4.4.2. Оценка точности результатов ряда равноточных измерений.

В качестве критерия при оценке точности результатов геодезических измерений принята предложенная К.Ф. Гауссом средняя квадратическая погрешность, вычисляемая по формуле

, (4.10)

где Δ - истинная случайная погрешность результата, n - число измерений.

По величине средней квадратической погрешности можно определить предельную погрешность Δ_пред., возможную для данного ряда измерений. В качестве предельной погрешности в геодезии принимают удвоенную среднюю квадратическую погрешность

. (4.11)

Если в ряду случайных погрешностей результатов равноточных измерений встречаются такие, которые по абсолютной величине превышают предельную, то такие погрешности считают грубыми. Измерения, в которых обнаружены эти погрешности, выполняют заново.

В ряде случаев для суждения о точности измерений недостаточно знания лишь абсолютного значения средней квадратической погрешности.

- 33 -

Например, измерены три отрезка линий местности:

L ₁ = 240 м с погрешностью m ₁ = ± 0,15 м;

L ₂ = 600 м с погрешностью m ₂ = ± 0,53 м;

L ₃ = 500 м с погрешностью m ₃ = ± 0,29 м.

Если сравнивать средние квадратические погрешности, то наиболее точно измерен первый отрезок. Однако, здесь следует учитывать и длину измеряемого отрезка, т.е. отнести погрешность к величине длины самого отрезка. В подобных случаях вводят понятие относительной погрешности, под которой понимают отношение абсолютной величины средней квадратической погрешности m к значению результата l измеряемой величины, т.е.

(4.12)

где

Для нашего примера относительные погрешности равны:

Сравнивая дроби, видим, что третье измерение является самым точным. В значении абсолютной величины средней квадратической погрешности и в знаменателе относительной погрешности следует удерживать две - три значащие цифры.

Вероятнейшие погрешности. Формула (4.10) К.Ф. Гаусса для средней квадратической погрешности справедлива в том случае, когда результаты измерений сравниваются с истинным (точным) значением этой величины. В большинстве случаев практики топографо-геодезических и маркшейдерских работ истинное значение измеряемой величины неизвестно и поэтому используют вероятнейшее значение его, определяемое по формуле (4.7). В этом случае среднюю квадратическую погрешность результата отдельного измерения ряда равноточных измерений определяют по вероятнейшим погрешностям.

Пусть- результаты равноточных измерений одной и

- 34 -

той же величины, - простая арифметическая середина.

Составим разности (4.13)

где ; - число измерений;

- вероятнейшие погрешности результатов измерений т.е. уклонения значений каждого результата от простой арифметической середины, от вероятнейшего значенияизмеряемой величины. Найдём сумму уравнения (4.13) и разделим на их число

(4.14)

но , тогда

(4.15)

т.е. сумма вероятнейших погрешностей результатов равноточных измерений равна нулю при любом числе измерений.

Составим разности уравнений (4.1) и (4.13)

(4.16)

но, - истинная случайная погрешность простой арифметической середины, тогда

(4.17)

Выражение (4.17) есть уравнение связи истинных и вероятнейших погрешностей результатов равноточных измерений.

Возведем уравнения (4.17) в квадрат, сложим и разделим на их число

(4.18)

Но

тогда . (4.19)

- 35 -

Второй член правой части уравнения ( 4.18 ) запишем в виде

, (4.20)

но ; - по четвертому свойству случайных погрешностей.

Уравнение (4.19) с учетом (4.20) примет вид

(4.21)

или . (4.22)

Окончательно

. (4.23)

Выражение (4.23) является формулой Бесселя для средней квадратической погрешности результата отдельного измерения ряда равноточных измерений одной величины.

Практические рекомендации по вычислению простой арифме-тической середины.

1.Выбирают приближенное значение простой арифметической середины, в качестве которого лучше всего взять наименьшее из результатовизмерений, т.е.

. (4.24)

2. Находят разности

. (4.25)

3. Вычисляют простую арифметическую середину

. (4.26)

- 36 -