3.3.2.3. Критерий Самиуддина

Критерий Самиуддина устойчив к отклонениям серий результатов наблюдений от нормального закона. Его мощность выше, чем у критерия Бартлетта.

Пусть имеется серий результатов наблюдений с объемами выборок . Соответствующие несмещенные оценки дисперсий .

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле

(98)

_где

(99)

₍₁₀₀₎

Нулевая гипотеза о равенстве дисперсий принимается с заданной доверительной вероятностью ,если

₍₁₀₁₎

где - квантиль распределения Пирсона с числом степеней свобода при заданной доверительной вероятности .

Пример 16

Имеются 4 серии результатов наблюдений. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий этих выборок с помощью критерия Самиуддина при доверительной вероятности р = 0.95

xi1	xi2	xi3	xi4
3 4 8 14 17	2 5 8 11 15	9 11 15 20 22	4 6 8 10 16

Решение

Из предыдущего примера имеем

, ,

, , , .

.

Вычислим константу

.

Наблюдаемое значение критерия Самиуддина

.

Поскольку

,

то гипотеза о равенстве дисперсий принимается с вероятностью .

3.4. Проверка гипотез для экспоненциального распределения

3.4.1. Гипотеза о неизвестном параметре экспоненциального распределения

Пусть представляют независимые выборочные значе­ния, принадлежащие экспоненциальному распределению

, , .

Проверяется простая гипотеза о том, что , против простой альтернативы , что параметр распреде­ления .

Плотности вероятностей:

,

Функции правдоподобия (19):

Отношение правдоподобия (20):

Логарифм отношения правдоподобия в этом случае равен

Правило выбора решения (для заранее фиксированного размера выборки ) формулируется следующим образом:

принимается решение (параметр распределения равен если ), если

и принимается решение (параметр равен ), если выпол­няется противоположное неравенство.

Таким образом, процедура проверки гипотезы о пара­метре экспоненциального распределения вероятностей сво­дится к сравнению среднего арифметического выборочных значений с порогом

(102)

где определяется в зависимости от выбранного критерия качества правила решения (таблица 1).

Так же как и при проверке гипотезы о среднем нормаль­ной случайной величины, поверхность, разделяющая допу­стимую и критическую области, представляет гиперпло­скость, перпендикулярную единичному вектору и распо­ложенную от начала координат на расстоянии . Кри­тическая область при этом расположена под гиперпло­скостью.

Найдем условные вероятности ошибок первого и второго рода. Известно, что сумма независимых экспоненциально распределенных случайных величин имеет -распределение с 2 степенями свободы. Учитывая необходимую нормировку, находим, что в рассматриваемом примере случайная величина распределена по закону с 2 степенями свободы. Поэтому

(103)

(104)

Величина для критериев Байеса, максимальной априорной вероятности и минимаксного определяется непосред­ственно из (102). Для критерия Неймана — Пирсона при заданном из (103) следует

(105)

Здесь - процентная точка -распределения с 2 степенями свободы. Заметим, что в это случае порог не зависит от параметра .

Если , то можно, использовав асимптотическую нормальность -распределения и переписать уравнения для вероятностей ошибок следующим образом:

Для минимаксного правила решения при , уравнение, определяющее наименее благопри­ятную величину априорной вероятности , может быть в соответствии с (34), (103) и (104) представлено в виде