3.5. Расчет по прочности на продавливание

Если нагрузка приложена к плоскому элементу (плите) на доста­ точно малой площади, то может произойти разрушение этого эле­ мента от среза по периметру участка, окружающего площадку на­ гружения. Такое разрушение называется продавливанием.

Расчет на продавливание, в частности, производится для плит перекрытий под опорами тяжелого оборудования, для фундамент­ ных плит на действие опирающихся на них колонн здания. При рас­ чете на продавливание исходят из того, что срез бетона происходит по боковым сторонам усеченной пирамиды, начинающимся от краев площадки опирания и наклоненным под углом 45° в сторону от пло­ щадки опирания (рис. 3.58).

—

•«Ч 450<5.

4=^

Боковые стороны пирамиды продавливания

Площадка

опирания

Рис. 3.58. Схема пирамиды продавливания

Продавливанию сопротивляется проекция на вертикаль суммар­ ной срезывающей силы, распределенной по боковым сторонам пи­ рамиды продавливания. Если на площадку опирания действует толь­ ко продольная сила, т.е. нагрузка распределена равномерно по пло­ щадке опирания, то срезывающие напряжения по всем боковым сто­ ронам пирамиды будут в предельном состоянии одинаковыми и пре­ дельная продавливающая сила будет равна площади проекции на вертикаль боковых сторон пирамиды продавливания, умноженной на расчетное сопротивление бетона растяжению Кы. Эта площадь может определяться как среднеарифметическое значение перимет-

198

ров верхнего и нижнего основания пирамиды и, умноженное на ра­ бочую высоту плоского элемента ЛоПоскольку продольная растяну­ тая арматура плиты во взаимно перпендикулярньвс направлениях X и I располагается на разных уровнях по высоте сечения плиты, рас­ четное значение рабочей высоты /?о принимается как средняя вели­ чина значений рабочей высоты для направлений X и У/гох и к^у.

Значение и также можно представить как периметр пирамиды продавливания на уровне половины ее высоты /го. Таким образом, основное условие прочности на продавливание при действии про­ дольной силы Р имеет вид

Р<Кы11Ы. (3.251)

Правильность такого расчета для элементов из тяжелого бетона была подтверждена многочисленными опытными данными, что бы­ ло зафиксировано во всех нормативных документах. Для иных видов бетона были приняты понижающие коэффициенты.

Следует отметить, что при расчете на продавливание фундамен­ тов за продавливающую силу Е должна приниматься продольная сила в колонне за вычетом отпора грунта, действующего в пределах нижнего основания пирамиды продавливания, а при определении этого отпора не должен учитываться вес фундамента, поскольку этот вес, очевидно, не может способствовать продавливанию фундамента.

Однако на фундамент кроме продольной силы колонны может действовать также момент в заделке колонны в фундамент. Пра­ вильно учесть влияние момента на продавливание довольно сложно. С одной стороны, при действии момента увеличение срезывающих напряжений с одной стороны пирамиды продавливания сопровожда­ ется уменьшением этих напряжений с противоположной стороны, что, казалось бы, не должно приводить к разрушению от среза по всем сторонам пирамиды. С другой - можно предположить, что пре­ вышение срезывающих напряжений их предельных значений у од­ ной стороны пирамиды полностью выключает ее из работы, т.е. она перестает сопротивляться внешней нагрузке, и поэтому ближайшие поверхности пирамиды начинают воспринимать большую нагрузку и, следовательно, там напряжения увеличиваются и, доходя до пре-

199

дельных значений, также выключают соответствующие участки из работы. Этот процесс идет до тех пор, пока срез бетона не охватит весь периметр пирамиды продавливания. При таком представлении о работе элемента при действии момента, очевидно, следует не допус­ кать, чтобы от действия продольной силы и момента на любой из сторон пирамиды были бы достигнуты предельные значения срезы­ вающих напряжений.

Для фундаментов в ряде пособий и рекомендаций это учитыва­ лось тем, что рассматривался не весь периметр пирамиды продавли­ вания на уровне середины ее высоты, а только наиболее напряжен­ ная ее сторона, на которую действует отпор грунта в пределах части подошвы фундамента, примыкающей к соответствующей стороне нижнего основания пирамиды продавливания. Такой расчет не во­ шел в нормы и был необязателен. В этом способе заключена сле­ дующая нелогичность. Зависимость прочности отдельной грани пи­ рамиды от отпора грунта в пределах площади подошвы, приложен­ ной к этой грани, приводит к тому, что разные грани пирамиды про­ давливания могут иметь разные срезывающие напряжения даже при отсутствии момента (например, при подошве не квадратной формы), что противоречит исходной предпосылке расчета.

Проблема уточнения влияния момента на продавливание стала весьма актуальной в последнее время, когда получило широкое рас­ пространение строительство каркасных зданий из монолитного же­ лезобетона с плоскими безбалочными перекрытиями. Такие пере­ крытия следует также проверять на продавливание, принимая за продавливающую силу нагрузку, предающуюся с перекрытия на ко­ лонну. В этом случае большее основание пирамиды продавливания оказывается наверху, а меньшее - внизу, и это основание равно се­ чению нижней колонны.

Поскольку на колонны каркаса, как правило, действуют момен­ ты, встала задача разработать общий непротиворечивый способ уче­ та момента при расчете на продавливание как фундаментов, так и плит перекрытий. Если принять, что нигде нельзя допускать превы­ шения срезывающими напряжениями их предельных значений, то удобнее рассматривать расчетное поперечное сечение, расположен­ ное вокруг площадки опирания на расстоянии /го/2, по поверхности которого действуют касательные усилия от продольной силы и мо­ мента {рис. 3.59).

