3. Статистические выводы: оценки и проверка гипотез

Статистические выводы — это заключения о генеральной совокупности (т.е. о законе распределения исследуемой СВ и его параметрах либо о наличии и силе связи между исследуемыми переменными) на основе выборки, случайно отобранной из гене­ральной совокупности. Например, анализ дохода (X) населения некоторого двухмиллионного города реально может быть осу­ществлен только на базе выборки ограниченного объема (пусть п = 1000). В данном случае не составит большого труда оценить средний доход = и разброс = / n в доходах субъектов, попавших в выборку. Далее встает вопрос: можно ли считать, что полученные значения будут такими же для всего города? Другими словами, обобщение результатов, полученных по выборке, на генеральную совокупность и есть суть статистических выводов.

При исследовании различных параметров генеральной совокупности на основе выборки возможно лишь получение оценок этих параметров. Эти оценки строятся на основе ограни­ченного набора данных, что влечет за собой вероятность по­грешности. Заметим, что значения оценок могут изменяться от выборки к выборке. Процесс нахождения оценок по опреде­ленному правилу (формуле) будем называть оцениванием. Цель любого оценивания — получение наиболее точного значения оцениваемой характеристики.

Можно выделить два типа оценивания: оценивание вида распределения и оценивание параметров распределения. В ка­честве оценки вида распределения (в силу закона больших чи­сел) можно взять выборочное распределение, подсчитав часто­ты попадания рассматриваемой СВ в заданные подынтервалы интервального статистического ряда. Процедура оценивания всегда однотипна. На основе выборки с помощью соответствую­щей формулы рассчитывается оценка исследуемой характери­стики. В качестве оценок параметров распределения генераль­ной совокупности берутся их выборочные оценки. При этом различают два вида оценок — точечные и интервальные.

3.1. Точечные оценки и их свойства

Пусть оценивается некоторый параметр 0 наблюдаемой СВ X генеральной совокупности. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n: , , …, , по которой может быть найдена оценка параметра θ. Например, для нормаль­ного закона распределения с плотностью вероятности

f(x)=

параметрами являются математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение σ.

Точечной оценкой θ* параметра θ называется числовое значение этого параметра, полученное по выборке объема n.

Например, оценками m и σ(x) могут быть = = и

= = соответственно.

Нетрудно заметить, что оценка θ* является функцией от выборки, т.е. = ( , , …, ). Так как выборка носит случайный характер, то оценка является СВ, принимающей различные значения для различных выборок. Любую оценку = ( , , …, ) называют статистикой или статистической оценкой параметра θ.

Число ε такое, что называется точностью оценки. Естественно стремление получить по возможности наиболее точную оценку при данном объеме выборки.

Приведем свойства, выполнимость которых желательна для того, чтобы оценка была признана удовлетворительной.

В силу случайности точечной оценки она может рассматриваться как СВ со своими числовыми характеристиками – математическим ожиданием М( ) и дисперсией D( ). Чем ближе M( ) к истинному значению θ и чем меньше D( ), тем лучше будет оценка (при прочих равных условиях). Таким образом, качество оценок характеризуется следующими основными свойствами : несмещенность, эффективность и состоятельность.

Оценка называется несмещенной оценкой параметра θ, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру: M( )=θ.

Хотя каждая отдельная оценка лишь в редких случаях сов­падает с соответствующей характеристикой генеральной сово­купности, при «аккуратном» оценивании многократное осуще­ствление выборок одного объема п обеспечивает совпадение среднего значения оценки по всем выборкам с истинным значе­нием оцениваемого параметра.

Разность М( ) —θ называется смещением или система­тической ошибкой оценивания. Для несмещенных оценок сис­тематическая ошибка равна нулю.

Свойство несмещенности оценки является важнейшим, но не единственным. Зачастую существует несколько возможных оценок одного и того же параметра. Какая из них лучше? Оче­видно, выбор будет сделан в пользу той из них, вероятность сов­падения которой с истинным значением оцениваемого парамет­ра выше. Оценка должна иметь такую плотность вероятности, которая наиболее «сжата» вокруг истинного значения оцени­ваемого параметра. Нетрудно заметить, что в этом случае она будет иметь наименьшую среди других оценок дисперсию.

Оценка называется эффективной оценкой параметра θ, если ее дисперсия D( ) меньше дисперсии любой другой альтернативной оценки при фиксированном объеме выборки n, т.е. D( )= . На рис. 3.1 приведена схема, наглядно демонстрирующая преимущество эффективной оценкой по сравнению с неэффективной оценкой параметра θ.

Каждая отдельная эффективная оценка не гарантирует того, что она дает точное значение исследуемого парамет-

ра, чем менее эффективная. Однако вероятность такого исхода превышает 0,5.

Оценка называется асимптотически эффективной, если с увеличением объема выборки ее дисперсия стремится к нулю, т.е. D( n)→0 при n→∞

( индекс n в оценке n применяется для подчеркивания объема выборки).

Оценка n называется состоятельной оценкой параметра θ, если n сходится по вероятности к θ при n→∞, т.е. для любого ε > 0 при n→∞ P( < ε→1. Другими словами, состоятельной называется такая оценка, которая дает истинное значение при достаточно большом объеме выборки вне зависимости от значений входящих в нее конкретных наблюдений.

С

f(θ*)

f(θ*)

хема возможного улучшения точности (несмещенности) состоятельной оценки приведена на рис. 3.2.

рис. 3.1

рис. 3.2

В большинстве случаев несмещенная оценка является и со­стоятельной. С другой стороны, состоятельные оценки (возмож­но, не являющиеся несмещенными при малых объемах выбо­рок) с увеличением объема выборки будут приближаться и лежать все «плотнее» к истинному значению (рис. 3.2). Это указывает на асимптотическую несмещенность состоятельной оценки. Поэтому при невозможности получения несмещенной оценки целесообразно найти хотя бы состоятельную оценку.

Справедливо следующее утверждение : если M( n)→θ и D( n)→0 при n→∞, то n – состоятельная оценка параметра θ.

Оценки, являющиеся линейными функциями от выборочных наблюдений, называются линейными.

Очень важную роль в эконометрике играют так называемые наилучшие линейные несмещенные оценки, или коротко BLUE-оценки (Best Linear Unbiased Estimators). Такие оценки, являясь линейными и несмещенными, имеют наименьшую дисперсию среди всех возможных оценок данного класса.

Наиболее употребляемыми методами нахождения точеч­ных оценок являются метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов, описание ко­торых можно найти в любом учебнике по математической статистике.