4.4.3. Оценка точности функций измеренных величин

В большинстве случаев практики топографо-геодезических и маркшейдерских работ искомые величины получают в результате вычислений как функции измеренных величин. Полученные при этом результаты будут содержать погрешности, которые зависят как от погрешностей аргументов (измеренных величин), так и от вида функций. Возникает задача оценки точности функций измеренных аргументов.

Средняя квадратическая погрешность функции общего вида

Дана функция

, (4.27)

где - точные (истинные) значения измеряемых величин.

Пусть в результате измерений получены приближенные значения этих величин.

Тогда (4.28)

- приближенное значение функции .

Составим разность уравнений (4.27) и (4.28)

, (4.29)

которая является истинной случайной погрешностью функции .

Разности , (4.30)

- суть истинные случайные погрешности аргументов _,

Тогда

. (4.31)

Чтобы найти линейную зависимость между погрешностями аргументов и погрешностью функции, продифференцируем функцию (4.28).

, (4.32)

где - частные производные функции по каждому из аргументов. Заменим в выражении (4.32) дифференциалы истинными случайными погрешностями функции и аргументов

. (4.33)

- 37 -

При многократном измерении аргументов, например n раз, получим

, (4.34)

где .

Производные функции по соответствующим аргументам в разных измерениях практически остаются постоянными и могут быть вычислены по приближенным значениям аргументов , в качестве которых можно взять

, т.е. значения аргументов, полученные при первом измерении определяемых величин.

В соответствии с этим можно принять

,

, (4.35)

…………………………………………………

…………………………………………………

.

С учетом (4.35) выражение (4.34) примет вид

(4.36)

Возведем уравнения (4.36) в квадрат, сложим и разделим на их число

- 38 -

(4.37)

На основании (4.3) и (4.10) можно записать

и (4.38)

Выражение (4.37) с учетом (4.38) примет вид

(4.39)

или (4.40)

Таким образом, средняя квадратическая погрешность функции независимых аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных функции по каждому из аргументов на средние квадратические погрешности соответствующих аргументов.

- 39 -

Средняя квадратическая погрешность простой арифметической середины

Формулу (4.7) для простой арифметической середины перепишем в виде

, (4.41)

где - результаты равноточных измерений одной и той же вели-чины;i = 1, 2, 3,..., n; n - число измерений.

На основании (4.39) имеем

,

но , тогда

. (4.42)

Так как измерения равноточные, т.е. .

Средняя квадратическая погрешность простой арифмети-ческой середины в раз меньше средней квадратической погрешности результата каждого отдельного измерения.

Следовательно, выражение (4.42) примет вид

, (4.43)

откуда (4.44)

Сравнивая формулу (4.43) и второй член правой части уравнения (4.21), можно сделать вывод, что

, (4.45)

т.е. истинная случайная погрешность простой арифметической середины равна средней квадратической погрешности простой арифметической середины.

- 40 -

Оценка точности результатов угловых измерений

в триангуляции

Триангуляция - плановая геодезическая сеть, состоящая из треугольников (см. рис. 4.1), в которой измерены все внутренние углы треугольников и одна или несколько сторон - базисов. Вершины треугольников - пункты сети, положение (координаты) которых подлежат определению. Известно, что сумма внутренних углов плоского треугольника равна 180^° ,

т.е. , (4.46)

где - истинные (точные) значения углов.

Пусть - результаты измерения этих углов, т.е. приближенные значения углов.

Тогда, согласно (4.1), имеем

,

, (4.47)

- истинные случайные погрешности результатов измерений.

Перепишем равенство (4.46) с учетом формул (4.47)

; (4.48)

; (4.49)

. (4.50)

Обозначим

. (4.51)

ω - называют угловой невязкой в треугольнике, т.е. это истинная случайная погрешность суммы внутренних углов треугольника.

Тогда уравнение (4.50) можно записать в виде

(4.52)

или (4.53)

Пусть равно точно измерены углы в треугольниках, для каждого из которых справедливы равенства (4.51), т.е.

- 41 -

(4.54)

где - номера треугольников.

Возведем уравнения (4.54) в квадрат, сложим и разделим на их число

. (4.55)

На основании (4.3) и (4.10) можно записать

Тогда

(4.56)

где - средние квадратические погрешности результатов измерений угловв каждом из треугольников.

Так как измерения равноточные, т.е. , то

(4.57)

или (4.58)

Это формула Ферреро, по которой обычно выполняется оценка точности результатов измерений горизонтальных углов в триангуляции.