- •Основы механики машин и проектирования механизмов Учебное пособие
- •Введение
- •Современный машинный агрегат
- •1.Структура механизмов
- •1.1. Основные понятия и определения в теории механизмов и машин
- •1.2. Классификация кинематических пар
- •1.3.Структура и кинематика плоских механизмов
- •1.4.Структурная формула кинематической цепи общего вида
- •1.5.Структурная формула плоских механизмов
- •1.6.Пассивные связи и лишние степени свободы
- •1.7.Замена в плоских механизмах высших кинематических пар низшими
- •1.8.Классификация плоских механизмов
- •1.9.Структурные группы пространственных механизмов
- •2.Анализ механизмов
- •2.1.Кинематический анализ механизмов
- •2.1.1.Определение положений звеньев плоской незамкнутой кинематической цепи
- •2.1.2.Матричная форма уравнения преобразования координат точек звеньев
- •2.1.3.Определение положений, скоростей и ускорений звеньев пространственных механизмов
- •2.1.4.Графическое определение положений звеньев механизма и построение траектории
- •2.1.5.Определение скоростей и ускорений точек звеньев методом планов
- •2.1.6.Свойство планов скоростей
- •2.1.7.Построение плана скоростей и ускорений кулисного механизма
- •2.1.8.Аналоги скоростей и ускорений
- •2.2.Силовой анализ механизмов
- •2.2.1.Условие статической определимости кинематических цепей
- •2.2.2.Силы, действующие на звенья механизма
- •2.2.3.Силы инерции звена, совершающего возвратно-поступательное движение
- •2.2.4. Силы инерции звена, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси
- •2.2.5.Силы инерции звена, совершающего плоское движение
- •2.3.Определение реакций в кинематических парах групп Ассура
- •2.3.1.Силовой расчет начального звена
- •2.4.Движение машин и механизмов под действием приложенных сил
- •2.4.1.Характеристика сил, действующих на звенья механизма
- •2.5.Приведение сил и масс в плоских механизмах
- •2.6.Методы интегрирования уравнения движения машинного агрегата
- •2.7.Регулирование неравномерности движения машин и механизмов
- •2.7.3.Метод н.И. Мерцалова (приближенный метод)
- •2.7.4.Метод б.М. Гутьяра (точный метод)
- •2.7.5.Определение момента инерции маховика (метод ф. Виттенбауэра)
- •2.8.Уравновешивание механизмов
- •2.8.1.Уравновешивание вращающихся звеньев
- •2.8.2.Уравновешивание механизмов
- •2.8.3.Статическое уравновешивание масс плоских механизмов
- •2.8.4.Приближенное статическое уравновешивание масс плоских механизмов
- •3.Пример выполнения структурного, кинематического и силового анализа плоского рычажного механизма
- •3.1.Исходные данные
- •3.2. Динамический синтез рычажного механизма
- •3.2.1.Построение схемы механизма
- •3.2.2.Структурный анализ
- •3.2.3.Построение повернутых планов скоростей
- •3.2.4.Приведение внешних сил
- •3.2.5.Определение работы приведенного момента.
- •3.2.6.Определение величины работы движущего момента
- •3.2.7.Определение приращения кинетической энергии
- •3.2.8.Определение приведенного момента инерции
- •3.2.9.Определение момента инерции маховика.
- •3.3.Динамический анализ рычажного механизма
- •3.3.1. Определение углового ускорения кривошипа
- •3.3.2.Построение планов скоростей и ускорений
- •4.Синтез механизмов
- •4.1.Постановка задачи синтеза механизмов
- •4.1.1.Задачи синтеза механизмов. Требования экономики, охраны труда и окружающей среды, учитываемые при синтезе механизмов
- •4.1.2.Входные и выходные параметры синтеза
- •4.1.3.Основные дополнительные условия синтеза
- •4.1.4.Целевая функция
- •4.1.5.Ограничения
- •4.1.6. Математическая постановка задачи синтеза механизма
- •4.2.Математические методы в синтезе механизмов
- •4.2.1.Методы оптимизации механизмов с применением эвм
- •4.2.2.Случайный поиск
- •4.2.3.Направленный поиск
- •4.2.4.Штрафные функции
- •4.2.5.Метод внутренних штрафных функций (метод барьеров)
- •4.2.6.Локальный и глобальный экстремумы
- •4.2.7.Комбинированный поиск
- •4.3.Методы теории приближения функций в синтезе механизмов
- •4.3.1.Необходимость использования в синтезе механизмов приближенных методов
- •4.3.2.Сведения из теории приближения функций
- •4.3.2.1.Квадратичное приближение функций
- •4.3.2.2.Наилучшее приближение функций
- •4.3.3.Постановка задачи приближенного синтеза механизмов по Чебышеву
- •4.4.Синтез четырехзвенных механизмов с низшими парами
- •4.4.1.Постановка задачи синтеза передаточного шарнирного четырехзвенника
- •4.4.2.Вычисление трех параметров синтеза
- •4.4.3.Коэффициент изменения средней скорости выходного звена механизма
- •4.4.4.Синтез шарнирного четырехзвенника по коэффициенту увеличения средней скорости коромысла
- •4.5.Синтез направляющих механизмов и мальтийских механизмов
- •4.5.1.Точные направляющие механизмы
- •4.5.2.Методы синтеза приближенных направляющих механизмов
- •4.5.3.Механизмы Чебышева
- •4.5.4.Теорема Робертса
- •4.5.5.Мальтийские механизмы
- •5.Механизмы с высшими парами
- •5.1.Зубчатые механизмы
- •5.1.1.Общие сведения. Основная теорема зацепления.
