- •Оглавление
- •Электромагнитные явления 12
- •От авторов
- •Введение
- •Электромагнитные явления
- •1.1. Магнитное поле в вакууме и его характеристики. Магнитное поле и магнитный момент кругового тока
- •1.2. Закон Био-Савара-Лапласа
- •1.3. Применение закона Био-Савара-Лапласа к расчету магнитных полей прямолинейного и кругового токов
- •1.4. Магнитное взаимодействие токов. Силы Лоренца и Ампера
- •2.1. Циркуляция индукции магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля. Теорема о циркуляции индукции магнитного поля (закон полного тока для магнитного поля)
- •2.2. Применение закона полного тока для расчета магнитных полей
- •2.3. Магнитный поток. Магнитные цепи
- •2.4. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле
- •3.1. Природа магнитных свойств вещества. Магнитные моменты атомов. Микро- и макротоки (молекулярные токи)
- •3.2. Магнитное поле в веществе. Намагниченность
- •3.3. Диамагнетизм. Диамагнетики и их свойства
- •3.4. Парамагнетизм. Парамагнетики и их свойства
- •3.5. Элементы теории ферромагнетизма. Ферромагнетики и их свойства
- •3.6. Антиферромагнетизм. Антиферромагнетики и их свойства
- •3.7. Граничные условия на поверхности раздела двух магнетиков
- •4.1. Явление электромагнитной индукции. Основной закон электромагнитной индукции. Правило (закон) Ленца
- •4.2. Вывод основного закона электромагнитной индукции из закона сохранения и превращения энергии
- •4.3. Явление самоиндукции. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида. Коэффициенты индуктивности и взаимной индуктивности
- •4.4. Явление самоиндукции при замыкании и размыкании электрической цепи
- •4.5. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии магнитного поля
- •5.1. Движение заряженных частиц в однородном электрическом поле
- •5.2. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле
- •5.3. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Гальваномагнитные явления
- •5.4. Применение электронных пучков в науке и технике. Понятие об электронной оптике
- •5.5. Эффект Холла
- •6.1. Нелинейный осциллятор. Физические системы, содержащие нелинейность
- •6.2. Получение электромагнитных колебаний. Собственные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение собственных электромагнитных колебаний и его решение
- •6.3. Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решение. Характеристики затухающих электромагнитных колебаний
- •6.4. Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение. Резонанс
- •7.1. Основные положения теории Максвелла
- •7.2. Представление эдс индукции с помощью теоремы Стокса
- •7.3. Представление циркуляции с помощью теоремы Стокса
- •7.4. Ток смещения
- •7.5. Система уравнений Максвелла
- •7.6. Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Основные свойства, получение и распространение электромагнитных волн. Энергия электромагнитной (световой) волны. Вектор Умова-Пойтинга
- •7.7. Источники электромагнитного излучения
- •8.1. Релятивистское преобразование электромагнитных полей, зарядов и токов
- •8.2. Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца
- •9.1. Квазистационарное электромагнитное поле
- •9.2. Квазистационарные электрические токи
- •Заключение
- •Рекомендательный список литературы Основной
- •Дополнительный
- •Редактор с.П. Тарасова Компьютерная верстка и макет
1.2. Закон Био-Савара-Лапласа
1.2.1. Магнетизм как релятивистский эффект
П усть в неподвижной системе отсчета вдоль оси расположен проводник с током (рис. 1.2). Выделим на проводнике элемент длиной . Если поперечное сечение проводника , концентрация носителя заряда , - элементарный заряд (например, заряд протона), то в объеме элемента находится электрический заряд
.
Будем считать скорость направленного движения зарядов в проводнике равной . Предположим, что на расстоянии от выделенного элемента проводника в подвижной системе со скоростью движется электрический заряд . Направление движения системы (заряда ) совпадает с направлением тока в проводнике (элементе проводника ).
Между силами, действующими на заряд в подвижной и неподвижной системах отсчета (с точки зрения специальной теории относительности), существует связь
,
где - сила, действующая на заряд в неподвижной системе отсчета;
- сила, действующая на заряд в подвижной системе отсчета.