Эти касательные усилия должны быть восприняты бетоном с расчетным сопротивлением растяжению Кы-

200 її'

при действии только продольной силы касательные усилия при­ нимаются равномерно распределенными по всему контуру расчетно­ го поперечного сечения, и, таким образом, такая расчетная схема практически не отличается от приведенной выше в виде пирамвды продавливания.

При действии момента касательные усилия принимаются ли­ нейно изменяющимися по длине контура расчетного сечения в на­ правлении момента так, чтобы внутренние и внешние усилия нахо­ дились в равновесии. Такой расчет аналогичен расчету на внецен­ тренное сжатие нормального сечения по формуле сопротивления материалов, где за такое сечение принимается контур расчетного поперечного сечения, а полученные напряжения должны делиться на высоту элемента /го, учитывая равномерное распределение касатель­ ных напряжений по высоте, т.е. условие прочности на продавлива­ ние приобретает вид

(3.252)

иж

где Жь - момент сопротивления контура расчетного поперечного се­ чения.

Р	Расчетное поперечное
1ю/2	сечение

Контур расчетного поперечного сечения

Площадка опирання

Рис. 3.59. Схема расчетного поперечного сечення

201

Однако такой подход к расчету можно принять только для эле­ мента из хрупкого и идеально упругого материала. Бетон, не являясь таким материалом, перед срезом испытывает заметные неупругие деформации, и фактические напряжения в направлении момента из­ меняются нелинейно. Было принято, что фактические касательные напряжения достигают значения Кы при моменте вдвое большем мо­ мента, при котором напряжения достигают Кы при упругой работе бетона {рис. 3.60). Поэтому в предлагаемом расчете, учитывающем только упругие деформации, момент уменьшают вдвое.

Кроме того, охват разрушением всегр контура расчетного сече­ ния может быть достигнут, если напряжения, вызванные моментом, не будут чрезмерно отличаться от напряжений, вызванных продоль­ ной силой. Дело в том, что при достижении касательных напряжений предельных значений бетон не сразу выключается из работы и мо­ жет деформироваться при некотором увеличении момента, и, следо­ вательно, увеличение деформаций на менее напряженных сторонах будет не столь значительными и может не привести к достижению ими своих предельных значений, особенно если напряжения от про­ дольной силы достаточно далеки от предельных. Поэтому в пособии [3] в развитии СП 52-101.2003 принято, что, если напряжение от продольной силы Р1{ико) не превышает 0,5/?*,, разрушения от про­ давливания при действии момента любой величины невозможно. Разрушение при этом возможно только по нормальным или наклон­ ным сечениям.

Рис. 3.60. График зависимости касательных напряжений т от момента М: т/= Р/ико - касательные напряжения от продольной силы Р

Это условие можно осуществить, если принимать максимальное напряжение, вызванное моментом М!{ШъЬ^ не более напряжения, вызванного продольной силой ^/(мАо).

202

Момент сопротивления Щ определяется как для коробчатого или кольцевого сечения с толщиной стенок, равной единице. Для прямоугольной площадки опирания размером а х Ь размеры контура расчетного сечения равны (а + /го) х (Ь + /го). При размере контура в направлении момента а + ко момент инерции контура равен

1 = 2	а + к, \ 2	а +к^ Ь+ к^
	+ (Ь +к,)	= 2{а + к,у-	4
	12	12

а момент сопротивления

Ж =■	а + к
	• = (о + /г„)
(а + й„)/2

Периметр контура такой площадки равен

и = 2{а + 6 + 2/го).

Для круглой площадки опирания (например, при колоннах круг­ лого сечения) диаметром (і диаметр контура расчетного сечения ра­ вен + /?о, а момент сопротивления и периметр контура соответст­ венно

Wb = n{d + koflA; А -^n(d + ко).

Все эти формулы применимы для расчетных сечений с контуром замкнутой формы. Однако, если площадка опирания оказалась вбли­ зи свободного края или угла плиты, более опасным может оказаться расчетное сечение с контуром незамкнутой формы (рис. 3.61). В этом сл)^ае на расчетное сечение может действовать дополни­ тельный момент из-за эксцентричности приложения продольной си­ лы относительно центра тяжести незамкнутого контура. Этот мо­ мент алгебраически складывается с внешним моментом, приложен­ ным к площадке опирания.

Для незамкнутых контуров расчетных сечений в табл. 3.2 при­ водятся без вывода формулы для периметра и, а также для моментов сопротивления Wbx и Wby и эксцентриситетов вх и ву в направлении осей xvty.

В колоннах могут действовать моменты в направлении обеих осей симметрии Мх VI Му ,vt тогда условие (3.252) в соответствии с формулой сопромата приобретает вид

203

F М.	(3.253)
- ^ы К ’
где Жыи }¥ьу- моменты сопротивления в направлении моментов	и Му.

Рис. 3.61. К расчету на продавливание плиты при незамкнутом контуре расчетного поперечного сечения;

а - при крайней колонне; б - при угловой колонне; 1 - контур расчетного сечения; 2 - центр тяжести контура расчетного сечения

При этом сумма

+

также принимается не более Р/и.

При невыполнении условия (3.252) или (3.253) прочность плиты на продавливание можно повысить установкой поперечной армату­ ры вокруг площадки опирания. При этом в расчете учитываются по­ перечные стержни, пересекающие боковые стороны пирамиды про­ давливания, т.е. расположенные на участках шириной ко от границ площадки опирания. Но чтобы избежать среза бетона вне зоны рас­ положения поперечного армирования, ширину армированных участ­ ков принято увеличивать до \,5ко (рис. 3.62).

