- •Вычисление определителей
- •1.1. Определители второго порядка
- •1.2. Определители третьего порядка
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Определители произвольного порядка
- •1.5. Задачи для самостоятельного решения
- •2.5. Задачи для самостоятельного решения
- •2.6. Обратная матрица
- •Найдем разность матриц
- •2.7. Задачи для самостоятельного решения
- •3.Решение систем уравнений
- •3.1. Линейные системы уравнений
- •Матрицы
- •3.2. Решение системы уравнений
- •3.3. Задачи для самостоятельного решения
- •4. Векторы, простейшие действия над ними
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Операции над векторами
- •4.3. Задачи для самостоятельного решения
- •5. Скалярное произведение векторов
- •5.1. Определение и свойства
- •5.2. Задачи для самостоятельного решения
- •6. Векторное произведение
- •6.1. Определение векторного произведения
- •6.2. Свойства векторного произведения
- •6.3. Задачи для самостоятельного решения
- •7. Смешанное произведение векторов
- •7.1. Определение и свойства
- •7.2. Задачи для самостоятельного решения
- •8. Прямая на плоскости
- •8.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •8.2. Задачи для самостоятельного решения
- •8.3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •8.4. Геометрические задачи с использованием различных
- •8.5. Задачи для самостоятельного решения
- •9. Прямая и плоскость в пространстве
- •9.1. Плоскость в пространстве
- •9.2. Задачи для самостоятельного решения
- •9.3. Прямая и плоскость
- •9.4. Задачи для самостоятельного решения
- •10. Введение в анализ
- •10.1. Предел функции. Основные определения и обозначения
- •10.2. Неопределенности вида 0/0
- •10.3. Неопределенности вида /
- •10.4. Неопределенности вида - , 0, 00, 0, 1
- •11.1. Производная функции. Основные определения и обозначения
- •11. Домашнее задание
- •11.1. Основные правила и требования
- •Список рекомендованной литературы
10.3. Неопределенности вида /
Основными примерами этой неопределенности являются рациональные функции, когда аргумент стремится к бесконечности. Решаются они вынесением в числителе и знаменателе наивысшей степени х и ее сокращением. При вычислении окончательного результата постоянно используется равенство С/ = 0 (C-константа).
Пример. Найти предел
Выносим наивысшую степень х в числителе и знаменателе:
10.4. Неопределенности вида - , 0, 00, 0, 1
Первые четыре неопределенности с помощью арифметических преобразований сводятся к рассмотренным ранее случаям. Особый интерес представляет последняя неопределенность. Для вычисления пределов с неопределенностью 1 очень удобна следующая формула:
Примеры.
а) Найти предел
б) Найти предел
При вычислении подобных примеров наибольшую опасность представляет путаница, возникающая в связи с тем, что к определенным выражениям (типа (2/3) = 0) применяют формулу, как для неопределенности вида 1. Например
или
11.1. Производная функции. Основные определения и обозначения
Назовем разность – приращением функции в точке соответствующим приращению аргумента Производной функции в точке называется предел
Производная функции , рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией. Процесс нахождения производной называют также дифференцированием. Для нахождения производных нужно пользоваться таблицей производных основных элементарных функций и правилами дифференцирования функций.
Таблица производных основных элементарных фнкций.
Правила дифференцирования функций
1. Пусть C-константа и функции имеют производную в точке тогда:
; ; ;
; .
2. Пусть функция имеет производную в точке а функция имеет производную в точке Тогда сложная функция в точке имеет производную, равную
Второе свойство называется правилом дифференцирования сложной функции.
Пример. Найти производную функции
Полагая и имеем и Отсюда, согласно правилу дифференцирования сложной функции, получаем
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е. Применение предварительного логарифмирования часто упрощает вычисление производной.
Примеры.
а) Найти производную функции
Логарифмируя, получим Отсюда находим производные левой и правой части Следовательно,
б) Найти производную функции
Логарифмируя, получим Находя производные левой и правой части, получаем
Следовательно,
Пусть на интервале заданы две функции и Если при этом функция на интервале имеет обратную то определена новая функция называемая функцией, заданной параметрически соотношениями Переменная называется в этом случае параметром. Производная функции, заданной параметрически, находится по формуле
Пример. Найти если функция задана параметрически
Поскольку то получаем
Производной 2-го порядка от функции называется производная от ее первой производной, т.е. Для производной 2-го порядка используется также обозначение
Пример. Найти если
Имеем Следовательно,
Если приращение функции точке можно представить в виде при то линейная часть этого приращения называется дифференциалом этой функции в точке , соответствующим приращению и обозначается символом