- •Фгбоу впо «Воронежский государственный технический университет» г.Е. Шунин с.А. Кострюков в.В. Пешков
- •Воронеж 2014
- • Шунин г.Е., Кострюков с.А., Пешков в.В., 2014
- •1 Современное состояние разработок сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •1.1 Основные типы сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •1.2 Методы расчёта и компьютерного моделирования сверхпроводящих подвесов
- •1.3 Компьютерные системы конечно-элементного анализа
- •2 Основные положения метода
- •2.1 Сущность метода конечных элементов
- •2.2 Вариационные методы дискретизации
- •Упражнения
- •2.3 Проекционные методы дискретизации
- •Упражнения
- •2.4 Конечные элементы и аппроксимация
- •Упражнения
- •2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Упражнения
- •2.6 Решение дифференциальных уравнений с частными производными
- •Упражнения
- •3 Физико-математическое моделирование конструктивных элементов сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •3.1 Физико-математическая модель
- •3.2 Конечно-элементная дискретизация уравнений
- •Упражнения
- •3.3 Особенности решения задач для открытых многосвязных систем
- •Упражнение
- •3.4 Моделирование экранов
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Упражнение
- •4 Конечно-элементный комплекс программ fempdesolver
- •4.1 Структура и возможности комплекса программ fempdeSolver
- •4.2 Препроцессор
- •4.3 Процессор
- •4.4 Постпроцессор
- •5 Моделирование сверхпроводникового гравиинерциального датчика
- •5.1 Геометрическая модель датчика
- •А) Цилиндрический подвес с плоской катушкой
- •Б) Цилиндрический подвес с катушкой квадратного сечения
- •5.2 Моделирование распределения магнитного поля в рабочем объеме датчика
- •А) Цилиндрический подвес с плоской катушкой
- •Б) Цилиндрический подвес с катушкой квадратного сечения
- •5.3 Моделирование распределения электростатического поля в емкостном датчике смещений пробного тела
- •Лабораторная работа № 1 Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
- •Задания
- •Лабораторная работа № 2 Решение краевой задачи для уравнения Лапласа
- •Задания
- •Лабораторная работа № 3 Решение краевой задачи для уравнения Лапласа с дополнительными условиями
- •Задания
- •I. Задачи с плоской геометрией
- •II. Осесимметричные задачи
- •Лабораторная работа № 4 Решение краевой задачи для уравнения Пуассона
- •Задания
- •Лабораторная работа № 5 Решение краевой задачи при наличии физически неоднородных сред
- •Задания
- •Лабораторная работа № 6 Решение уравнения Лапласа в области с разрезами
- •Задания
- •Лабораторная работа № 7 Решение краевой задачи для уравнения Лондонов
- •Задания
- •Лабораторная работа № 8 Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности
- •Задания
- •Лабораторная работа № 9 Сверхпроводниковые подвесы
- •Описание интерфейса препроцессора
- •«Выход»
- •Горячие клавиши препроцессора
- •Программа appl_fem
- •Процессор
- •Описание интерфейса постпроцессора
- •Меню «Файл»
- •Меню «Вид»
- •Меню «Поле»
- •Меню «График»
- •Меню «Таблица»
- •Меню «Печать»
- •Меню «Вычислить»
- •Меню «Опции»
- •Меню «Помощь»
- •«Выход»
- •Учебное издание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Упражнение
1. Получить выражение для матричных элементов с учетом интеграла по границе для симплексных конечных элементов – треугольника и тетраэдра.
3.4 Моделирование экранов
A. Электростатические экраны
Электростатические экраны предназначены для экранирования постоянных электрических полей.
Задача формулируется следующим образом:
d
Рис. 3.10.
iv grad = 0 в области , (3.40)
где Г1 – поверхность экрана; Г2 – внешняя удаленная граница; – напряженность внешнего постоянного электрического поля; . Неоднородное условие Неймана (3.42) может быть заменено на условие Дирихле, когда внешнее поле создается системой электродов с заданными потенциалами 1, 2, ... .
