- •Основы механики машин и проектирования механизмов Учебное пособие
- •Введение
- •Современный машинный агрегат
- •1.Структура механизмов
- •1.1. Основные понятия и определения в теории механизмов и машин
- •1.2. Классификация кинематических пар
- •1.3.Структура и кинематика плоских механизмов
- •1.4.Структурная формула кинематической цепи общего вида
- •1.5.Структурная формула плоских механизмов
- •1.6.Пассивные связи и лишние степени свободы
- •1.7.Замена в плоских механизмах высших кинематических пар низшими
- •1.8.Классификация плоских механизмов
- •1.9.Структурные группы пространственных механизмов
- •2.Анализ механизмов
- •2.1.Кинематический анализ механизмов
- •2.1.1.Определение положений звеньев плоской незамкнутой кинематической цепи
- •2.1.2.Матричная форма уравнения преобразования координат точек звеньев
- •2.1.3.Определение положений, скоростей и ускорений звеньев пространственных механизмов
- •2.1.4.Графическое определение положений звеньев механизма и построение траектории
- •2.1.5.Определение скоростей и ускорений точек звеньев методом планов
- •2.1.6.Свойство планов скоростей
- •2.1.7.Построение плана скоростей и ускорений кулисного механизма
- •2.1.8.Аналоги скоростей и ускорений
- •2.2.Силовой анализ механизмов
- •2.2.1.Условие статической определимости кинематических цепей
- •2.2.2.Силы, действующие на звенья механизма
- •2.2.3.Силы инерции звена, совершающего возвратно-поступательное движение
- •2.2.4. Силы инерции звена, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси
- •2.2.5.Силы инерции звена, совершающего плоское движение
- •2.3.Определение реакций в кинематических парах групп Ассура
- •2.3.1.Силовой расчет начального звена
- •2.4.Движение машин и механизмов под действием приложенных сил
- •2.4.1.Характеристика сил, действующих на звенья механизма
- •2.5.Приведение сил и масс в плоских механизмах
- •2.6.Методы интегрирования уравнения движения машинного агрегата
- •2.7.Регулирование неравномерности движения машин и механизмов
- •2.7.3.Метод н.И. Мерцалова (приближенный метод)
- •2.7.4.Метод б.М. Гутьяра (точный метод)
- •2.7.5.Определение момента инерции маховика (метод ф. Виттенбауэра)
- •2.8.Уравновешивание механизмов
- •2.8.1.Уравновешивание вращающихся звеньев
- •2.8.2.Уравновешивание механизмов
- •2.8.3.Статическое уравновешивание масс плоских механизмов
- •2.8.4.Приближенное статическое уравновешивание масс плоских механизмов
- •3.Пример выполнения структурного, кинематического и силового анализа плоского рычажного механизма
- •3.1.Исходные данные
- •3.2. Динамический синтез рычажного механизма
- •3.2.1.Построение схемы механизма
- •3.2.2.Структурный анализ
- •3.2.3.Построение повернутых планов скоростей
- •3.2.4.Приведение внешних сил
- •3.2.5.Определение работы приведенного момента.
- •3.2.6.Определение величины работы движущего момента
- •3.2.7.Определение приращения кинетической энергии
- •3.2.8.Определение приведенного момента инерции
- •3.2.9.Определение момента инерции маховика.
- •3.3.Динамический анализ рычажного механизма
- •3.3.1. Определение углового ускорения кривошипа
- •3.3.2.Построение планов скоростей и ускорений
- •4.Синтез механизмов
- •4.1.Постановка задачи синтеза механизмов
- •4.1.1.Задачи синтеза механизмов. Требования экономики, охраны труда и окружающей среды, учитываемые при синтезе механизмов
- •4.1.2.Входные и выходные параметры синтеза
- •4.1.3.Основные дополнительные условия синтеза
- •4.1.4.Целевая функция
- •4.1.5.Ограничения
- •4.1.6. Математическая постановка задачи синтеза механизма
- •4.2.Математические методы в синтезе механизмов
- •4.2.1.Методы оптимизации механизмов с применением эвм
- •4.2.2.Случайный поиск
- •4.2.3.Направленный поиск
- •4.2.4.Штрафные функции
- •4.2.5.Метод внутренних штрафных функций (метод барьеров)
- •4.2.6.Локальный и глобальный экстремумы
- •4.2.7.Комбинированный поиск
- •4.3.Методы теории приближения функций в синтезе механизмов
- •4.3.1.Необходимость использования в синтезе механизмов приближенных методов
- •4.3.2.Сведения из теории приближения функций
- •4.3.2.1.Квадратичное приближение функций
- •4.3.2.2.Наилучшее приближение функций
- •4.3.3.Постановка задачи приближенного синтеза механизмов по Чебышеву
- •4.4.Синтез четырехзвенных механизмов с низшими парами
- •4.4.1.Постановка задачи синтеза передаточного шарнирного четырехзвенника
- •4.4.2.Вычисление трех параметров синтеза
- •4.4.3.Коэффициент изменения средней скорости выходного звена механизма
- •4.4.4.Синтез шарнирного четырехзвенника по коэффициенту увеличения средней скорости коромысла
- •4.5.Синтез направляющих механизмов и мальтийских механизмов
- •4.5.1.Точные направляющие механизмы
- •4.5.2.Методы синтеза приближенных направляющих механизмов
- •4.5.3.Механизмы Чебышева
- •4.5.4.Теорема Робертса
- •4.5.5.Мальтийские механизмы
- •5.Механизмы с высшими парами
- •5.1.Зубчатые механизмы
- •5.1.1.Общие сведения. Основная теорема зацепления.