При равномерном распределении поперечной арматуры вокруг площадки опирания к правой части условия прочности добавляют величину - усилие в поперечной арматуре на единицу длины контура расчетного сечения. При этом, учитывая неравномерность распределения напряжений в поперечной арматуре в пределах всей зоны продавливания, расчетное сопротивление 7?*^ умножается на дополнительный коэффициент 0,8.

204

	Схема по	Периметр, и	для
	рис.
			волокон
	3.38, й
			у края
			плиты
		2Ьх~^ Ьу	у удален­
			ного от
			края
			плиты
			у края
			плиты
	3.38,6	Ьх+ Ьу	у удален­
			ного от
			края
			плиты

Ь^, Ьу, ¥х, Уу, бх, ву- см. рис. 3.61

Моменты сопротивления

11(и + 31) 6 ( 1 + 1 )

4 (^ + 3!^

6

11(и + 31^)

12(1, /2+ 1 ^

1^(и + 31^, 6

И^у

1 / 1 /6 + 1 ^

Аналогично с переста­ новкой £хи Ьу

Таблица 3.2

Эксцентриситеты

ву

	4 ( 4 + А ) 5,	0,0
	и

Аналогично 1 /1 ^ 2 + бхс переста­ новкой ЬхИ Ьу и заменой Ух

на Уу

1,5Ьр ^ I Азуу 1,5Ьр „ Ьп/2

Рис. 3.62. К расчету на продавливание плиты с равномерным поперечным армированием:

1 - участок плиты с учитываемой в расчете поперечной арматурой; 2 - кон­ тур расчетного сечения, рассчитываемого без учета поперечной арматуры; 3 - площадка опирания

Тогда

(3.254)

где Asw - площадь сечения одного ряда стержней, пересекающих пи­ рамиду продавливания; 5^ ~ шаг стержней в направлении линии кон­ тура расчетного сечения.

При этом следует отметить, что влияние поперечной арматуры на увеличение прочности при продавливании не прямо зависит от интенсивности этого армирования. При малой интенсивности на-

206

пряжения в поперечных стержнях в момент перед срезом бетона мо­ гут превысить временное сопротивление, и, следовательно, эти стержни перестают сопротивляться внешней нагрузке. При большой интенсивности напряжения в поперечных стержнях в момент перед срезом бетона могут быть суш;ественно меньше предела текучести.

Поэтому	значение qs^ принимается не более Ritho, а в случае
qsw <	вовсе не учитывается в расчете поперечное армирова­
ние.

Однако если в этом случае принять уменьшенное значение равное Aqsw, что позволило бы учесть поперечную арматуру, то несуш;ая способность сечения с учетом арматуры может превысить не­ сущую способность сечения без зачета поперечной арматуры, т.е. снижение прочности бетона привело бы к увеличению несущей спо­ собности сечения. Чтобы не допускать такую нелогичность, значе­ ние qsw, меньшее 0,25ЯыЫ, можно при необходимости з^итывать в расчете, принимая в условии прочности RbtK^Aqsw, т.е. правую часть этого условия принимать равной 5qsw-

Зону вне расположения поперечного армирования также следует проверять расчетом на продавливание, принимая за площадку опи­ рания зону поперечного армирования.

В некоторых случаях более рационально сосредоточивать попе­ речную арматуру у главных осей х и В этом случае контур расчет­ ного сечения для поперечной арматуры будет иной, чем для бетона, поскольку будет состоять из отдельных отрезков, равных длинам участков расположения поперечной арматуры kw.x и на расчет­ ном контуре продавливания {рис. 3.63). Характеристики такого рас­ четного сечения Usw и Wswсоответственно равны Us^v 2{lsw,x +

^ 7 ^ + U ( « + *o). 3(a + /?o)

где a - размер площадки опирания в направлении момента.

При наличии разных расчетных сечений для бетона и поперечной арматуры было решено воспользоваться расчетом с помощью кривой взаимодействия величин F/F,,* и МШиц, где Fui, - предельная продав­ ливающая сила, определенная с учетом работы бетона и поперечной арматуры, М„/, - момент, вызывающий в обоих расчетных сечениях предельные напряжения в бетоне и в поперечной арматуре, т.е.

F ifi, R(,,hoii "Ь qsw^swi

Riifho

+ q^w ^^sw-

207

Рис. 3.63. К расчету на продавливание плиты с крестообразным расположением поперечной арматуры:

1 - учитываемая в расчете поперечная арматура; 2 - контур расчетного се­ чения, рассчитываемого без учета поперечной арматуры

При этом предполагается, что интенсивность поперечного арми­ рования одинакова в направлении обоих координатных осей.

Поскольку принята упругая работа всех материалов, кривая взаимодействия представляет собой прямую линию {рис. 3.64).

Рис. 3.64. Линии взаимодейст­ вия величин Р!Р„ц и М1М„и при расчете на продавливание:

1 - область обеспеченной проч­ ности; 2 - область не обеспечен­ ной прочности

М

м,ии

208

Координаты каждой точки на этой линии связаны зависимостью

РМ ^

н-------= 1, а условие прочности приобретает вид

К ,

При этом отношение М/А4/, принимается не более Е

Р.и

При расчете на продавливание зоны вне расположения такого поперечного армирования контур расчетного сечения принимается по диагональным линиям, следуюш;им от краев расположения попе­ речной арматуры {сш.рис. 3.63).

Если интенсивность поперечного армирования в направлении осей х и у отличаются друг от друга, то характеристики расчетного сечения Usw и определяются для каждого армирования отдельно и умножаются на соответствуюш;ие значения qsw.

При действии моментов в направлении обеих осей х и у условие (3.255) приобретает вид

Р М
Р + -м^ + ------------------------------------м	^ < 1 ,(3.256)

где в значениях Мии,х и Мии,у учитываются моменты сопротивления Жь и в направлении соответствуюпщх моментов.