Дискретную форму задачи (3.40–3.42) получим с помощью метода Ритца. Заметим, что интеграл
(3.43)
определяет запасенную в области энергию поля, а
(3.44)
есть энергия, подведенная к объему . Если в (3.44) оставить только интеграл по границе Г2, а для нормальной производной подставить выражение (3.42), то согласно принципу наименьшей энергии в системе устанавливается такое распределение потенциала , для которого величина
F() = F1() + F2() (3.45)
принимает наименьшее значение среди всех возможных распределений, удовлетворяющих условию на Г1.
Чтобы перейти к дискретному аналогу, необходимо выбрать аппроксимацию для функции . Если граничные условия могут быть аппроксимированы гладкими функциями, то обычно используется представление
, (3.46)
где {Ni} – система базисных функций из конечномерного пространства с ограниченной нормой, i – параметры.
Подставив (3.46) в (3.43–3.45), получим F как функцию параметров 1, ... , М. Применив необходимое условие экстремума
,
придем к системе алгебраических уравнений
S = F, (3.47)
где , , причем здесь некоторые из i для выполнения условия (3.41) должны быть фиксированными.
В МКЭ область разбивается на подобласти е без пропусков и перекрытий. На каждой такой подобласти используется аппроксимация
, (3.48)
где – базисные функции, равные нулю всюду, кроме рассматриваемого элемента е, – коэффициенты, полностью определяющие аппроксимацию. Наиболее часто используется интерполяция лагранжевого типа, при которой – значения функции е в ряде фиксированных точек (узлах) элемента. В частности, такую интерполяцию обеспечивают функции , являющиеся полиномами Лагранжа.
На всей области аппроксимация определится следующим образом. Пусть точка с координатами (x, y, z) принадлежит элементу е, тогда
(3.49)
(ее – символ Кронеккера).
Если определить функционал на элементе е как
, (3.50)
то в силу аддитивности энергии можно записать
.
Теперь F() с учетом (3.48) является функцией параметров , однако не все из этих параметров являются независимыми. Например, для лагранжевой интерполяции должна быть обеспечена непрерывность функции на границах элементов, вследствие чего значения, лежащие в узлах на этих границах и относящиеся к соседним элементам, должны совпадать. Применив условие стационарности к F() относительно независимых параметров i , получим систему уравнений
S = F
с большим количеством нулей вне главной диагонали. При этом для удовлетворения условия Дирихле необходимо зафиксировать ряд параметров i, т.е. их не варьировать. Решив систему, найдем коэффициенты {i} и из (3.49) функцию во всей области .
Б. Магнитные экраны
Э краны данного типа используются для экранирования магнитостатических полей и обычно изготавливаются из магнитомягкого материала. Для описания распределения поля используется скалярный магнитный потенциал:
d
Рис. 3.11.
iv(gradM) = 0 в области ,на границе Г2,
где – напряженность внешнего постоянного магнитного поля; . Функционал задачи и дискретная форма уравнений имеют вид:
,
S = F,
, .
В. Сверхпроводниковые магнитные экраны
Действие сверхпроводниковых экранов основано на фундаментальных свойствах сверхпроводников – эффекте Мейсснера, нулевом электрическом сопротивлении, законе сохранения магнитного потока в многосвязных сверхпроводниках, квантовании магнитного потока в сверхпроводниках. Такие экраны обеспечивают наиболее эффективное экранирование от внешних электромагнитных полей.
Р
Рис. 3.12.
ассмотрим односвязный экран из сверхпроводника, находящегося в мейсснеровском состоянии. Поскольку поле внутрь такого сверхпроводника проникает лишь на очень малую глубину (~ 10–4 – 10–6 см), то задача определения магнитного поля ставится только для внешней области и формулируется следующим образомdiv gradM = 0 в области , (3.51)
, (3.52)
. (3.53)