4.4. Критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса

Согласно этому критерию коли­чественной мерой соответствия служит для заданного раз­мера выборки среднее значение квадрата отклонения эмпирического распределения от гипотетического

₍₁₀₉₎

где - гипотетическая плотность вероятно­сти случайной величины. Учитывая, что и интегрируя, можно получить предельное соотношение следующего вида [32]:

для (110)

для (111)

Нетрудно показать [33], что

(112)

₍₁₁₃₎

Если полученная величина критерия омега-квадрат больше табличной, что гипотеза на данном уровне значимости откланяется.

Как и критерий Колмогорова, критерий Мизеса, в отличие от , не связан с группированием выборочных данных, и его распределение достаточно быстро при увели­чении размера выборки приближается к предельному. Важно, что теоретическая функция распределения должна быть известна с точностью до параметров. Оценивание параметров по выборке приведёт к уменьшению величины критического значения статистики, т. е. к увеличению количества ошибок второго рода.

В таблице 7 приведено несколько процентных точек этого пре­дельного распределения:

Таблица 7. Процентные точки распределения Смирнова-Крамера-фон Мизеса

	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	0,05	0,03	0,02	0,01	0,001
	0,1184	0,1467	0,1843	0,2414	0,3473	0,4614	0,5489	0,6198	0,7435	1,168

Известна аппроксимация распределения с помощью распределения [34] , где - случайная величина, имеющая распределение -квадрат с степенями свободы;

(114)

(115)

(116)

Исследования авторов работы [35] позволяют сделать вывод о том, что на уровне значимости квантили точной и предельной функций распределения практически неразличимы уже при объеме выборки . При таких уровнях значимости использование преобразования вместо не дает существенных преимуществ.

Пример20

Проверить на уровне значимости нормальность распределения выборки

: 4, 7, 8, 12, 18, 19, 21, 25, 30

критерием при условии, что (т. е. гипотетическим распределением является нормальное распределение с параметрами и ).

Решение

Вычисления сводим в таблицу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	4 7 8 9 12 18 19 21 25 30	-1,2 -0,6 -0,4 -0,2 0,4 1,6 1,8 2,2 3,0 4,0	0,1151 0,2743 0,3446 0,4207 0,6554 0,9452 0,9641 0,9866 0,9986 0,9996	0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9	0,0151 -0,0257 -0,1554 -0,2793 -0,2446 -0,1548 -0,3359 -0,5134 -0,7014 -0,9000	2,28 6,60 0,02415 0,0780 0,0598 0,0240 0,1183 0,2636 0,4919 0,8100

Из формулы для (110)имеем . При критическое значение равно . Так как , гипотеза нормальности отклоняется.

Вычислим более точный критерий(111):

Видим, что результат тот же - отклоняется.

Теперь найдем аппроксимацию критерия и оценим ее точность. Вычисляем

;

;

Из таблицы 4 имеем

и .

Видим, что это значение близко к предельной квантили , т.е. аппроксимация удовлетворительна.