Условиями прочности (3.255) и (3.256) полезно аналогично пользоваться и при равномерном распределении поперечного арми­ рования, если интенсивность поперечного армирования по разным направлениям различна.

При вычислении значений Р^и и М„/, следует учитывать упомя­ нутые выше ограничения по использованию поперечной арматуры.

14 Заказ40

209

г л а й а 4

РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ ВТОРОЙ ГРУППЫ

4.1. Расчет железобетонных конструкций по образованию трещин

Расчет по образованию трещин производится для железобетон­ ных элементов, в которых при действии расчетных нагрузок (у/ > 1) не допускается образование трещин из-за возможности хрупкого коррозионного разрущения арматуры. К таким элементам относятся:

а) элементы, эксплуатируемые в сильноагрессивной среде с ра­ бочей арматурой классов Вр1200-Вр1400, К1400, К1500 (К-19) и К1500 (К-7) диаметром 12 мм;

б) элементы, эксплуатируемые в средне- и сильноагрессивной среде с рабочей арматурой классов А800, А1000, Вр1500 и К1500 (К-7) диаметром 6 и 9 мм.

При этом степень агрессивного воздействия определяется по указаниям СНиП 2.03.11-85.

Для указанных элементов, очевидно, расчет по раскрытию тре­ щин не производится.

Для прочих элементов расчет по образованию трещин имеет вспомогательное значение и сводится к определению усилия, соот­ ветствующего образованию трещин. Это усилие используется в рас­ четах по раскрытию трещин и деформациям при учете неравномер­ ности распределения деформаций арматуры между трещинами (ко­ эффициент \|/,) и для определения участков элемента без трещин при вычислении прогиба. Расчетом по образованию трещин также выяв­ ляется необходимость расчета по раскрытию трещин.

4.1.1. Расчет изгибаемых элементов

Для изгибаемых элементов расчет по образованию трещин про­ изводится из условия

М <М ,^,

(4.1)

где М ~ изгибающий момент от внешней нагрузки;

210

- изгибающий момент, воспринимаемый нормальным сечением при образовании трещин.

В общем случае СП [1], [2] рекомендует значение М„с опреде­ лять на основе нелинейной деформационной модели (см. разд. 3.2.3), принимая двухлинейную диаграмму 8* - ст* для сжатого и растянуто­ го бетона и учитывая непродолжительность действия нагрузки. То­ гда действию момента М^гс будет соответствовать достижение в крайнем растянутом волокне бетона деформации е*,2 = 15x10'^ а эпюра деформаций бетона в сечении будет иметь вид, представлен­ ный на рис. 4.1, б.

,бb“ЄъE^,^ed"^^bn

М=.Мс

б'*=Є’*Е*

Рис. 4Л. к определению момента образования трещин М^гс для изгибаемого элемента произвольного сечения:

а - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжении

При этом принимаются нормативные значения сопротивления бетона растяжению и сжатию Кь,,„ и Кь„. При деформации крайнего сжатого волокна бетона є*< гь\,гесі = ІЗхІО"^, напряжение в этом во­ локне равно а* = ЕьЕь.ге^, а эпюра напряжений сжатия имеет линей­ ный характер. Общая эпюра напряжений для этого случая представ­ лена н а 4.1, в.

В зоне, где £ь > гьх.гес!, напряжения сжатия равны Къ„.

Высота сжатой зоны х определяется из уравнения равновесия внешних и внутренних сил. Поскольку в изгибаемом элементе внешняя продольная сила равна нулю, это уравнение имеет вид ^сж = где Л^сж - усилие в сжатом бетоне и сжатой арматуре, -ІЧ’аст. - усилие в растянзггом бетоне и растянутой арматуре.

Для сечений произвольной формы это уравнение решается по­ следовательными приближениями, задаваясь в 1-м приближении

’4*

211

значение X ~ 0,5/г, а значения Л/с* и Л/ра„ определяются с помощью численного интегрирования, когда сечение в направлении плоскости изгиба (нормальной нейтральной оси) разделяется на участки малой ширины, напряжения в которых принимаются равномерно распреде­ ленными и соответствующими деформациям на уровне участка со­ гласно диаграммам ст-8, для сжатого и растянутого бетона. Такой расчет целесообразно производить с помощью компьютерной про­ граммы.

Для прямоугольных, тавровых и двутавровых сечений значение X можно определить аналитически путем составления и решения квадратного уравнения. Составим это уравнение для прямоугольного сечения, как наиболее простого.

При 8* < £ь1.гес1 формула напряжения наиболее сжатого волокна имеет вид

		гь\,гес! 10	^ - х
Напряжение в сжатой арматуре равно			^ при
			" к - х
Е, = 200 ООО МПа		= ЗО ^^^(М П а).
		к - х
Тогда	=	^ * 20 к - х	к - х
	2

Усилие в растянутом бетоне равно

152 15

ав растянутой арматуре

Ыh - x - a ^ _ЪО{к-х-а)А^

h - x		к - х
Уравнение равновесия приобретает вид
R	11	-2/ ис + х") + 3 0 4 Д А -а )-3 0 Л х (4.2)
+30Л >	-золу = —

212

принимая отаосительные характеристики:
30 Л	30 А[	б = — 8'
а.. =	г=

К . Ъ к ’

получаем после алгебраических преобразований решение квадратно­ го уравнения в виде

2 3^ - 0,733 + а ,(1 - 5 ^	+ а;.5:.	(4.3)
0,1ЪЪ-0,5	г

г д е

0,733-0,5 г

При бетоне класса ВЗО и более, когда 0,5г > 0,733, в формуле (4.3)перед корнем следует принимать знак «плюс».

Значение Мего представляет собой момент внутренних сил отно­ сительно любой оси, но наиболее удобно этот момент определять относительно нейтральной оси. Тогда, используя те же относитель­

ные характеристики, получаем						, п	к 5 ч2.
		0,4526(1-»= ,		'- У ^ З .(^ - 5 :У у О Ч - 5 .) - а .				• (4.4)
При наличие полок в сжатой и растянутой зонах {рис. 4.2), при­
нимая относительные			значения		плош;адей		свесов	полок
Ь‘ - Ь ,		Ъ . - Ь		а также		, М	/г,	можно
-----к а ^ = —----- к.,						5 ^ = — , 6 .= —
Ьк	^	Ьк	^	^ 2к	^	2к

определить высоту сжатой зоны из аналогичного квадратного урав­ нения по следующим формулам в зависимости от высоты растянутой полки:

Рис. 4.2. К определению момента образования трещин М„с для изгибаемого элемента двутаврового сечения;

а - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений

213

а) при	< — (й -х ) [илипри 5^ < — (1-^)]
	[0,733 + а,. (1- 5,) + а:5: +	+ а ,,
	0,733-0,5 г

__ ^ 0,733 + (а ^ + а ,+ г а „ ,)/2 + а„^/2

о, 733 -0,5г

б) при > - { к - х )

2-- 0,733 + а Д 1 - 5 ,) + а Х + '-5 ;а ;,„ + 3,755Д 1-5^)-0,204](й ^ /й - 1 ) (4.6)

0,733-0,5г-0,204(^>^ / 6 - 1 )

о,733 + (а^ + + г а ^ ) / 2 + (1,8755^ - 0,204)(6^ /6 -1)

где I

0,733-0,5г-0,204(6^./6-1)

При 2 > О в формулах (4.5) и (4.6) принимается знак «минус», при 2 < О - знак «плюс».

Начинать расчет можно с формулы (4.5) и при невьшолнении 1-го условия использовать формулу (4.6).

	Значение	определяется по формуле
	М..,. = Л	, , {0,4526(1-^)^ +[г^^З +(^-б:)^а: + (^ -б ;)^ а :, +
		(4.7)
		+ (l- ^ - 6 J ^ a J /(l- ^ ) + m„Л,
где	- относительный момент усилий в растянутых свесах
	относительно нейтральной оси, равный;

при 25/ < -1(1 - ^) т, = а„Х1 - ^ - 5 /);

при 25^ >1(1-^) т„„=а„Д1-^-5^)-[25^-7/15(1-^)]"(6^/6-1)/2.

Для предварительно напряженных элементов при расчетах по 2-й группе предельных состояний усилие обжатия Р учитывается как внешняя сила, поскольку при таких расчетах напряжение в напря­ гаемой арматуре не должно достигать предела текучести (физиче­

214

ского или условного). Следовательно, уравнение равновесия сил бу­ дет иметь вид

N•*’сж- N•‘VpacT+’ Р•

Для прямоугольных сечений это уравнение преобразуется в уравнение, аналогичное уравнению (4.2), с добавлением в правую часть Р{к - х), и тогда формула для ^ = х/к приобретает вид

Ç =	о,7 33 -0,5г	(4.8)
V		^ ^

гдс2 Q > ™ -K a,+ a: + ;;) /2 . 0,733-0,5г

о= ——— - относительное значение усилия обжатия.

Для сечения с полками в сжатой и растянутой зонах формулы (4.5) и (4.6) корректируются аналогичным образом; в числитель зна­ чения Z добавляется 0,5р, а в числитель 2-го члена подкоренного выражения - р.

Значение Маге определяется по формулам (4.4) и (4.7) с добавле­ нием момента усилия обжатия относительно нейтральной оси Ре^р (рис. 4.2). Направление этого момента должно совпадать с направле­ нием момента внутренних сил. В противном случае момент Ре^р уменьшает значение М^гс-

Для предварительно напряженных элементов при действии мо­ мента Mere высота растянутой зоны существенно уменьшается, а вы­ сота сжатой зоны увеличивается по сравнению с ненапрягаемыми

элементами. Поэтому максимальная	деформация бетона сжатию
£* может превысить значение Sbi.red =	ISxlO'"*, и, следовательно, для

части сжатой зоны бетона следует принимать напряжение, равное Кь„ и меньшее, чем соответствующее упругому расчету.

Граничное значение высоты сжатой зоны в этом случае опреде­ ляется из уравнения

^b\,red ^6/2"

h - x

откуда = X = ---------------/г = 0,909/г.

^ h \,red ^ Ь П

215

Достижение граничной высоты сжатой зоны примерно соответ­ ствует усилию обжатия, равному

= 0,55Rb,Jfih+{b't-b)h',+

Таким образом, если значение определенное по формулам (4.2), (4.4) и (4.5) (с учетом Р), окажется более 0,909, соответствую­ щее значение М^гс, как указано выше, будет неоправданно завышено. Однако эта погрешность не имеет большого значения, поскольку величина Mere в значительной степени в этом случае определяется значением Р, ширина раскрытия трещин, как правило, невелика, а жесткость элемента близка к жесткости, соответствующей отсутст­ вию трещин. Тем не менее при проектировании не рекомендуется существенное завышение значения Р над Ргр-

В пособиях [3] и [4] предложен упрощенный способ определе­ ния значения Ме,^, основанный на определении краевых растягиваю­ щих напряжений бетона как для упругого материала. Согласно из­ вестной формуле сопротивления материалов это напряжение равно

"rerf ^red

где Wred и Ared - момент сопротивления и площадь приведенного се­ чения элемента при коэффициенте приведения ар­ матуры к бетону а = EJEb, при этом момент сопро­ тивления определяется для нижнего растянутого волокна;

- эксцентриситет усилия обжатия Р относительно центра тя­ жести такого приведенного сечения.

Принимая М = Merc и ст*, = Яы.п, получаем

	(4.10)
где г/ =	/ А^^ - расстояние от центра тяжести сечения до наи­

более удаленной от растянутой грани верхней ядровой точки.

Такой способ определения Mere при Р < Р^р дает заведомый запас при расчетах по 2-му предельному состоянию, поэтому он принима­ ется как предварительный.

216

в случае невыполнения требований соответствующего расчета в пособиях [3] и [4] рекомендуется скорректировать значение пу­ тем умножения его на коэффициент у, зависящий от отношений

Ьу /Ь, йу / к, bJ !Ь, И и приведенный в табл. 4.1 указанных

пособий. Такой подход был применен во всех пособиях и руково­ дствах предыдущих изданий.

Однако детальное сопоставление расчетов по неупругой дефор­ мационной модели и предложенным способам показало, что этот коэффициент у весьма неточен, поскольку не отражает влияния мно­ гих других факторов, в частности процента армирования, класса бе­ тона, степени обжатия, хотя в большинстве случаев и дает некото­ рый запас.

Если же геометрические характеристики сечения определять при коэффициенте приведения арматуры к бетону, равном а == Е.Ш,,,,,,,

то коэффициент, равный у =— —	—Р(с	г )	- момент из
	^	(где

расчета по деформационной модели), будет в меньшей степени зави­ сеть от указанных факторов и его во всех случаях можно принимать равным; при Ь/Ь < 2 - 1,15; в прочих случаях - 1,2.

В стадии изготовления, транспортирования и монтажа предвари­ тельно напряженных элементов в результате совместного действия эксцентрично приложенного усилия обжатия Р и усилия от собст­ венного веса в верхней зоне элемента возникают растягивающие на­ пряжения и могут образоваться трещины. Для выявления необходи­ мости расчета по раскрытию трещин в этой зоне и для самого такого расчета сечения с максимальным растяжением по верхней грани его следует проверить по образованию трещин. Эти сечения обычно располагаются в местах строповки элемента (монтажные петли, от­ верстия для строповки и т.п.). В этом случае учитывается момент, растягивающий верхнюю зону и равный М= да/2, где а - расстояние от места строповки до торца, д ~ нормативная нагрузка от собствен­ ного веса элемента с учетом коэффициента динамичности 1,4. В процессе транспортировки элемента обычно учитывают больший коэффициент динамичности - 1,6, но при этом за «а» следует при­ нимать расстояние от торца до мест подкладок. Кроме того, при на­ прягаемой арматуре без анкеров следует учитывать, что усилие об­ жатия в пределах длины передачи напряжений 1^ (см. гл. 5) линейно уменьшается к торцу до нуля, т.е. при а < I,, усилие обжатия следует принимать равным РаДр. Но такой случай, как правило, не является

217

расчетным, и тогда расчетное сечение принимается на расстоянии 1р от торца при учете полного усилия обжатия Р и момента от собст­ венного веса в соответствии с эпюрой М нарис. 4.3.

м

м

Рис. 4.3. К расчету предварительно напряженного элемента

вдоэксплуатационной стадии:

а- расположение расчетного сечения 1-1 при а > 1^, б - расположение расчетного сечения 1-1 при а < I;,

М- расчетный момент; 1 - монтажная петля

Расчет по образованию трещин в этой стадии в общем случае производится также на основе нелинейной деформационной модели. При этом сопротивление бетона растяжению Кы_„ принимается по классу бетона, численно равному передаточной прочности бетона Rhp, а усилие обжатия Р определяется с учетом только первых потерь напряжений.

Отличие такого расчета от вышеприведенного заключается в том, что сжатая и растянутая грани меняются местами, а направле­ ние внешнего момента М совпадает с направлением момента от уси­ лия обжатия Реор. Поэтому все формулы (4.3), (4.5), (4,6) для опреде­ ления ^ остаются без изменений при сохранении смысла величин Jif и Уf как размеров полки сжатой (т.е. нижней) зоны и величин hf и bf как размеров полки растянутой (т.е. верхней) зоны. Значения М„, определенные по формулам (4.4) и (4.7), уменьшаются на значение Pcq^. Е с л и в результате значение М« оказывается отрицательным, это означает, что трещины в верхней зоне образуются от действия толь­ ко одного усилия обжатия.

Упрощенное определение момента М,^ производится по формуле

М г с = уКы.пWred - Р{ео - Г я ) ,

( 4 . 1 1 )

где Wred- момент сопротивления приведенного сечения для верхней растянутой грани;

218

Гя - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до нижней ядровой точки.

Коэффициент у можно принимать так же, как при расчете в ста­ дии эксплуатации, учитывая при этом новое расположение полок с размерами Ь^^тл hf, Ь,,

Характеристики приведенного сечения для упрощения расчета можно определять при том же коэффициенте приведения а, что и при расчете в стадии эксплуатации.

Определение момента образования трещин М,,, необходимо еще для элементов с малым процентом армирования, так как исчерпание несущей способности элементов покрытий или перекрытий может произойти одновременно с образованием трещин, и разрушение бу­ дет иметь хрупкий внезапный характер, что особенно опасно. В обычных случаях предельный по прочности момент М„/, сущест­ венно выше момента образования трещин Mere, в связи с чем разру­ шению предшествуют значительные трещины и деформации. Это позволяет при эксплуатации конструкций принять своевременные меры: снять нагрузку, провести необходимое усиление и т.п. Боль­ шие трещины и прогибы как бы сигнализируют о возможном обру­ шении. Если же Merc > Muu, такие сигналы отсутствуют. При образо­ вании трещин (т.е. когда внешний момент значительно превысил Mut, в результате случайных перегрузок) усилие, которое обычно вос­ принимается арматурой в трепщне, превысит несущую способность арматуры и произойдет хрупкое внезапное обрушение.

