- •Вычисление определителей
- •1.1. Определители второго порядка
- •1.2. Определители третьего порядка
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Определители произвольного порядка
- •1.5. Задачи для самостоятельного решения
- •2.5. Задачи для самостоятельного решения
- •2.6. Обратная матрица
- •Найдем разность матриц
- •2.7. Задачи для самостоятельного решения
- •3.Решение систем уравнений
- •3.1. Линейные системы уравнений
- •Матрицы
- •3.2. Решение системы уравнений
- •3.3. Задачи для самостоятельного решения
- •4. Векторы, простейшие действия над ними
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Операции над векторами
- •4.3. Задачи для самостоятельного решения
- •5. Скалярное произведение векторов
- •5.1. Определение и свойства
- •5.2. Задачи для самостоятельного решения
- •6. Векторное произведение
- •6.1. Определение векторного произведения
- •6.2. Свойства векторного произведения
- •6.3. Задачи для самостоятельного решения
- •7. Смешанное произведение векторов
- •7.1. Определение и свойства
- •7.2. Задачи для самостоятельного решения
- •8. Прямая на плоскости
- •8.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •8.2. Задачи для самостоятельного решения
- •8.3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •8.4. Геометрические задачи с использованием различных
- •8.5. Задачи для самостоятельного решения
- •9. Прямая и плоскость в пространстве
- •9.1. Плоскость в пространстве
- •9.2. Задачи для самостоятельного решения
- •9.3. Прямая и плоскость
- •9.4. Задачи для самостоятельного решения
- •10. Введение в анализ
- •10.1. Предел функции. Основные определения и обозначения
- •10.2. Неопределенности вида 0/0
- •10.3. Неопределенности вида /
- •10.4. Неопределенности вида - , 0, 00, 0, 1
- •11.1. Производная функции. Основные определения и обозначения
- •11. Домашнее задание
- •11.1. Основные правила и требования
- •Список рекомендованной литературы
4.3. Задачи для самостоятельного решения
а) Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что Найти вектор если = ,
б) Найти координаты вектора где А(0, 0, 1), В(3, 2, 1), С(4, 6, 5), D(1, 6, 3).
в) Даны радиусы - векторы вершин треугольника АВС:
Показать, что треугольник АBC - равносторонний.
г) Вычислить длину вектора (1, 2, 1) и найти его направляющие косинусы.
д) Даны точки А(1, 2, 3) и В(3, -4, 6). Найти длину и направление вектора .
5. Скалярное произведение векторов
5.1. Определение и свойства
Пусть даны два вектора и .Тогда их скалярное произведение определяется из равенства , где - угол между этими векторами.
Если векторы заданы в координатной форме , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
.
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
а) ;
б) если (ортогональные вектора), то = 0;
в) ;
г) ;
д) , где λ- любое число.
Примеры.
а) Найти скалярное произведение векторов = (2, 1, 1) и = (2, -5, 1).
Из определения имеем = .
б) Даны вектор = (m, 3, 4) и вектор = (4, m, -7). При каких значениях m вектор ортогонален вектору ?
Из условий ортогональности имеем: = 4m + 3m -28 = 0,
7m = 28, m = 4.
в) Найти , если и .
Из свойств скалярного произведения имеем: ,
т.к. , тогда
г) Определить угол между векторами = (1, 2, 3) и = (0, 4, -2).
Так как Из координатного представления векторов находим 0+8-6=2,
5.2. Задачи для самостоятельного решения
а) Даны векторы = (3, -2, -4), = (6, -2, 3). Найти ( )( ).
б) Вычислить работу силы = (1, 2, 1) при перемещении материальной точки из положения М1(-1, 2, 0) в положение М2(2, 1, 3) . Напомним, что работа вектора силы равна скалярному произведению вектора на вектор перемещения .
в) Найти координаты вектора , если он коллинеарен вектору
= (2, 1, 0) и его скалярное произведение на вектор равно 3, т.е.
6. Векторное произведение
6.1. Определение векторного произведения
Если вектора и заданы в координатной форме то их векторное произведение определяется по формуле:
,
где -орты осей координат Ox, Oy, Oz, соответственно:
Пример. Найдем векторное произведение векторов .
Из приведенной формулы имеем
6.2. Свойства векторного произведения
Отметим следующие свойства векторного произведения:
а) ;
б) , т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах;
в) ;
г) , если либо = , либо = , либо вектора и коллинеарны;
д) , где λ –любое число;
е) .
Приведенные свойства позволяют решать многие задачи геометрии и векторного анализа.
Примеры.
а) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах
= (3, 6, -2) и = (-2, 3, 6).
Имеем
Тогда
б) Вычислим площадь треугольника с вершинами А(1, 1, 1), В(2, 3, 4), С(4, 3, 2).
На сторонах АВ и АС достроим треугольник до параллелограмма АВСD. Тогда Так как то
Следовательно, , а
в) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах
+ 3 и 3 + , если а угол между векторами и
равен /6.
Заметим, что для любого вектора. Следовательно,
Итак, искомая площадь параллелограмма S=4.
г) Известно, что вектор ортогонален векторам = (3, 2, 1) и
= (2, 3, 1), а | | = 3. Найти вектор .
Так как вектор ортогонален векторам и, то он коллинеарен вектору . Имеем
Таким образом, Следовательно, , Итак, имеем два вектора, удовлетворяющих условиям задачи: