- •Фгбоу впо «Воронежский государственный технический университет» г.Е. Шунин с.А. Кострюков в.В. Пешков
- •Воронеж 2014
- • Шунин г.Е., Кострюков с.А., Пешков в.В., 2014
- •1 Современное состояние разработок сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •1.1 Основные типы сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •1.2 Методы расчёта и компьютерного моделирования сверхпроводящих подвесов
- •1.3 Компьютерные системы конечно-элементного анализа
- •2 Основные положения метода
- •2.1 Сущность метода конечных элементов
- •2.2 Вариационные методы дискретизации
- •Упражнения
- •2.3 Проекционные методы дискретизации
- •Упражнения
- •2.4 Конечные элементы и аппроксимация
- •Упражнения
- •2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Упражнения
- •2.6 Решение дифференциальных уравнений с частными производными
- •Упражнения
- •3 Физико-математическое моделирование конструктивных элементов сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •3.1 Физико-математическая модель
- •3.2 Конечно-элементная дискретизация уравнений
- •Упражнения
- •3.3 Особенности решения задач для открытых многосвязных систем
- •Упражнение
- •3.4 Моделирование экранов
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Упражнение
- •4 Конечно-элементный комплекс программ fempdesolver
- •4.1 Структура и возможности комплекса программ fempdeSolver
- •4.2 Препроцессор
- •4.3 Процессор
- •4.4 Постпроцессор
- •5 Моделирование сверхпроводникового гравиинерциального датчика
- •5.1 Геометрическая модель датчика
- •А) Цилиндрический подвес с плоской катушкой
- •Б) Цилиндрический подвес с катушкой квадратного сечения
- •5.2 Моделирование распределения магнитного поля в рабочем объеме датчика
- •А) Цилиндрический подвес с плоской катушкой
- •Б) Цилиндрический подвес с катушкой квадратного сечения
- •5.3 Моделирование распределения электростатического поля в емкостном датчике смещений пробного тела
- •Лабораторная работа № 1 Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
- •Задания
- •Лабораторная работа № 2 Решение краевой задачи для уравнения Лапласа
- •Задания
- •Лабораторная работа № 3 Решение краевой задачи для уравнения Лапласа с дополнительными условиями
- •Задания
- •I. Задачи с плоской геометрией
- •II. Осесимметричные задачи
- •Лабораторная работа № 4 Решение краевой задачи для уравнения Пуассона
- •Задания
- •Лабораторная работа № 5 Решение краевой задачи при наличии физически неоднородных сред
- •Задания
- •Лабораторная работа № 6 Решение уравнения Лапласа в области с разрезами
- •Задания
- •Лабораторная работа № 7 Решение краевой задачи для уравнения Лондонов
- •Задания
- •Лабораторная работа № 8 Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности
- •Задания
- •Лабораторная работа № 9 Сверхпроводниковые подвесы
- •Описание интерфейса препроцессора
- •«Выход»
- •Горячие клавиши препроцессора
- •Программа appl_fem
- •Процессор
- •Описание интерфейса постпроцессора
- •Меню «Файл»
- •Меню «Вид»
- •Меню «Поле»
- •Меню «График»
- •Меню «Таблица»
- •Меню «Печать»
- •Меню «Вычислить»
- •Меню «Опции»
- •Меню «Помощь»
- •«Выход»
- •Учебное издание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задания
19. Для представленных ниже конфигураций найти распределение магнитостатического поля, построить эквипотенциальные кривые и графики изменения напряженности поля вдоль нескольких линий.
При неуказанных размерах геометрию области задавать приближенно, сохраняя конфигурацию и масштаб рисунка. В случае затруднений обращаться к преподавателю.
1) Цилиндр с проницаемостью 1 в вакууме
1=0.01; 0.333; 3; 10; 100. |
4) Пластина
|
2) Бесконечный полый цилиндр
r2 : r1 = 3 : 2; 2 : 1; 3 : 1. 1 = 5; 10; 100. |
5) Система плотно прилегающих пластин с различными проницаемостями
1 = 5; 2 = 10; 3 = 20. |
3) Полый цилиндр с дном
|
6) Полый шар
r3:r2:r1=5:4:3; 3:2:1; 5:3:1. 1 = 3, 2 = 5; 1 = 3, 2 = 10. |
7) 1 = 5; 50; 100. |
8) 1) 1 = 3; 2 > 1 2) 1 = 1; 2 = 10; 3 = 20 |
20. Найти стационарное распределение температуры в области, представленной на рис. 15, если подобласти 1 и 2 заполняют среды с коэффициентами теплопроводности k1 k0 и k2 k0 (k0 – коэффициент теплопроводности в остальной части области). На внешней границе области использовать подходящие условия температурного режима.
21. Решить задачу о распределении магнитного поля для областей, представленных в задании 19, используя формулировку на основе векторного потенциала:
.
22. Найти распределение магнитостатического поля в области, представленной на рис. 15, если через проводники 1 и 2 с магнитными проницаемостями 1 и 2 протекают токи с постоянной плотностью j1 и j2 соответственно.
Решить ту же задачу, если j2 = 0, j1 0, а также для случая, когда оба проводника помещены во внешнее однородное магнитное поле Не.
Указание. Для решения использовать следующую формулировку:
внутри проводника,
вне проводника.
Лабораторная работа № 6 Решение уравнения Лапласа в области с разрезами
В задачах расчета магнитостатического поля вблизи массивных сверхпроводников через скалярный магнитный потенциал требуется решить уравнение Лапласа
с учетом однородного условия Неймана на границе сверхпроводника, с граничными условиями 1-го и 2-го рода на остальных границах и дополнительным условием скачка на некоторой поверхности (в двумерном варианте – линии) разреза . Условие скачка означает, что каждой точке разреза потенциалу приписывается два значения (по одну и по другую сторону разреза), отличающихся между собой на одно и то же число – силу тока I. В результате получается, что потенциал при переходе через терпит скачок, равный I. Точная математическая формулировка такой задачи предполагает два варианта задания условий на :
1) известен текущий в сверхпроводнике ток, тем самым задается вполне определенный скачок потенциала
;
2) известен фиксированный поток 0 через поверхность (линию) разреза, т.е. ставится интегральное условие
,
при одновременном выполнении условия скачка (точное значение этого скачка заранее неизвестно; оно определится после решения задачи).
Разрез проводится так, чтобы из двусвязной область превратилась в односвязную. В двумерных задачах он, как правило, соединяет сверхпроводник и внешнюю границу расчетной области. В осесимметричных задачах наиболее естественным представляется проведение линии разреза от сверхпроводника к оси z (в этом случае разрез будет закрывать отверстие сверхпроводящего кольца).
Приведенная постановка задачи обобщается на любое число токонесущих сверхпроводников, при этом к каждому из них проводится свой разрез с соответствующим значением либо Ii, либо 0i.
Пример 9. Найти распределение магнитного поля, создаваемого бесконечным сверхпроводниковым проводом круглого сечения с током I=1 A внутри сверхпроводниковой полости (см. рис. П20). Положить R2/R1=3.
П орядок решения:
1) Запустить pre2d.exe. Ввести новый номер задачи.
2) Ввод четвертой части геометрии области:
– ввести узлы с координатами (0,0), (1,0), (0,1), (3,0), (0,3);
– ввести линию как дугу окружности, соединяя узлы 2 и 3, относительно центра 1; аналогично ввести линию, соединяющую узлы 4 и 5 по окружности с тем же центром;
– ввести четырехугольную зону по линиям 1 и 2.
3) Получить всю область, дважды применяя операцию зеркального отображения: первый раз отобразить зону 1 относительно оси 1–3, а второй раз – зоны 1 и 2 относительно оси 7–4.
4) Ввести разрез и скачок потенциала на нем. Линией разреза может быть любая линия, «разрезающая» область в радиальном направлении, например, линия 4.
«Файл» «Граничные условия» «Разрез» [4,1,9] <Enter>
5) Произвести разбиение зон, определяя числа деления в любой зоне как 45 и 30.
6) Проверить, что задано действительно уравнение Лапласа.
7) Задать условие u=0 в каком-либо узле сети, не лежащем на разрезе (таким узлом, например, является узел 2000):
«Файл» «Граничные условия» «Условие в узле сети» [2000,0].
8) Выйти из программы pre2d и, следуя стандартной схеме, запустить последовательно программы appl_fem, difeqt, post2d.
9) Как обычно, отобразив в программе post2d картину поля, вывести затем значения напряженности поля в радиальном направлении, определить энергию поля. Сравнить результаты с аналитическими формулами:
; .
1 0) Вычислить силу, действующую на провод. Для этого следует предварительно пометить линии, лежащие на границе провода (F7), а затем войти в меню «Вычислить» и выбрать «Найти силу».
Модификации. На основе введенной геометрии путем несложных изменений легко получить решения следующих задач.
а) Смещенный круглый провод внутри цилиндрической полости (рис. П21).
Примерные шаги: загрузив предыдущую задачу в режиме «Данные для автоматического разбиения», выбрать операцию «Сдвиг»«Линии»[список линий:]<Enter>[вектор сдвига: 0.8,0] <Enter>, разбить на конечные элементы по типу предыдущей задачи <Ctrl+F8> и далее – по стандартной схеме (внимание: условие в узле сети не сохраняется, его необходимо снова вводить!).
З агрузка задачи в режиме «Только геометрия» предполагает после выполнения операции сдвига или параллельного переноса линий, составляющих границу провода, проведения нового разбиения зон (что при большом смещении может оказаться оправданным).
б) Провод в виде кольца круглого сечения (тор) внутри тороидальной полости (рис. П22).
Предположим, что радиус тора равен R (очевидно, R>R2). Если центр сечения O рассмотренной в примере задачи совпадает с началом координат, то, смещая всю область вверх на R единиц, получим требуемую геометрию задачи. Под координатами (x, y) при этом соответственно понимаем (z, r) цилиндрической системы. Задача теперь формулируется как осесимметричная: вращая область вокруг оси z, получим нужные пространственные объекты.
Пусть R=4,5. Примерные действия: загрузить одну из рассмотренных здесь плоских задач (смещенный или несмещенный провод внутри полости) в режиме «Данные для автоматического разбиения»; выбрать операцию «Сдвиг» «Зоны» [список зон; перечислить все зоны:1,2,3,4] <Enter> [вектор сдвига: 4.5,0] <Enter>; разбить на конечные элементы по типу предыдущей задачи <Ctrl+F8>. Далее – по стандартной схеме (внимание: условие в узле сети не сохраняется, его необходимо снова вводить!).