- •5.1.2.Геометрические элементы зубчатых колес
- •5.2.Методы изготовления зубчатых колес
- •5.2.1.Передаточное отношение
- •5.3.Планетарные и дифференциальные механизмы
- •5.4.Кулачковые механизмы
- •5.4.1.Виды кулачковых механизмов
- •5.4.2.Проектирование кулачковых механизмов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4.2.4.Штрафные функции
Рассмотренные выше методы поиска учитывали ограничения на параметры синтеза. Проверка ограничений и выбор точек внутри области G сами по себе являются задачами, по сложности не уступающими задаче минимизации целевой функции. Поэтому разработаны методы, сводящие задачи минимизации с ограничениями к задачам минимизации без ограничений. Одним из таких методов является метод штрафных функций, называемый иногда «методом штрафов».
Существует две модификации метода штрафных функций: метод внешних штрафных функций и метод внутренних штрафных функций.
Метод внешних штрафных функций. В пространстве параметров синтеза ER определяются функции fi(R,x), число которых равно числу Р ограничений задачи. Эти функции должны быть в области G отрицательными, а вне области G положительными. Вместо функции Ф рассматривается целевая функция
где – достаточно большое число:
,
x* – вектор положения механизма, выбираемый в соответствии с типом задачи оптимизации:
Поэтому если точка , то добавка к функции Ф(R) равна нулю. Если же , то к значению Ф(R) добавляется большое положительное число (штраф)
.
Таким образом внутри G:
,
а выход за пределы G «наказывается» штрафом. Отсюда и происходит название метода – метод внешних штрафных функций. Штрафные функции выбираются в зависимости от вида ограничений.
Например для ограничений вида 0<ri<ai, где ai – заданные числа, штрафные функции можно выбирать в виде
.
4.2.5.Метод внутренних штрафных функций (метод барьеров)
В области G определяются такие функции , что их значения неограниченно возрастают при приближении к границе области G изнутри области. Вводится вместо целевой функции Ф(R) целевая функция
где – достаточно малое число:
,
x* – вектор положения механизма, выбираемый в соответствии с типом задачи оптимизации. Для ограничений (0 < ri < ai)
.
Значения такой функции стремятся к бесконечности при приближении точки R к границе области G, а внутри G – определяются, в основном, величиной .
Метод штрафных функций только устраняет ограничения задачи оптимизации и не является методом решения этих задач. Поиск минимума целевой функции Ф(R) сводится методом штрафных функций к поиску минимума функции , осуществляемому одним из рассмотренных выше методов. Основная трудность в реализации метода штрафных функций состоит в подборе величин или .
4.2.6.Локальный и глобальный экстремумы
В общем случае целевая функция может иметь несколько минимумов, отличающихся абсолютной величиной. Минимум с минимальным модулем называется глобальным, а остальные минимумы – локальными. На рис. 4.7 показан график целевой функции одной переменной r1, у которой имеется три минимума.
Рис. 4.81
Глобальный минимум Ф соответствует точке r1= a2, а локальные минимумы – точкам r1= a1 и r3= a3.
В многомерном пространстве параметров синтеза ЕR минимум целевой функции Ф определяется следующим образом. Пусть R* некоторая точка области G и пусть Ф*=Ф(R*) значение Ф в этой точке. Тогда точка R* будет точкой локального минимума Ф, если неравенство Ф* Ф выполняется только для точек R, достаточно близких, и будет точкой глобального минимума, если это неравенство выполняется для всех точек R области G.
Рассмотренные выше методы направленного поиска приводят в общем случае к локальным минимумам целевых функций, то есть результат поиска зависит от выбора начальной точки R(0), в этом главный недостаток методов направленного поиска, за счет которого они не могут применяться в решении задач оптимизации, для которых целевая функция имеет в области G несколько минимумов. Эти методы эффективны при минимизации целевых функций, имеющих внутри G только один минимум.
Если же свойства целевой функции неизвестны, то для решения задач минимизации этих функций приходится задавать довольно много начальных точек, решая каждый раз соответствующую задачу. Затем, если результаты минимизации оказываются разными для разных исходных точек, выбирают наименьший из полученных минимумов. При этом требуется большой объем вычислений.
Метод случайного поиска дает глобальный минимум целевой функции, но также требует большого объема вычислений. Даже при минимизации целевых функций, имеющих в области G единственный минимум, необходимо учитывать свойства функции, проявляющиеся в форме поверхности
Ф = Ф(R).
Различают два типа форм поверхностей. Для первого типа (поверхность типа воронки) поверхности уровня
Ф(R) = const
близки к многомерным сферам. Для второго типа (поверхность типа «оврага») поверхности уровня вытянуты в направлении одной или нескольких осей координат, в которых задана область G пространства ЕR параметров синтеза.
Названия этих типов поверхностей уровня получены из рассмотрения их форм в случае двумерного пространства Е2 параметров синтеза. В этом случае поверхности уровня вырождаются в линии уровня.
При этом поверхностям типа воронки соответствуют кривые, близкие по форме к окружностям (рис. 4.8, а), а поверхностям второго типа – кривые, вытянутые вдоль какой-либо кривой, называемой «дном оврага» (рис. 4.8, б).
Рис. 4.82
При случайном поиске и переборе небольшого числа точек области G точку на «дне» оврага можно ошибочно принять за точку минимума целевой функции. При направленном поиске, например методом градиентного спуска, может оказаться, что движение в антиградиентном направлении из точки, расположенной на одном из склонов оврага, может привести на другой склон. Поэтому движение к точке минимума будет происходить по зигзагообразной ломаной линии, и это будет замедлять сходимость процесса поиска. Для решения задач минимизации обратных целевых функций существуют специальные модификации методов направленного поиска.