На основании закона Кулона можно записать
,
тогда
. (1.9)
Принимая во внимание Лоренцево сокращение элемента , фиксируемое наблюдателем, находящимся в системе , заменим в уравнении (1.9) на
.
Будем иметь
. (1.10)
Первое слагаемое в выражении (1.10) представляет собой кулоновскую силу взаимодействия двух точечных зарядов:
.
Это слагаемое значительно превосходит второе слагаемое, однако оказывается полностью скомпенсированным кулоновской силой, действующей на заряд со стороны ионов, образующих кристаллическую решётку (любой элемент проводника электрически нейтрален). Не-скомпенсированным остаётся второе слагаемое формулы (1.10), обусловленное магнитным взаимодействием движущихся зарядов:
. (1.11).
Знак «минус» в выражении (1.11) означает, что сила магнитного взаимодействия (магнитная сила) в данном случае является силой притяжения. В то время как кулоновская сила (в данном случае) является силой отталкивания.
Таким образом, с точки зрения теории относительности, между движущимися электрическими зарядами, помимо силы электрического происхождения, действует сила магнитного происхождения. Это позволяет утверждать, что в пространстве вокруг движущихся зарядов существует магнитное поле.
1.2.2. Закон Био-Савара-Лапласа и алгоритм его применения
Из основных положений теории относительности было получено выражение для численного значения магнитной составляющей силы взаимодействия заряда и элемента тока:
. (1.11')
Обозначив постоянную Гн/м и учитывая, что , перепишем формулу (1.11') в виде
. (1.12).
Два последних сомножителя в (1.12) являются электрическим и кинетическим параметрами заряда , а сомножитель в скобках характеризует магнитную компоненту электромагнитного поля, т.е. представляет элемент индукции магнитного поля . Таким образом
. (1.13).
Следовательно, магнитное поле действительно является проявлением (частью) более общего электромагнитного поля. При этом очень существенным оказывается выбор системы отсчета. Так, например, если в данной системе отсчета заряд покоится ( ), то магнитного поля вокруг этого заряда не существует . При переходе в подвижную систему отсчета, с которой связан движущийся электрический заряд, появляется магнитная компонента электромагнитного поля ( ). Выражение (1.13) представляет элемент индукции магнитного поля для частного случая, когда интересующие точки поля лежат на перпендикуляре к элементу .
Еще до появления теории относительности Лаплас, обобщив результаты экспериментальных исследований, проведенных Био и Саваром, предложил формулу для расчета элемента индукции магнитного поля в общем случае
, (1.14).
где α- угол между направлениями радиус-вектора, проведенного из элемента тока в интересующую точку пространства, и элементом тока (рис. 1.3);
- магнитная проницаемость вещества, безразмерная величина (для вакуума ).
И з сопоставления формул (1.13) и (1.14) видно, что формула (1.13) является частным случаем формулы (1.14).
В векторной форме закон Био-Савара-Лапласа для элемента индукции магнитного поля можно записать так:
. (1.15).
Поскольку является результатом векторного произведения векторов и , то он перпендикулярен к плоскости, образованной векторами-сомножителями, а его направление можно определить с помощью правила правого винта.
Учитывая связь между вектором напряженности магнитного поля и вектором индукции магнитного поля (1.7), для элемента напряженности закон Био-Савара-Лапласа можно записать в виде
(1.16)
или в векторной форме
. (1.17)
Чтобы получить значение вектора индукции (напряженности) магнитного поля, обусловленного произвольным проводником с током, необходимо этот проводник представить в виде совокупности элементов тока, записать выражение для элемента индукции (напряженности) магнитного поля, а затем произвести суммирование по всем элементам индукции (напряженности), т.е.
или .
В этом смысл алгоритма применения закона Био-Савара-Лапласа для расчета магнитных полей, обусловленных постоянным током, и принципа суперпозиции магнитных полей, согласно которому если магнитное поле создано несколькими токами, то результирующее поле характеризуется результирующими векторами B или H, которые определяются (согласно принципу суперпозиции магнитных полей) так:
и . (1.8)