9.2. Задачи для самостоятельного решения

а) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 2, 0) и В(2, 1, 1), перпендикулярно плоскости -х + у - 1 = 0.

б) Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2х - у + 3z - 1 = 0,

х + 2у + z = 0.

в) Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2х-3у+6z=6 и координатными плоскостями.

г) Исследовать взаимное расположение данных пар плоскостей. В случае их параллельности найти расстояние между ними, в случае пересечения - угол между ними:

1) -х + 2у - z + 1 = 0, у + 3z - 1 = 0;

2) 2х - у + z - 1 = 0, -4х + 2у - 2z - 1 = 0.

9.3. Прямая и плоскость

Уравнение прямой в пространстве может быть записано как уравнение линии пересечения двух плоскостей в следующем виде:

. (9.10)

На практике больше применяется каноническое уравнение прямой в пространстве

(9.11)

где (х₁, у₁, z₁) - точка, через которую эта прямая проходит, а = (l, m, n) - вектор, параллельный прямой, - направляющий вектор.

Уравнение прямой, проходящей через две точки (х₁, у₁, z₁) и (х₂, у₂, z₂), имеет вид:

(9.12)

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и

Используя формулу (9.12), получаем

Равенство нулю знаменателя второй дроби означает, что прямая принадлежит плоскости

Острый угол между двумя прямыми в канонической форме:

и

определяется по формуле:

(9.13)

Условия параллельности прямых в канонической форме:

l₁/l₂ = m₁/m₂ = n₁/n₂. (9.14)

Условие ортогональности прямых:

l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0. (9.15)

Примеры.

а) Привести уравнение прямой к каноническому виду.

Решение

Выразим из системы х через у и z:

Следовательно,

б) Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую

(х-2)/2 = (у-1)/3 = (z - 3)/1.

Решение.

Запишем уравнение плоскости, проходящей через начало координат и ортогональной заданной прямой. Так как направляющий вектор заданной прямой = (2, 3, 1) в этом случае ортогонален плоскости, то можно положить = и записать уравнение плоскости в виде 2х + 3у + z = 0. Найдем точку пересечения этой плоскости и прямой для чего решим систему:

Из уравнения прямой, проходящей через две точки (9.12), получаем искомое уравнение прямой:

или x = y/(-2) = z/4.

в) Через прямую (х + 1)/2 = (у - 1)/(-1) = (z - 2)/3 проведем плоскость, параллельную прямой х/(-1) = (у + 2)/2 = (z - 3)/(-3).

Решение..

Так как вектора ₁ = (2, -1, 3) и ₂ = (-1, 2, -3) (направляющие вектора прямых) параллельны плоскости, то их векторное произведение _{1 2} ортогонально плоскости, т.е. может быть взято за вектор нормали плоскости.

Итак,

3( -1, 1, 1).

Прямая (х + 1)/2 = (у - 1)/(-1) = (z - 2)/3 лежит в плоскости. Следовательно, и точка (-1, 1, 2), через которую она проходит, находится там же. Таким образом, искомое уравнение плоскости можно записать в виде

-(х + 1) + (у - 1) + (z -2 ) = 0 или х - у - z + 4 =0.