2.5. Задачи для самостоятельного решения

а) Найти произведение матриц АВ, где

б) Найти произведения АВ и ВА, где

в) Найти значение выражения 3А – ВС, где

2.6. Обратная матрица

Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е - единичная матрица порядка n.

Матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Следующие условия являются необходимыми и достаточными, чтобы у матрицы А = (а_ij)_nm была определена обратная матрица:

а) n=m;

б) определитель матрицы А не равняется нулю:

Следующие преобразования строк матрицы называются элементарными:

а) умножение любой строки на число, отличное от нуля;

б) прибавление к строке другой строки, домноженной на любое число;

в) перестановка строк;

г) отбрасывание нулевой строки.

Для нахождения обратной матрицы А^-1 применяется следующее правило:

а) выписывается матрица

(2.1)

б) с помощью элементарных преобразований над строками матрицы (2.1) превращают ее левую половину в единичную матрицу. Тогда ее правая половина превращается в обратную к ней матрицу А^-1.

Примеры.

а) Для матрицы найдем обратную.

По приведенному выше правилу получаем:

Итак, обратная матрица А^-1 равна

б) Решим матричное уравнение ХА + В = С, где

Умножим уравнение справа (порядок важен) на матрицу А^-1. Тогда

ХАА^-1 + ВА^-1 = СА^-1. Так как АА^-1 = Е, то ХЕ + ВА^-1 = СА^-1 или

= СА^-1- - ВА^-1 =(С-В)А^-1.

Найдем разность матриц

Вычислим матрицу А^-1

Тогда Х = (С-В)А^-1 =

2.7. Задачи для самостоятельного решения

а) Найти А^-1, где

б) Решить матричное уравнение АХ =В, где

3.Решение систем уравнений

3.1. Линейные системы уравнений

Дана система m уравнений с n неизвестными

. (3.1)

Решением этой системы называется любая совокупность n чисел (₁, ₂,..., _n), которая при подстановке в систему вместо совокупности неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество. Система (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае она называется несовместной..

Матрицы

называются соответственно матрицей и расширенной матрицей

системы (3.1).

Исследование на совместность и решение системы производят обычно одновременно с помощью метода Гаусса. Напомним, что элементы а_ii в матрице А называются диагональными. Метод Гаусса заключается в элементарных преобразованиях строк матрицы А₁ так, чтобы элементы преобразованной матрицы, стоящее ниже диагональных элементов, были нулевыми. При этом необходимо следить за диагональными элементами: они не должны обращаться в нуль. Если же при элементарных преобразованиях строк какой-либо диагональный элемент обратится в нуль (например, а_ii = 0), то поступать необходимо следующим образом: а) если в этом же столбце (где диагональный элемент оказался равен нулю) имеется ниже диагонального элемента ненулевой элемент, то соответствующую строку меняют местом с i-й строкой и продолжают преобразования; б) если же ниже нулевого диагонального элемента все элементы нулевые, то мы должны перейти к построению ступенчато-диагональной матрицы. Для этого сдвигаемся на один столбец вправо и считаем, что и диагональ матрицы тоже сдвинулась вправо и далее поступаем как описано выше. После всех преобразований матрица системы должна принять так называемый диагонально ступенчатый вид:

Ступенек в преобразованной матрице может быть несколько, причем разной длины. Элементы, которые будут стоять в углах таких ступенек, назовем ступенчато-диагональными (в данном примере это: а₁₁, а₂₂, а₃₄, а₄₅, а₅₆, ...).

Примеры.

а) Проверим совместность системы

Для этого запишем расширенную матрицу системы и проведем элементарные преобразования над строками:

Из сказанного выше вытекает, что данная система совместна.

б) Исследуем на совместность систему

Записав расширенную матрицу системы, с помощью элементарных преобразований получаем

Таким образом, данная система несовместна.