- •5.1.2.Геометрические элементы зубчатых колес
- •5.2.Методы изготовления зубчатых колес
- •5.2.1.Передаточное отношение
- •5.3.Планетарные и дифференциальные механизмы
- •5.4.Кулачковые механизмы
- •5.4.1.Виды кулачковых механизмов
- •5.4.2.Проектирование кулачковых механизмов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4.3.2.1.Квадратичное приближение функций
Отмеченный выше основной недостаток интерполяции первого порядка частично устраняется при квадратичном приближении функций, когда близость функций P(S,x) и F(x) оценивается по малости их среднего квадратичного отклонения
,
где b и a – конечная и начальная точки отрезка, на котором производится приближение функций.
Среднее квадратичное отклонение интерпретируется как корень квадратный из величины ординаты прямоугольника (рис. 4.11) равновеликого по площади графика квадрата отклонения
P = P(S,x) – F(x)
функций Р(S,x) и F(x) на отрезке [a,b].
Рис. 4.85
Величина минимальна и равна нулю при условии, что равен нулю интеграл
,
что возможно только при тождестве функций Р(S,x) и F(x) на отрезке [a,b].
Пусть функция Р(S,x) ищется в виде обобщенного полинома (1). Тогда компоненты вектора
определятся из условия
.
Если на величину Si не наложено никаких ограничений, то они могут быть определены из условия минимума 1 как функции переменных , записываемого в виде системы уравнений (k = 1,2,…,n)
,
или более подробно
. (4.25)
Пусть
где k и j принимают любые значения от 1 до n.
Тогда система (4.25) примет вид
.
В частном случае, если функции fk(х) удовлетворяют условиям ортогональности (j,k = 1,2,…,n)
. (4.26)
система (4.25) принимает наиболее простой вид
.
Отсюда сразу определяются искомые величины
,
а по ним – компоненты вектора R.
В частном случае, когда функция P(S,x) является отрезком ряда Фурье, условия ортогональности (4.26) выполняются и величины Sk являются коэффициентами разложения функции F(x) в ряд Фурье на отрезке [a,b].
Следует отметить. что на функцию P(S,x) и функции Fi(x) при квадратичном приближении должно быть наложено единственное условие: они должны быть интегрируемыми на отрезке [a,b]. Поэтому квадратичное приближение обеспечивает малость отклонения в среднем, а не всюду на отрезке [a,b], то есть в некоторых, достаточно малых областях отрезка на отрезке [a,b] это отклонение может быть весьма большим или бесконечно большим (рис. 4.12).
Рис. 4.86
Однако для гладких, наиболее распространённых на практике функций P(S,x) подобное явление почти не встречается.
4.3.2.2.Наилучшее приближение функций
Наилучшее приближение функций производится из условия малости максимального отклонения аппроксимирующей функции P(S,x) от заданной функции F(x). Такое приближение свободно от недостатков приближения интерполяцией и квадратичного приближения функций.
Условия наилучшего приближения были указаны П.Л. Чебышевым для одного класса приближающих функций – полиномов Чебышева. Согласно этим условиям отклонение P(S,x) – F(x) функций Р(S,x) и F(x) должно определенное число раз достигать своего экстремума последовательного меняя знаки. Геометрический смысл этого условия виден из рис. 4.13: кривая Р(S,x) должна находиться между кривыми F(x) + L и F(x) – L. Такое приближение получается в случае, если число предельных отклонений не меньше некоторого числа, зависящего от класса приближающих функций и других условий. При выполнении этих условий приближение называется равномерным, так как отклонение достигает своих экстремумов, колеблясь около нуля.
Рис. 4.87
Если, например, P(S,x) является степенным полиномом степени n–1, то условия наилучшего приближения почти всегда выполняются, если число предельных отклонений равно n+1, то есть на единицу больше числа неизвестных компонентов Si. Далее во всех рассуждениях это условие предполагается выполненным,
Пусть P(S,x) взята в виде (4.23). Условие наилучшего приближения записывается в виде системы уравнений:
; (4.27)
, (4.28)
где xj – абсциссы точек предельных отклонений (j = 1,2,…,n+1).
Эта система 2(n+1) уравнений содержит 2(n+1) неизвестных: n – величин Si (i=1,2,…,n), величину L и n+1 абсциссу точек предельных отклонений.
Уравнения системы (4.27) получены из условий достижения отклонением предельных значений в точках x. Уравнения системы (4.28) получены из условия равенства нулю производной от отклонения в точках предельных отклонений.
Из совместного решения систем уравнений (4.27) и (4.28) получаются искомые величины компонентов вектора S, при которых функция Р(S,x) будет наилучшим приближением к функции F(x) на заданном отрезке.
Следует отметить, что уравнения систем (4.27) и (4.28) нелинейны по неизвестным хj (j=1,2,…,n+1) и линейны по Si (i=1,2,…,n) и L. Поэтому решения этих уравнений в общем случае является непростой задачей. На практике чаще всего пользуются при решении этих уравнений методом последовательных приближений.