- •Фгбоу впо «Воронежский государственный технический университет» г.Е. Шунин с.А. Кострюков в.В. Пешков
- •Воронеж 2014
- • Шунин г.Е., Кострюков с.А., Пешков в.В., 2014
- •1 Современное состояние разработок сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •1.1 Основные типы сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •1.2 Методы расчёта и компьютерного моделирования сверхпроводящих подвесов
- •1.3 Компьютерные системы конечно-элементного анализа
- •2 Основные положения метода
- •2.1 Сущность метода конечных элементов
- •2.2 Вариационные методы дискретизации
- •Упражнения
- •2.3 Проекционные методы дискретизации
- •Упражнения
- •2.4 Конечные элементы и аппроксимация
- •Упражнения
- •2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Упражнения
- •2.6 Решение дифференциальных уравнений с частными производными
- •Упражнения
- •3 Физико-математическое моделирование конструктивных элементов сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •3.1 Физико-математическая модель
- •3.2 Конечно-элементная дискретизация уравнений
- •Упражнения
- •3.3 Особенности решения задач для открытых многосвязных систем
- •Упражнение
- •3.4 Моделирование экранов
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Упражнение
- •4 Конечно-элементный комплекс программ fempdesolver
- •4.1 Структура и возможности комплекса программ fempdeSolver
- •4.2 Препроцессор
- •4.3 Процессор
- •4.4 Постпроцессор
- •5 Моделирование сверхпроводникового гравиинерциального датчика
- •5.1 Геометрическая модель датчика
- •А) Цилиндрический подвес с плоской катушкой
- •Б) Цилиндрический подвес с катушкой квадратного сечения
- •5.2 Моделирование распределения магнитного поля в рабочем объеме датчика
- •А) Цилиндрический подвес с плоской катушкой
- •Б) Цилиндрический подвес с катушкой квадратного сечения
- •5.3 Моделирование распределения электростатического поля в емкостном датчике смещений пробного тела
- •Лабораторная работа № 1 Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
- •Задания
- •Лабораторная работа № 2 Решение краевой задачи для уравнения Лапласа
- •Задания
- •Лабораторная работа № 3 Решение краевой задачи для уравнения Лапласа с дополнительными условиями
- •Задания
- •I. Задачи с плоской геометрией
- •II. Осесимметричные задачи
- •Лабораторная работа № 4 Решение краевой задачи для уравнения Пуассона
- •Задания
- •Лабораторная работа № 5 Решение краевой задачи при наличии физически неоднородных сред
- •Задания
- •Лабораторная работа № 6 Решение уравнения Лапласа в области с разрезами
- •Задания
- •Лабораторная работа № 7 Решение краевой задачи для уравнения Лондонов
- •Задания
- •Лабораторная работа № 8 Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности
- •Задания
- •Лабораторная работа № 9 Сверхпроводниковые подвесы
- •Описание интерфейса препроцессора
- •«Выход»
- •Горячие клавиши препроцессора
- •Программа appl_fem
- •Процессор
- •Описание интерфейса постпроцессора
- •Меню «Файл»
- •Меню «Вид»
- •Меню «Поле»
- •Меню «График»
- •Меню «Таблица»
- •Меню «Печать»
- •Меню «Вычислить»
- •Меню «Опции»
- •Меню «Помощь»
- •«Выход»
- •Учебное издание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Упражнения
1. Провести дискретизацию задачи (3.51–3.53) с учетом граничных условий Неймана методом Ритца. Показать, что условие (3.52) является естественным.
2. Нужно ли в этой формулировке задавать фиксированное значение в одном узле конечноэлементной сетки?
3. Получить дискретные уравнения в цилиндрической системе координат.
Г. Проникновение магнитного поля в сверхпроводниковый экран
Для описания проникновения магнитного поля в сверхпроводник воспользуемся моделью Ф. и Г. Лондонов, которая справедлива в узкой области температур около температуры сверхпроводящего перехода, когда магнитное поле у поверхности сверхпроводника изменяется достаточно медленно.
Для чистого металла энергию, обусловленную наличием магнитного поля, можно представить в виде
Е = Еk + Еm ,
где Еk – кинетическая энергия, связанная с незатухающими токами; Еm – энергия, связанная с магнитным полем . Если обозначить е – заряд электрона; ns – число сверхпроводящих электронов в единице объема; т – эффективная масса электрона; – скорость дрейфа электронов в точке , то кинетическая энергия определяется следующим образом:
.
Это выражение остается справедливым при условии, что скорость – медленно меняющаяся функция координат. Емагн , как обычно, определяется соотношением
.
Учитывая, что плотностью тока связана с выражением
,
а поле связано с уравнениями , , имеем
, (3.54)
где величина L имеет размерность длины и определяется так:
.
Будем теперь минимизировать энергию (3.54) относительно распределения поля . При изменении величины поля на величину энергия Е меняется на Е:
.
Следовательно, конфигурация поля внутри образца, приводящая к минимуму энергии, должна удовлетворять уравнению
. (3.55)
Совместно с уравнениями Максвелла
, (3.56)
, (3.57)
оно позволяет находить распределение полей и токов.
Рис. 3.13.
Применим теперь уравнение Лондонов (3.55) к задаче о проникновении магнитного поля в сверхпроводник. Выберем простейшую геометрию: поверхность образца совпадает с плоскостью xy, область z < 0 является пустой. Тогда поле и ток зависят лишь от z. Пусть поле тангенциально и направлено вдоль оси x. В этом случае уравнение (3.57) удовлетворяется автоматически, а из уравнения (3.56) следует, что ток направлен вдоль оси y:
.
Уравнение (3.55) дает
.
Решение, конечное внутри сверхпроводника, является экспоненциально убывающим:
.
Таким образом, на глубине проникновения L поле убывает в е раз, а на расстояниях, в несколько раз превышающих L, поле становится пренебрежимо малым.
Упражнения
1. Показать, что если поле в указанной задаче параллельно оси z, то решение уравнения (3.55) есть = 0, т.е. поле не может быть нормально к поверхности образца.
2. Провести дискретизацию методом Ритца уравнения (3.55), минимизируя функционал (3.54). Дать конечно-элементную формулировку задачи.
Д. Электромагнитные экраны
Данный тип экранов характеризуется наличием переменного (электро)магнитного поля, действующего на проводник. Требуется определить распределение поля внутри проводника, на которого действует внешнее поле H0. Условия квазистационарного поля приводят к тому, что воздействие внешнего поля полностью определяется его значениями на границе проводника. Пусть геометрия области задачи имеет трансляционную симметрию в направлении z. Тогда требуется решить уравнение внутри проводника
, (3.58)
где = (0)–1 (0 = 410–7 Гн/м – магнитная постоянная, – удельная проводимость: 107 Ом–1м–1) с соответствующими начальными и граничными условиями.