1.3 Задачи для самостоятельного решения

Исследовать системы линейных алгебраических уравнений на совместность. Если система имеет единственное решение, то решить ее методом Крамера и матричным методом. Если система имеет множество решений, применить для поиска решений метод Гаусса.

1. .

2. .

3. .

4. .

Ответы: 1) (1, -2, 3) 2) (1/6, -1, 5/6) 3) (17С, 2С, -7С) 4) (55/127, -248/127, -183/127, -70/127).

1.4. Вопросы для подготовки к экзамену по теме «Системы линейных алгебраических уравнений»

1. Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия и определения, классификация.

2. Методы решения систем алгебраических уравнений: метод Крамера, матричный метод, метод Гаусса.

3. Исследование систем линейных алгебраических уравнений, теорема Кронекера-Капелли.

4. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений.

2. Комплексные числа

2.1.Понятие и представления комплексных чисел

Комплексным числом z называется выражение вида

z = x + i y, (1)

где х и у - действительные числа, а i – мнимая единица, i² = -1.

Если х = 0, то число 0 + i y = i y называется чисто мнимым, если у = 0, то число x + 0 i = x отождествляется с действительным числом х.

Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z, а у - мнимой частью z , y = Im z.

Два комплексных числа z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ называются равными (z₁ = z₂) тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части: x₁ = x₂, y₁ = y₂.

Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда x = y = 0.

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа z = x + i y и = x - i y, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Всякое комплексное число z = x + i y можно изобразить точкой M(x, y) плоскости Oxy такой, что x = Re z, y = Im z.

И, наоборот, каждую точку M(x, y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + i y (рис.1)

Рис.1

Комплексное число можно задавать с помощью радиус – вектора . Длина вектора , изображающего комплекс-ное число z, называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси Ox и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg или φ.

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k = 0, -1, 1, -2, 2…): Arg z = arg z + 2πk, где argz - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π).

2.2.Формы записи комплексных чисел

Запись числа z в виде z = x + i y называют алгебраической формой комплексного числа.

Из прямоугольного треугольника ОМх, изображенного на рис.1, видно, что x = rcosφ, y = rsinφ. Следовательно, комплексное число z = x + i y можно записать в виде z = r cosφ +i rsinφ или

z = r (cosφ + i sinφ). (2)

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой.

Модуль комплексного числа r = | z | однозначно определяется по формуле

. (3)

Аргумент φ определяется из формул

, , . (4)

Так как

,

то

.

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента, т.е. считать .

При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рис.2.

Рис.2

Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то arg можно найти непосредственно (см. рис.3).

Например, , , , .

Рис.3

Используя формулу Эйлера

,

комплексное число z = r (cosφ + isinφ) можно записать в показательной форме

, (5)

где r = | z | - модуль комплексного числа, а угол .

Пример 1. Записать комплексные числа z₁ = -1 + i и z₂ = 1 в тригонометрической и показательной формах.

Решение.. Вычислим | z | и по формулам (3) и (4). Для комплексного числа z₁ имеем

, .

Запишем тригонометрическую форму комплексного числа z₁

и показательную форму

.

Для комплексного числа z₂ его модуль и аргумент будут равны

, .

Тригонометрическая форма комплексного числа z₂:

.

Показательная форма комплексного числа z₂:

.

Ответ. , .