5.1.3 Критерий

Данный критерий следует воспринимать как критерии установления отклонения от нормальности распределения (но не установления нормальности). Коэффициент асимметрии определяется как:

(136)

При этом известно [37]:

;

(137)

В [52] показано, что распределение достаточно быстро стремится к нормальному.

Рассмотрим использование критерия для установления отклонения эмпирического распределения от нормального. Таблицы процентных точек распределения приведены в [37]. При может быть рекомендован грубый критерий:

Если , то нормальность распределения отклоняется.

На практике применяются нормализующие преобразования для . Рассмотрим некоторые из них. В [53] предложена аппроксимация , где , которая при распределена как стандартная нормальная величина ( - коэффициенты, приведенные втаблице 13).

Таблица 13. Значения коэффициентов и .

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43	5,563 4,260 3,734 3,447 3,270 3,151 3,069 3,010 2,968 2,937 2,915 2,900 2,890 2,870 2,882 2,882 2,884 2,889 2,895 2,902 2,910 2,920 2,930 2,941 2,952 2,964 2,977 2,990 3,003 3,016 3,030 3,044 3,058 3,073 3,087 3,102	0,3030 0,4080 0,4794 0,5839 0,5781 0,6153 0,6743 0,6753 0,7001 0,7224 0,7426 0,7610 0,7779 0,7940 0,8078 0,8211 0,8336 0,8452 0,8561 0,8664 0,8760 0,8851 0,8938 0,9020 0,9097 0,9171 0,9241 0,9308 0,9372 0,9433 0,9492 0,9548 0,9601 0,9653 0,9702 0,9750	44 45 46 47 48 49 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 105 110 115 120	3,117 3,131 3,160 3,161 3,176 3,192 3,207 3,237 3,268 3,298 3,329 3,359 3,389 3,420 3,450 3,480 3,510 3,540 3,569 3,599 3,628 3,657 3,686 3,715 3,744 3,772 3,801 3,829 3,857 3,885 3,913 3,940 4,009 4,076 4,142 4,207	0,9795 0,9840 0,9882 0,9923 0,9963 1,0001 1,0038 1,0108 1,0174 1,0235 1,0293 1,0348 1,0400 1,0449 1,0459 1,0540 1,0581 1,0621 1,0659 1,0695 1,0730 1,0763 1,0795 1,0825 1,0854 1,0882 1,0909 1,0934 1,0959 1,0983 1,1006 1,1028 1,1080 1,1128 1,1172 1,1212	125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 350 400 450 500 600 700 800 900 1000	4,272 4,336 4,398 4,460 4,521 4,582 4,641 4,700 4,758 4,816 4,873 4,929 4,985 5,040 5,094 5,148 5,255 5,359 5,461 5,561 5,660 5,757 5,853 5,946 6,039 6,130 6,567 6,976 7,363 7,731 8,149 9,054 9,649 10,271 10,738	1,1250 1,1285 1,1318 1,1348 1,1377 1,1403 1,1428 1,1452 1,1474 1,1496 1,1516 1,1535 1,1553 1,1570 1,1586 1,1602 1,1631 1,1657 1,1681 1,1704 1,1724 1,1744 1,1761 1,1779 1,1793 1,1808 1,1868 1,1914 1,1950 1,1979 1,2023 1,2058 1,2078 1,2096 1,2111

В [54] предложена следующая нормализующая аппроксимация. Если

(138)

(139)

(140)

(141)

(142)

тo величина

(143)

уже при может быть аппроксимирована стандартным нормальным распределением.

Пример 23

По предложенной выборке проверить гипотезу нормальности распределения случайных величин критерием асимметрии на уровне достоверности

: -0.8637 0.0774 -1.2141 -1.1135 -0.0068 1.5326

-0.7697 0.3714 -0.2256 1.1174 -1.0891 0.0326

0.5525 1.1006 1.5442 0.0859 -1.4916 -0.7423

-1.0616 2.3505 -0.6156 0.7481 -0.1924 0.8886

-0.7648 -1.4023 -1.4224 0.4882 -0.1774 -0.1961

1.4193 0.2916 0.1978 1.5877 -0.8045 0.6966

0.8351 -0.2437 0.2157 -1.1658 -1.1480 0.1049

0.7223 2.5855 -0.6669 0.1873 -0.0825 -1.9330

-0.4390 -1.7947

Решение

Найдем среднее (39), и стандартное отклонение (52):

; ;

Значение коэффициента асимметрии (136):

.

Вычисляем далее (137):

Грубый критерий применять нельзя, так как . Вычислим нормализующие преобразования. Сначала рассмотрим -преобразование:

Из таблицы 13имеем: и , тогда

; .

Теперь рассмотрим -преобразование:

;

;

; ; ;

Используем нормализующее преобразование для оценки отклонения

эмпирического распределения от нормального ( - 95%-я квантиль стандартного нормального распределения. Так как критерий двусторонний, при следует применять ).

Имеем и . Следовательно, гипотеза нормальности по коэффициенту асимметрии не отклоняется.