4.2. Вывод основного закона электромагнитной индукции из закона сохранения и превращения энергии

Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея) можно вывести из закона сохранения и превращения энергии, что и было сделано Гельмгольцем (1847 г.).

Пусть имеется замкнутая цепь (контур с током), содержащая источник ЭДС, величина которой , и пусть полное сопротивление этой цепи равно R. Обозначим силу тока в цепи через I. Количество энергии, затрачиваемое источником ЭДС за время dt, как известно, равно

.

Если внешнее магнитное поле отсутствует или контур неподвижен, то вся эта энергия превращается в тепло, количество которого определяется законом Джоуля-Ленца:

.

Имеем

.

Откуда после сокращения на dt получим закон Ома для замкнутой (полной) цепи в интегральной форме:

и . (4.11)

При перемещении такого контура с источником ЭДС (с током) в магнитном поле часть энергии источника тока будет расходоваться против перемещения контура в магнитном поле, а часть выделяться в контуре в виде тепла. Расходование энергии источника тока против перемещения контура с током в магнитном поле связано с тем, что для получения индукционных токов методом перемещения проводника в магнитном поле необходимо совершить работу, так как сила, действующая на индукционный ток, препятствует перемещению проводника.

Известно, что работа по перемещению проводника с током в магнитном поле dA = IdФ, где dФ – величина изменения магнитного потока, сцепленного с данным контуром.

Так как при таком перемещении магнитное поле остается неизменным, то эта работа может совершаться лишь за счет энергии источника тока.

На основании закона сохранения и превращения энергии будем иметь

или

.

Откуда

. (4.12)

Решая уравнение (4.12) относительно силы тока, найдем

. (4.13)

Принимая равенство (4.13) за математическое выражение закона Ома и сравнивая его с полученным ранее для этого же контура в отсутствие магнитного поля, можно установить, что благодаря изменению потока магнитной индукции к имевшейся в цепи ЭДС источника прибавилась ЭДС:

. (4.14)

Как видно, величина ЭДС электромагнитной индукции не зависит от величины  источника тока и, значит, сохранит свое значение и при  = 0, т.е. будет возникать вне зависимости от всяких других ЭДС, действующих в той же цепи.

Знак «минус» служит математическим выражением правила (закона) Ленца.

Таким образом, формула (4.14) является математическим выражением основного закона электромагнитной индукции (в формулировке Максвелла).

Аналогично можно получить вывод этого закона и для отрезка проводника (в формулировке Фарадея).

4.3. Явление самоиндукции. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида. Коэффициенты индуктивности и взаимной индуктивности

И звестно, что вокруг любого проводника с током возникает магнитное поле. Следовательно, с любым контуром тока всегда связан поток магнитной индукции. Этот поток будет изменяться при изменении силы тока в контуре, а также формы контура или магнитной проницаемости окружающей среды. Изменение же магнитного потока, согласно закону электромагнитной индукции, возбудит в контуре ЭДС. ЭДС электромагнитной индукции, которая возникает в каком-либо контуре вследствие изменения магнитного потока, создаваемого электрическим током этого контура, называют ЭДС самоиндукции (рис. 4.4).

Величина ЭДС самоиндукции может быть определена по общей формуле, выражающей основной закон электромагнитной индукции:

.

Рассчитаем ЭДС самоиндукции, возникающую в бесконечно длинном соленоиде, магнитное поле которого однородно находится внутри объема соленоида, заполненного средой с магнитной проницаемостью .

Магнитный поток Ф₁, пронизывающий каждый виток соленоида сечением S,

. (4.15)

При изменении тока в соленоиде в каждом витке возникает ЭДС самоиндукции:

. (4.16)

В N последовательно соединенных витках соленоида возникает ЭДС самоиндукции:

(4.17)

где - коэффициент самоиндукции или индуктивность.

Индуктивность L зависит от формы, размеров проводника и магнитной проницаемости среды, окружающей проводник.

При _с = L, т.е. индуктивность (коэффициент самоиндукции) – это физическая величина, численно равная ЭДС самоиндукции, возникающей в проводнике при скорости изменения тока в нем, равной 1 А/с. В системе СИ индуктивность проводников измеряется в «генри» (Гн).

Один Гн (генри) – это индуктивность такого проводника, в котором при скорости изменения тока в 1 А/с индуцируется ЭДС самоиндукции, равная 1 В.

Если L = const,

. (4.18)

Следовательно, ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения тока в проводнике. Оказывается, что данное утверждение справедливо для любых проводников.

Если L  const, что возможно при  = f(H),

. (4.19)

То есть при наличии ферромагнетиков и в переменных магнитных полях коэффициент пропорциональности в выражении для ЭДС самоиндукции не равен L.

Таким образом, в проводниках с переменным током существуют одновременно две ЭДС - источника тока и самоиндукции.

При возрастании тока , _с<0, а это означает, что ЭДС самоиндукции «тормозит» движение зарядов в проводнике, совершая отрицательную работу, т.е. уменьшает ток в проводнике.

Если ток в проводнике убывает , _с>0 - ЭДС самоиндукции препятствует уменьшению тока в проводнике.

Следовательно, _с противодействует причине, которая порождает ее (препятствует изменению тока в проводнике).

Сравнивая выражения и для магнитного потока, имеем

Ф = LI. (4.20)

4.3.1. Взаимная индукция. Коэффициент взаимной индукции

Взаимная индукция, явление, в котором обнаруживается магнитная связь двух или более электрических цепей. Благодаря этой связи возникает ЭДС индукции в одном из контуров при изменении тока в другом. Количественной характеристикой магнитной связи электрических цепей является взаимная индуктивность.

Если два контура (два замкнутых проводника) находятся в магнитных полях друг друга, то при всяком изменении тока в одном из них происходит изменение магнитного потока, пронизывающего (сцепленного) другой контур, что вызывает в нем появление ЭДС индукции (рис. 4.5).

М агнитный поток через первый контур с током I₁ частично пронизывает площадь, ограниченную вторым контуром. Причем магнитный поток Ф₁₂ через контур два прямо пропорционален току I₁:

, (4.21)

где М₁₂ - коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, формы контуров, расстояния между ними, от их взаимного расположения, а также от магнитной проницаемости окружающей среды. Он называется взаимной индуктивностью или коэффициентом взаимной индукции контуров. В системе СИ измеряется в генри (Гн).

Если ток I₂ течет в контуре "два", то магнитный поток Ф₂₁ через контур «один» также пропорционален току I₂:

. (4.22)

Согласно закону электромагнитной индукции,

; (4.23)

, (4.24)

где ₂ и ₁ - возникающие во втором и в первом контурах ЭДС индукции;

и - скорости изменения магнитных потоков через соответствующие контуры.

Взаимная индукция лежит в основе действия трансформаторов.