[Править]Потенциалы Дебая
В электродинамике широко используются скалярные потенциалы, предложенные Дебаем[46].
Волновое уравнение представляет собой систему трёх связанных скалярных уравнений, которые распадаются на три скалярных уравнения Гельмгольца только в декартовой системе координат. Для удобства поиска решений, удовлетворяющих граничным условиям желательно выбирать координатные системы, координатные поверхности которых близки или совпадают с поверхностями границ. Один из подходов к решению векторного уравнения Гельмгольца состоит во введении скалярных функций , удовлетворяющих скалярному волновому уравнению Гельмгольца, через которые затем могут быть выражены векторные поля[47]:
Здесь 
—
некоторая векторная функция координат.
Вектор 
,
описывает потенциальную часть поля и
его можно положить равным нулю при
отсутствии свободных зарядов.
Если
для некоторой ортогональной координатной
системы существует функция 
,
пропорциональная координатному вектору,
то произвольное векторное поле,
удовлетворяющее векторному уравнению
Гельмгольца в этой системе, можно
представить в виде суммы векторных
функций, пропорциональных векторам 
и 
.
Как следует из уравнений Максвелла,
электрическому полю, пропорциональному
,
соответствует магнитное поле типа
и
наоборот. При этом векторные
потенциалы 
соответствуют
векторам Герца. Поскольку в этом случае
поле, пропорциональное
, нормально вектору
,
его компоненты являются тангенциальными
к соответствующей
координатной
поверхности. Если границы в решаемой
задаче совпадают с одной из таких
координатных поверхностей, то
удовлетворение граничным условиям
существенно упрощается.
Такое
представление возможно только в
ограниченном числе ортогональных
координатных систем[48].
В декартовой системе координат в качестве
вектора
может
выступать любой координатный вектор.
Соответствующие решения представляют
собой плоские волны. Для цилиндрической
системы координат 
,
для сферической 
.
Кроме того, такое представление возможно
в конической,
а также относительно
оси z в параболической и эллиптической цилиндрических
системах координат.
[Править]Векторы Римана — Зильберштейна
Если
ввести комплексный вектор Римана —
Зильберштейна 
и комплексно
сопряжённый ему
вектор 
[49][50][51]:
СГС |
СИ |
|
|
то уравнения Максвелла сводятся к двум:
СГС |
СИ |
|
|
При отсутствии сторонних зарядов и токов остаётся только второе уравнение (первое из-за равенства дивергенции ротора нулю в этом случае удовлетворяется автоматически с точностью до не зависящей от времени компоненты):
В отличие от волнового уравнения, которое получаются в этом случае для векторов поля или потенциала, последнее векторное дифференциальное уравнение имеет первый, а не второй порядок и поэтому в ряде случаев может быть проще для решения.
Для
гармонического поля с
зависимостью 
вектор
является
собственным вектором оператора ротора:
При выбранной нормировке имеет смысл комплексной амплитуды электромагнитного поля, а его квадрат модуля
имеет смысл плотности энергии поля.
Вектор Пойнтинга:
Векторы и можно интерпретировать как волновые функции циркулярно поляризованныхфотонов[50].