6.3. Задачи для самостоятельного решения
а)
Даны векторы
= (-1, 3, 2) и
=
(2, 1, 1). Найти координаты векторов: 1)
;
2)
.
б)
В треугольнике с вершинами А(1,
-1, 2), В(5,
-6,2), С(1,
3, -1) найти высоту h
=
.
в) Найти координаты вектора , если он ортогонален векторам
= (2, 1, -3) и = (1, 3, -2), а также удовлетворяет условию (1, -7, 2)=10.
7. Смешанное произведение векторов
7.1. Определение и свойства
Смешанным произведением трех векторов
называется
число
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
а)
,
если все три вектора параллельны одной
и той же плоскости (компланарны);
б)
г)
объем параллелепипеда, построенного
на векторах
и
,
равен
Примеры.
а) Найти смешанное произведение векторов =(5, 7, 2), = (1, -1, 1),
= (2, 2, 1).
Из определения имеем
=
-5 + 14 + 4 + 4 - 10 - 7 = 0, т.е. вектора
и
компланарны.
б) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(2, 2, 2),
В(4, 3, 3), С(4, 5, 4), D(5, 5, 6).
Из свойств смешанного произведения заключаем, что искомый объем равен
в)
Вычислим
Используя определение смешанного произведения и свойства векторного и скалярного произведений получаем
г)
По координатам вершин пирамиды
найти: 1) длины ребер
и
2) угол между ребрами
и
3) площадь грани
4) объем пирамиды
Находим
векторы
и
Длины
векторов, т.е. длины ребер
и
,
таковы:
Скалярное
произведение векторов
и
равно
а косинус угла между ними:
Отсюда
следует, что
- тупой угол, равный
(рад.) с точностью до 0,01. Это и есть искомый
угол между ребрами
и
Площадь
грани
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
т.е. половине модуля векторного
произведения этих векторов:
Следовательно,
Объем
пирамиды равен
объема
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
,
.
Вектор
Итак,
7.2. Задачи для самостоятельного решения
а)
Даны векторы
= (1, 1, -3),
= (-2, 2, 1) и
= (3, -2, 5). Вычислить
.
б)
В треугольной пирамиде с вершинами в
точках А(1,
1, 1), В(2,
0, 2), С(2,
2, 2) и D(3,
4, -3) вычислить высоту h
= |
|.
в) Доказать, что четыре точки А(1, 2, 1), В(0, 1, 5), С(-1, 2, 1) и
D(2, 1, 5) лежат в одной плоскости.
8. Прямая на плоскости
8.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости
Общее уравнение прямой имеет вид
Ах + Ву + С = 0, (8.1)
причем
вектор
= (А, В)
0. Вектор
является ортогональным к прямой (8.1) и
его называют вектором
нормали.
Если С
= 0, то прямая (8.1) проходит через начало
координат. Если же С
0, то после деления уравнения (8.1) на (-С)
получаем уравнение прямой в
отрезках
(8.2)
где
;
,
причем (а,
0) и (0, b)
- координаты точек пересечения прямой
(8.2) с осями координат.
Пример.
Составим уравнение прямой, отсекающей
на осях координат отрезки а
= 0,2 ,
-0,1.
Воспользовавшись уравнением (8.2), имеем
или
5х
- 10у
- 1 = 0.
Если в уравнении (8.1) В = 0, то прямая параллельна оси Оy. Если же
В 0, то уравнение (8.1) можно преобразовать к уравнению прямой с угловым коэффициентом
у = kх + b, (8.3)
где
,
причем k
= tg,
а
- угол, образованный прямой с положительным
направлением оси Ох.
Свободный член b
в (8.3) - ордината
точки пересечения прямой с осью Оу.
Примеры.
а) Составим уравнение прямой, отсекающей от оси Оу отрезок b= -3 и образующей с этой осью угол = /6.
Заметив,
что
,
из уравнения (8.3) выводим у
= х·tg
- 3 = х·tg(/2
-/6)
- 3 =
.
б) Представим общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 в виде уравнения в отрезках и уравнения с угловым коэффициентом.
Разрешив общее уравнение прямой относительно у, получим уравнение с угловым коэффициентом: у = 2,4х - 13 (k = -12/-5=2,4, b = -(-65/-5)= -13).
Разделив
общее уравнение прямой на 65 и перенеся
1 направо, получим уравнение в отрезках:
(а =
65/12,
= - 13).
Если заданы две прямые:
А1х + В1у + С1 = 0 или у = k1х + b1,
А2х + В2у + С2 = 0 или у = k2х + b2,
то для острого угла между ними справедливы формулы:
(8.4)
(8.5)
Отсюда легко получаем условия параллельности прямых:
А1/А2 = В1/В2 или k1 = k2 (8.6)
и ортогональности прямых:
А1А2 + В1В2 = 0, или k 1 = - 1/ k2. (8.7)
Примеры.
а) Определим острый угол между прямыми у = -3х + 7 и у = 2х + 1.
Из формулы (8.5) имеем
tg = |(2 - (-3))/(1 + (-3)2)| = 5/5 = 1, = /4.
б) Покажем, что прямые 4х - 6у + 7 = 0 и 20х - 30у - 11 = 0 параллельны.
Из условий (8.6) имеем 4/20 = (-6)/(-30) = 1/5, т.е. прямые параллельны.
в) Покажем, что прямые 3х - 5у + 7 = 0 и 10х + 6у - 3 = 0 ортогональны.
Применяя условие ортогональности (8.7), имеем 3∙10 - 5∙6 = 0 и делаем заключение об ортогональности прямых.
Уравнение прямой, проходящей через точку (х0, у0) записывается в виде
А(х - х0) + В(у - у0) = 0 (8.8)
или
у
- у0
= k (х
- х0)
.
(8.9)
Уравнение прямой, проходящей через две точки (х0, у0) и (х1, у1) записывается в виде
или
(8.10)
Пример. Составим уравнение прямой, проходящей через точки
(-1, 3) и (2, 5).
Из
(8.9) имеем
или (х +
1)/3 = (у
- 3)/2, или
2х - 3у + 11 = 0.