3.3.1. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной св при известной дисперсии

Пусть количественный признак X генеральной совокуп­ности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией и неизвестным математическим ожиданием т (X ~ N(т, σ)). Построим доверительный интервал для т.

1.Пусть для оценки т извлечена выборка , х₂,…, х_п объема п.

Тогда т* = = .

2.Составим СВ . Нетрудно показать, что СВ U имеет стандартизированное нормальное распределение, т.е. U ~ N(0,1) (f(u)=

3. Зададим уровень значимости α.

4.Применяя формулу нахождения вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:

P( <

(3.5)

Это означает, что доверительный интервал ( накрывает неизвестный параметр m с принадлежностью 1-α. Точность оценки определяется величиной

О тметим, что число определяется по таблице значений функции Лапласа (приложение 1) из равенств Ф( = (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Пример 3.1. На основе продолжительных наблюдений за весом X пакетов орешков, заполняемых автоматически, установлено, что стандартное отклонение веса пакетов а = 10 г. Взвешено 25 пакетов, при этом их средний вес составил х = 244 г. В каком интервале с надежностью 95 % лежит истинное значение среднего веса пакетов?

Логично считать, что СВ X имеет нормальный закон распределе­ния: X ~ N( т, 10). Для определения 95%-го доверительного интервала найдем критическую точку из приложения 1 по соотно­шению

Ф( )= =0,475 →

Тогда по формуле (3.5) построим доверительный интервал :

(244-1,96

3.3.2. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной св при неизвестной дисперсии

В реальности истинное значение дисперсии исследуемой СВ, скорее всего, известно не будет. Это приводит к необхо­димости использования другой формулы при определении дове­рительного интервала для математического ожидания СВ, имеющей нормальное распределение.

Пусть X ~ N(m, ), причем т и — неизвестны. Необходимо построить доверительный интервал, накрывающий с надежностью γ= 1 - α истинное значение параметра т.

Для этого из генеральной совокупности СВ X извлекается выборка объема n:

1. В качестве точечной оценки математического ожи- дания т используется выборочное среднее , а в качестве оценки дисперсии σ² — исправленная выборочная дисперсия

, которой соответствует стандартное откло-

нение .

3. Для нахождения доверительного интервала строится статистика

,имеющая в этом случае распределение Стью-

дента с числом степеней свободы v = п — 1 независимо от значе­ний параметров т и σ².

3.Задается требуемый уровень значимости α.

4.Применяется следующая формула расчета вероятности

(3.6)

Где - критическая точка распределения Стъюдента, которая находится по соответствующей таблице (приложение 2).

Тогда

(3.7)