- •Федеральное агентство по образованию
- •1.Системы линейных алгебраических уравнений
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2.Методы решения систем линейных уравнений
- •1.2.1.Метод Крамера
- •Замечание. Если главный определитель системы отличен от нуля 0, то система имеет единственное решение.
- •1.2.2.Матричный метод
- •Эту систему можно записать в матричном виде с помощью матричного уравнения
- •1.2.3 Метод Гаусса
- •Полученная матрица соответствует системе
- •1.3 Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Вопросы для подготовки к экзамену по теме «Системы линейных алгебраических уравнений»
- •2. Комплексные числа
- •2.1.Понятие и представления комплексных чисел
- •2.2.Формы записи комплексных чисел
- •2.3.Действия над комплексными числами
- •2.4 Задачи для самостоятельного решения
- •2.5 Вопросы для подготовки к экзамену по теме «Комплексные числа»
- •3. Линейные преобразования собственные значения и собственные векторы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Оглавление
- •Библиографический список
- •660025, Г. Красноярск, ул. Вавилова, 66 а
- •660025, Г. Красноярск, ул. Вавилова, 66 а
2.3.Действия над комплексными числами
Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством
.
Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число, вычисленное по формуле
. (6)
Пример 2. Найти сумму и разность комплексных чисел и .
Решение. Чтобы найти сумму комплексных чисел, необходимо сложить соответственно их действительные и мнимые части:
.
Вычитание комплексных чисел выполняется аналогично сложению:
.
Ответ. , .
Произведением комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством
. (7)
То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, необходимо умножить их по правилу умножения двучленов, помня что i2 = -1 .
Проиллюстрируем умножение комплексных чисел на следующем примере:
.
Следует отметить, что произведение комплексного числа z на сопряженное число равно действительному числу
. (8)
При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются
. (9)
Возведение комплексных чисел в степень n выполняют по формуле Муавра
. (10)
Пример 3. Вычислить .
Решение. Обозначим выражение, стоящее в основании степени, через z1
.
Найдем модуль и аргумент числа z1:
, .
Вычислим значение по формуле (10):
.
Ответ. .
Правило деления. Чтобы разделить число z1 на число z2 необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число , сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное от деления чисел и .
Решение.
.
Ответ. .
Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел определяется как действие, обратное возведению в степень.
Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , удовлетворяющее равенству , т. е. .
, где . (11)
Замечание. Рассмотренная задача извлечения корня n-ой степени из комплексного числа равносильна решению уравнения вида , где, очевидно, . Для решения уравнения нужно найти n значений , а для этого необходимо найти модуль и аргумент комплексного числа и использовать формулу извлечения корня.
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Преобразуем исходное уравнение :
,
.
Примем подкоренное выражение за комплексное число z1= .
Определим модуль и аргумент числа z1:
, .
Полученные значения и подставим в формулу (11):
.
Заметим, что справа стоит - арифметический корень, его единственное значение равно 1.
Придавая последовательно значения от 0 до 5 , выписываем все возможные решения уравнения:
если , то ,
, то ,
, то ,
, то ,
, то ,
, то .
Ответ. Уравнение имеет шесть корней:
, , , , , .
Пример 6. Дано комплексное число . Требуется:
а) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;
б) найти все корни уравнения .
Решение.
а) чтобы получить алгебраическую форму числа z, умножим его числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю
.
- это алгебраическая форма числа z.
Для записи числа z в тригонометрической форме вычислим | z | и arg z:
, .
Тригонометрическая форма числа z:
.
б) запишем уравнение в виде , откуда .
Представим число - z в тригонометрической форме
.
Корни уравнения вычислим по формуле (11)
.
При к = 0 ,
к = 1 ,
к = 2 .
Ответ. а) алгебраическая форма числа z: , тригонометрическая форма числа z: ,
б) уравнение имеет три корня:
, , .