В связи с этим, как правило, указанные конструкции необходи­ мо проектировать так, чтобы М^и > Mere. Если выполнение этого ус­ ловия весьма экономически невьп'одно, то согласно СП 52-101-2003 площадь сечения продольной растянутой арматуры должна быть увеличена по сравнению с требуемой по прочности не менее чем на 15% или должна удовлетворять расчету по прочности на действие момента, равного Mere, т.е. предполагается, что превышение внешне­ го момента более чем на 15% момента, предельного по прочности, чрезвычайно маловероятно.

Значение Mere в этом случае определяется, как указано выше, т.е. при нормативных сопротивлениях бетона, а момент М^, - при рас­ четных сопротивлениях бетона и арматуры.

4.L2. Расчет внецентренно сжатых элементов

Во внецентренно сжатых элементах при первом случае сжатия (см. разд. 3.2.12), т.е. когда прочность сечения определяется прочно­

219

стью растянутой арматуры, возникают трещины, ширина которых может превысить допустимое значение. Поэтому при первом случае сжатия необходим расчет колонн или стоек по образованию трещин. Особенно это актуально при эксплуатащ1И конструкций в агрессив­ ных средах.

Расчет колонн (стоек) по образованию трещин также произво­ дится из условия (4.1), где М - момент от внешних нагрузок, полу­ ченных из статического расчета. Mere - момент внутренних сил перед образованием трещин относительно оси, проходящей через центр тяжести бетонного сечения.

При расчете с учетом нелинейной деформационной модели зна­ чение момента Mere, определенного относительно нейтральной оси, включает в себя момент внутренней продольной силы (равной внешней силе N), приложенной в центре тяжести, относительно ней­ тральной оси. Поэтому момент Merc, учитьшаемый в условии (4.1), также определяется относительно нейтральной оси с уменьшением на N{x - _Уц), где X - высота сжатой зоны бетона, - расстояние от центра тяжести до сжатой грани элемента (рис. 4.4).

М-Мсгс

Рис. 4.4. К определению момента образования трещин М„с для внецентренно сжатых элементов:

а - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений

Высота сжатой зоны элемента определяется так же, как для из­ гибаемых предварительно напряженных элементов с заменой усилия обжатия Р внешней силой N.

Поскольку внецентренно сжатые элементы чаще всего представ­ ляют собой колонны прямоугольного сечения с симметричной арма­

турой, преобразуем формулу (4.8) для таких сечений
^2	0,733 + а^. + И, где	Z = 0,733+ а^ +0,5и	(4.12)
п	0,733 -0,5г	0,733-0,5г

220

а момент Merc будет равен

= К.Ж|о,4526(1 - -ÿ +ri’/3 + a,[a-8,)4(l-^-8.)4_ _ „,5) | , (4 Д3)

N

где и-------- , г, а^, Ь, - см. формулу (4.2).

Эти формулы, как отмечено выше, применяются только при 8é< Eblred = 15x10“^. Определим граничное значение силы N, при ко­ торой допустимо пользоваться этими формулами.

Из условия равновесия продольных сил имеем

Rb„bx	*■^s^b\.red		п , , ,	- И „	h - x - a	^
^ ~ 7.			Ду ~ ^ht.nbih —х)———		7	А,..
2		X		15	И -х
Принимая X = х,-р = М ,1 и деля все члены н аRi„,„bh. получаем
= --------= — +		' - а .	1-5	11а,. =4,545г-0,0667 + 9а,.
R„^„bh	1,1	V	чИ	у

При N > n,pRhi,nbh эпюра напряжений сжатия бетона будет иметь трапециевидный характер. Однако в этом случае определяющей бу­ дет являться прочность сжатой зоны бетона, момент будет бли­ зок или превышать внешний момент, а ширина раскрытия трещин в случае их образования будет невелика.

Поэтому, если N > nrpRbt.nbh, расчет по образованию трещин можно не производить.

В пособии [4] предложен упрощенный способ определения зна­ чения Mere, аналогичный определению М,гс для предварительно на­ пряженных элементов с заменой значения P vl?lN vlпри ео = О, т.е.

+

(4.14)

В случае, если значения Wred и г« = WrJAr^d определять при коэф­ фициенте приведения а = E,ZbalRbi.n, коэффициент у для прямоуголь­ ных сечений можно принять равным 1,1.

Для прямоугольных сечений с симметричной арматурой значе­ ние W,edи A,edравны

= bh^ie + oAs{h - 2af!h\ A,^ = 6/z + 2оЛ,.

221

4.1.3. Расчет растянутых элементов

Расчет внецентренно растянутых элементов по образованию трещин также производится из условия (4.1), где М - момент от внешних нагрузок, полученный из статического расчета относитель­ но оси, проходящей через центр тяжести бетонного сеченоия. Mere - момент внутренних сил перед образованием трещин относительно той же оси.

Рассмотрим два случая расчета внецентренно растянутого эле­ мента.

1-й случай - когда действие продольной силы (с учетом при не­ обходимости усилия предварительного обжатия) вызывает образо­ вание в сечении двухзначной эпюры деформаций бетона {рис. 4.5);

а)

б)

в)

М=Мсге

Рис. 4.5. К определению момента образования трещин М„с для внецентренно растянутого по 1-му случаю элемента произвольного сечения:

а- схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений; 1- ось, проходящая через центр тяжести бетонного сечения

2-й случай - когда действие продольной силы вызьшает образова­ ние однозначной эпюры растягивающих деформаций бетона {рис. 4.6).

