящие под главной диагональю:

~ ~ ~ ~ .

Составим эквивалентную систему

и определим количество ее решений:

• ранг расширенной матрицы равен двум , т.к. ,

• ранг основной матрицы системы равен двум , т.к. ,

• количество неизвестных х_i равно четырем n = 4.

Так как выполнено условие , то делаем вывод, что система имеет множество решений.

Получим общее решение системы. Рассмотрим последнее уравнение системы уравнений

.

Выразим из него х₂ , придавая при этом неизвестным х₃ и х₄ произвольные значения х₃ = С₁, х₄ = С₂:

х₂ = - 3 – 13С₁ +5С₂ .

Подставим в первое уравнение системы найденные значения неизвестных х₂, х₃, х₄ и выразим из него х₁:

х₁ = 5С₂ – 8С₁ – 1.

Таким образом, общее решение системы уравнений будет иметь вид

х₁ = 5С₂ – 8С₁ – 1,

х₂ = - 3 – 13С₁ +5С₂,

х₃ = С₁,

х₄ = С₂.

Из общего решения легко можно получить частное решение. Если положить, например, х₃ = 0, х₄ = 0, то х₁ и х₂ будут соответственно равны -1 и -3. Частное решение системы можно представить в виде совокупности четырех чисел (-1, -3, 0, 0).

Ответ. , где С₁ и С₂ – любые числа.

Пример 5. Решить методом Гаусса систему

.

Решение. Составим расширенную матрицу системы и обнулим с помощью элементарных преобразований элементы, стоящие под главной диагональю:

~

Ранг расширенной матрицы системы равен двум

,

т.к. данная матрица содержит наивысший минор второго порядка, отличный от нуля

.

Ранг основной матрицы системы равен одному

,

т.к. отличный от нуля минор имеет первый порядок . Поскольку ранги основной и расширенной матриц системы не равны между собой

,

то данная система линейных алгебраических уравнений решений не имеет.

Ответ. Решений нет.