Тема 5. Умовна ймовірність. Формули множення ймовірностей

1. В урні 6 білих і 6 чорних кульок. Із урни двічі навмання виймають по одній кульці без повернення. Знайти ймовірність появи білої кульки при другому випробуванні, якщо при першому випробуванні витягли чорну кулю.

2. Підкидаємо два гральні кубики. Яка ймовірність того, що випаде хоча б один раз 6 очок, якщо сума очок дорівнює 8?

3. Три мисливці стріляють у ведмедя. При цьому ймовірність того, що влучить перший, дорівнює 0,2; другий – 0,4; третій – 0,6. Яка ймовірність того, що ведмедя вбив перший мисливець.

4. Консультаційний пункт інституту отримує пакети з контрольними роботами із міст А, В та С. Ймовірність отримати пакет із міста А дорівнює 0,7, із міста В – 0,2. Знайти ймовірність того, що наступний пакет інститут отримає із міста С.

5. Ймовірність того, що день буде дощовий, дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що день буде сонячний.

6. Із 100 валів з чотирма групами допусків 15 штук мають першу групу, 40 – другу, 30 – третю. Визначити ймовірність появи валів четвертої групи.

7. Подія А може з’явитися за умови, якщо з’явиться одна з несумісних подій (гіпотез) В₁, В₂, В₃, які утворюють повну групу подій. Після появи подій А були переоцінені ймовірності гіпотез, тобто були знайдені умовні ймовірності цих гіпотез. Виявилося, що Р_А(В₁) = 0,6; Р_А(В₂) = 0,3. Чому дорівнює умовна ймовірність Р_А(В₃) гіпотези В₃?

8. Дано: Р_В (А) = 0,7; Р (А) = 0,3; Р_А(В) = 0,6. Обчислити Р(А).

9. Нехай Р(А)>0 та Р (В) = Р (В). Довести, що А та В незалежні.

10. Відомі значення: Р(А) = 0,3, , Р(А / В) = 0,32. Знайти: Р(А∩В), Р(А∩В), Р(В / А), .

11. Ймовірність одержати повідомлення від певної особи протягом доби дорівнює 0,25. Яка ймовірність того, що повідомлення на протязі доби від цієї особи не буде одержане?

12. Підкидають два гральних кубики. Яка ймовірність того, що випаде принаймні одна трійка, якщо на двох кубиках випали різні грані?

13. Підкидають три гральних кубики. Яка ймовірність того, що принаймні один раз випаде шістка, якщо на всіх трьох кубиках випали різні грані?

14. З урни, в якій лежать m білих і n чорних куль, беруть послідовно дві кулі. Відомо, що перша куля біла. Яка ймовірність того, що друга куля теж буде біла?

15. Маємо три конусні та сім еліпсовидних валиків. Спочатку беремо один валик, потім інший. Яка ймовірність того, що перший валик був конусний, другий – еліпсовидний?

16. В урні знаходиться 5 білих, 4 чорних і 3 синіх кулі. Кожне випробування полягає в тому, що навмання береться одна куля і назад не повертається. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з’явиться біла куля, при другому – чорна, при третьому – синя.

17. Знайти ймовірність одночасного попадання в ціль двома гарматами, якщо ймовірність попадання в ціль першою гарматою дорівнює 0,8, другою – 0,7.

18. Маємо три ящики, в яких містяться по 10 деталей. В першому ящику – 8, в другому – 7, в третьому – 9 стандартних деталей. З кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Знайти ймовірність того, що всі три взяті деталі стандартні.

19. У ящику лежать деталі трьох сортів: п’ять – першого, чотири – другого, три – третього. З ящика навмання виймають одну деталь і повертають назад. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з’явиться деталь першого сорту, при другому – другого, при третьому – третього.

20. Події А₁ А₂ ,…,А_n незалежні у сукупності. Знайти ймовірність того, що не відбудеться жодна з цих подій.

21. Об’єднання складається з двох підприємств. Ймовірність появи бракованої продукції на першому підприємстві 0,1, на другому – 0,2. Знайти ймовірність того, що продукцію без браку випустить тільки одне підприємство.

22. Три студенти складають екзамен з математики. Ймовірність того, що перший студент складе екзамен, дорівнює 0,9, для другого та третього студентів ця ймовірність відповідно дорівнює 0,8 і 0,7. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

А – три студенти складуть екзамен;

В – три студенти не складуть екзамен;

С – два студенти складуть екзамен.

23. В урні міститься 9 червоних і 5 синіх кульок. Кульки з урни виймаються по одній без повернення. Таким чином вийняли чотири кульки. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

А – з’явиться чотири червоні кульки;

В – з’явиться чотири сині кульки;

С – з’явиться дві сині і дві червоні кульки.

24. Відрізок розділений на три рівні частини. На цей відрізок кинули навмання три точки. Знайти ймовірність того, що на кожну із трьох частин відрізка попадає по одній точці. Ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна довжині відрізка і не залежить від його розміщення.

25. У читальному залі знаходиться 6 підручників з теорії ймовірностей, із яких 3 в твердій обкладинці. Бібліотекар навмання взяв два підручники. Знайти ймовірність того, що обидва підручники в твердій обкладинці.

26. Для деякої місцевості середнє число хмарних днів у липні дорівнює шести. Знайти ймовірність того, що першого і другого липня буде ясно.

