2.3. Дисконтирование

Вычисление дисконта или дисконт-фактора за произвольный период времени t также производится по ставке r или дисконту d за базовый период Т (обычно год) по различным схемам: простых, сложных или комбинированных процентных ставок.

Простые ставки. Банковский дисконт (bank rate). Данная схема применяется в банковских расчетах при покупке или учете банковских краткосрочных обязательств (векселей).

, (2.22)

где

d – базовый дисконт, базовая учетная ставка;

T – базовый период (год);

t – расчетное время действия сделки, конверсионный период или период начисления;

S (t) – стоимость векселя в будущем в момент t;

S (0) – стоимость покупки векселя в настоящий момент o.

При этом согласно договору, используется либо точная длительность года – 365 или 366 дней (точные проценты), либо приближенная длительность года – 360 дней = 12 месяцев 30 дней (обычные проценты).

Пример 15.

Вексель выдан на сумму 2 млн руб. и содержит обязательство выплатить владельцу эту сумму 15.03.2010 г. Владелец предъявил банку вексель досрочно 01.02.2010 г., банк согласился выплатить сумму (учесть вексель), но с дисконтом 40 % годовых. Полученная сумма будет равна:

млн руб.

Формула простых процентов (2.22) может быть использована лишь при

.

В частности, лишена смысла операция учета векселя за год с годичным дисконтом d более 100 %.

Математический дисконт-фактор, равный более универсален.

Действительно, при расчете дисконтирования по сложным процентам получаются из (2.6) и (2.10):

, (2.23)

где

t– длительность сделки;

Пример 16.

Определить современную (текущую, настоящую, приведенную) величину суммы 100 млн руб., выплачиваемую через три года при использовании ставки сложных процентов 24 % годовых.

Воспользовавшись формулой (2.23) имеем:

млн руб.

Если, согласно контракту, применяется схема дисконтирования несколько раз в течение года, то оговаривается годовой дисконт (годовая учетная ставка) и число расчетов m в течение года. Тогда приведенная сумма равна:

. (2.24)

Пример 17.

Вексель на 3 млн руб. с годовой учетной ставкой 10 % с дисконтированием 4 раза в год выдан на 2 года.

Тогда исходная сумма, которая должна быть выдана в долг под вексель согласно (2.24) равна:

млн руб.

Ставка процента, учитывающая инфляцию. Формула Фишера.

Пусть r_n – ставка процента, учитывающая инфляцию (номинальная ставка процента), r - реальная ставка банковского процента (реальная процентная ставка), i ставка темпа инфляции.

Пусть S(0) - капитал в начале года. Тогда, капитал в конце года с одной стороны должен быть равен:

S(1) = (1+r_n) S(0).

С другой стороны он равен:

S(1) = (1+i) (1+r) S(0).

Приравнивая капиталы в конце года, вычисленные по разным формулам, получим формула Фишера, связывающую номинальную r_n и реальная r ставка процента с темпом инфляции i:

r_n = r + i + i r (2.25)

Величина i r – называется инфляционной премией.

Пример 18.

Банк начисляет проценты по номинальной ставке 16 %. Уровень инфляции составляет 12 %. Определить реальную ставку банковского процента с учетом инфляционной премии.

Из формулы Фишера вычисляем реальную процентную ставку r через номинальную ставку процента r_n и темп инфляции i:

.

В нашем случае получим:

Таким образом, при большой инфляции реальная ставка банковского процента, равная 3,57 %, меньше разности между номинальной ставкой и инфляцией 16 % - 12% = 4 %.

Пример 19.

Первоначальный капитал в размере 200 тыс. руб. выдается на три года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8 %. Уровень инфляции составляет 12 %.

Определить наращенную сумму с учетом и без учета инфляционной премии.

Наращенная сумма без учета инфляции из (2.11) равна:

тыс. руб.

Наращенная сумма с учетом инфляции может быть вычислена по формуле сложных процентов (2.10):

тыс. руб.

В связи с тем, что уровень инфляции больше чем номинальная процентная ставка, наращенная сумма с учетом инфляции меньше первоначального капитала.

Пример 20.

Имеется вексель следующей формы:

«20000 руб. Санкт-Петербург. 1 сентября 2010 г. Обязуюсь уплатить через 60 дней после данной даты по распоряжению гражданина А 20000 руб. с процентной ставкой 11 % годовых.

/подпись/ гражданин В».

За сколько банк купит вексель 1 октября 2010 г., если банковская процентная ставка 9,5 %?

Решение.

Сумма, которую должен получить гражданин А через 60 дней вычисляется по схеме простых процентов и равна руб.

Отсюда получается уравнение: руб.,

где S(0) – сумма, которую уплатит банк за вексель.

Окончательно S(0)=20206,70 руб.

Задача 10.

В течение первого месяца цена товара увеличилась на 30 %, а в течение следующего месяца новая цена товара уменьшилась на 10 %. На сколько процентов изменилась цена товара за 2 месяца?

Ответ.

на 17 %.