27. У цеху працює 7 чоловіків і 3 жінки. За табельними номерами відібрали три особи. Знайти ймовірність того, що:

а) всі відібрані особи виявляться чоловічої статі;

б) всі відібрані особи виявляться жіночої статі;

в) серед відібраних осіб буде дві жінки та один чоловік.

28. В ящику знаходяться 10 деталей, серед яких 6 пофарбованих. Навмання беремо 4 деталі. Знайти ймовірність того, що всі взяті деталі виявляться пофарбовані.

29. Студент знає 20 із 25 питань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає відповіді на три запитання, які поставив йому екзаменатор.

30. Студент прийшов на залік, знаючи відповідь на 24 питання з 30. Яка ймовірність скласти залік, якщо після правильної відповіді на запитання викладач задає ще одне запитання?

31. В урні міститься 9 червоних і 5 синіх кульок. Кульки з неї вий­маються по одній без повернення. Таким способом вийняли чотири кульки. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) А – з’явиться чотири червоні кульки; 2) В – чотири сині; 3) С – дві червоні й дві сині кульки.

32. Задано множину цілих одноцифрових чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Навмання береться одне число, а потім друге, при цьому перше не повертається. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) А – здобуте двоцифрове число виявиться непарним; 2) В – здобуте двоцифрове число ділиться на 5 або на 2.

33. Прилад складається з трьох елементів, які працюють незалеж­но один від одного. Ймовірність того, що перший елемент не вийде із ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює р₁ = 0,9. Для другого і третього елементів ця ймовірність відповідно така: р₂ = 0,8, р₃ = 0,7. Обчислити ймовірність того, що під час роботи приладу з ладу вийде: 1) А – три елементи; 2) В – два елементи; 3) С – один елемент; 4) D – всі три елементи не вийдуть із ладу. З’ясувати, чи утворюють випадкові події А, В, С, D повну групу.

34. Імовірність безвідказної роботи блока, що входить у систему впродовж певного часу дорівнює 0,9. Для надійності роботи системи встановлюється такий же блок, що буде знаходитись у резерві. Яка ймовірність безвідмовної роботи системи, коли при цьому враховувати резервний блок?

35. Радіолокаційна система, до якої входять дві станції, що працюють самостійно, виконує деяке завдання з виявлення літака-порушника повітряного простору України на певній ділянці кордону. Для виконання цього завдання необхідно, щоб у справному стані була хоча б одна радіолокаційна станція. Ймовірність безвідказної роботи першої станції дорівнює 0,95, а другої 0,85. Система працюватиме надійно, якщо буде справною хоча б одна радіолокаційна станція. Знайти ймовірність цієї події.

36. Робітник обслуговує три верстати-автомати, що працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що протягом години перший верстат потребує уваги робітника дорівнює 0,9, для другого та третього верстатів ця ймовірність дорівнює відповідно 0,85 і 0,8. Яка ймовірність того, що протягом години уваги робітника потребують: 1) А – два верстати; 2) В – хоча б один із трьох?

37. В урні міститься 3 червоних, 1 синя і 2 зелених кульок. Із урни кульки виймають по одній без повернення. Кульки виймають до першої появи червоної. Обчислити ймовірність цієї події.

38. Для виготовлення деталі необхідно провести чотири незалеж­ні технологічні операції. Імовірність допустити брак при виконанні першої технологічної операції q₁ = 0,1, і для другої, третьої і четвертої ці ймовірності дорівнюють відповідно q₂ = 0,05, q₃ = 0,15, q₄ = 0,2. Яка ймовірність того, що виготовлена деталь виявиться стандартною?

39. При вмиканні запалення мотор автомашини починає працювати із імовірностю Р = 0,9. Знайти ймовірності таких випадкових подій: 1) А – мотор почне працювати при другому вмиканні запалення; 2) для роботи мотора необхідно ввімкнути мотор не більше двох разів.

40. В урні чотири білі й три чорні кульки. Два гравці почергово виймають із урни по кульці, не повертаючи їх до урни. Виграє той гравець, який раніше витягне білу кульку. Знайти ймовірність того, що виграє перший гравець.

41. Відомо, що при підкиданні 10 гральних кубиків випала принаймні одна одиниця. Яка ймовірність того, що випаде дві одиниці або більше?

42. Відомо, що 5% чоловіків і 0,25% усіх жінок не розрізняють кольори. Навмання обрана особа – не розрізняє кольори. Яка ймовірність того, що це чоловік? (Вважати кількість чоловіків та жінок однаковою)

43. Кинуто послідовно три монети. Визначити, залежні чи незалежні випадкові події: =”випав герб на першій монеті”, =”випала хоча б одна решка”.

44. Два мисливці влучають у ціль з ймовірностями 0,7 та 0,8 відповідно. Кожен з них робить один постріл. Яка ймовірність того, що:

а) обидва влучать;

б) жоден не влучить;

в) хочаб один влучить;

г) лише один влучить у ціль.

45. Кинуто два гральних кубики. Розглянемо випадкові події: = „на першому кубику випало парне число очок”, = „на другому кубику випало непарне число очок”, = „сума чок на кубиках непарна”. Довести, що події попарно незалежні, але не є незалежними у сукупності.