При 1-м случае растяжения образование трещин соответствует достижению в крайнем растянутом волокне бетона деформации &ьй 15x10'^. Такой расчет мало отличается от расчета изгибаемых и внецентренно сжатых элементов.

При вычислении высоты сжатой зоны х для прямоугольных, тавровых и двутавровых сечений можно воспользоваться формулами (4.3), (4.5) или (4.6), уменьшая числитель значения Z на 0,5«, а чис-

222

литель 2-го члена подкоренного выражения на и, где п =			N
			, при
			K .b h
наличии напрягаемой арматуры N заменяется на К-Р.
а)	б)	в)
А'з	Е,=Е2а	Е'а=Е2[1+(1-а)5]
			М =М сс

Рис. 4.6. К определению момента образования трещин М^к для внецентренно растянутых по 2-му случаю элементов:

а - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений; 1 - ось, проходящая через центр тяжести бетонного сечения

Момент образования трещин Mere также можно определять по формуле (4.4) или (4.7) (с добавлением при необходимости Реор), но поскольку такой момент предполагает расположение внутренней продольной силы (равной внешней силе N) на уровне нейтральной оси, момент учитываемый в условии (4.1), уменьшается на N {y^~x ), где 7 ц - расстояние от центра тяжести до сжатой грани

элемента {см. рис. 4.5).

Внецентренно растянутыми элементами чаще всего являются стенки емкостных сооружений (силосы, бункера), нижние пояса безраскосных ферм, растянутые ветви двухветвевых колонн и т.п., т.е. элементы прямоугольного сечения с симметричной арматурой. Приведем для таких сечений формулы определения X и М^гс-

Z"- 0,733 + а^. - п	(4.15)
0,7 3 3 -0 ,5 г ’

^	0,733 + a,-0,5w
где Z =	------- -—	-------,
	0,733	-0,5г

223

, (4.16)

1-^

где г. а„ 5, - см. разд. 4.1.1.

Границей между случаями растяжения является нулевое значе­ ние высоты сжатой зоны. Определим граничное значение продоль­ ной растягивающей силы для прямоугольного сечения, приравняв нулю значение ^ из формулы (4.15). В результате получаем

Л^.^=7?,,„Ь/г(0,733 + а.).

При 2-м случае растяжения (т.е. при N - Р > Д.р) образованию трещин соответствует достижение в наиболее растянутом волокне бетона деформации, равной

Вы,и11 ~ £*/2 ~ {^Ы2 ~ £бю)0^,

где а = 8]/82 < 1 - отношение деформаций бетона на противополож­ ных гранях элемента;

8йюпредельная деформация бетона при осевом растяжении элемента, равная при непродолжительном действии нагрузок 0 ,0 0 0 1 .

Учитывая, что Вьа = 15x10“^, имеем £ь1.ии ~ 15(1 - о/3)х10'^.

Сначала определяется значение а из решения уравнения равно­ весия продольных сил. Для произвольного сечения расчет ведется последовательными приближениями, подбирая такое значение а, при котором внутренняя продольная сила будет равна внешней, при этом учитьтается линейное изменение деформаций по сечению, а напряжения бетона соответствуют двухлинейной диаграмме Сь-Оь для растянутого бетон (см. рис. 4.6). Здесь следует заметить, что при а = 0,694 деформация бетона у минимально растянутой грани равна ел/1,гс^/ = 8x10“^, что соответствует напряжению т.е. при а >0,694 все сечение бетона следует считать равномерно растянутым, но на­ пряжения в арматуре, расположенной на разных уровнях, будут раз­ ными. Суммарное усилие в бетоне определяется численным интег­ рированием, аналогичным расчету изгибаемых элементов.

После подбора а можно определить значение как момент внутренних сил относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения.

224

Для прямоугольных сечений с симметричной арматурой значе­ ние а можно определить аналитически.

Уравнение равновесия продольных сил в относительных харак­ теристиках для такого, сечения, согласно рис. 4.6, имеет вид

е„а	-— +е„{а +(1-а)5]—^	— +
	2£„(1-а)	bh
	bh'
F , -15-10-' 4	^	а/3),
принимая а, = —--------------- о = —и подставляя е„ = 15(1 -
bh	h

после алгебраических преобразований получаем

„ ^ 1 - а / 3 - 1 5 ( [ а ( 1 - а / 3 ) / 4 Г - 4 / 1 5 ^ ( 1 - а /3 ) ( 1 - а )

Как видим, это уравнение 4-й степени, которое можно решить методом Ньютона (см. разд. 4.2.3). Но 1-й член этой формулы, пред­ ставляющий собой относительное значение усилия в бетоне, можно выразить в упрощенной формуле:

при а < 0,4 «6 = (11 + 8а)/15; при 0,4 < а < 0,6 Пь = 0,25а + 0,85; при а > 0,6 Пь = 1,0;

и тогда уравнение (4.17) превращается в три квадратных уравнения, решение которых имеет вид:

при а < 0,4
а = 0 ,8 / а ,+ 1 -^ (0 ,8 /а ,+ 1 ) -- (3 « - 2 ,2 )/а ,.+ 3 ;	(4.18)
при 0,4 < а < 0,6
а = 0,375 / а^. +1 - ^(0,375 / а^ +1)' - 3(п - 0,85) / а , + 3;	(4.19)
при а > 0,6
а =1 - ^ 1 - 3 ( п - а , - 1 ) / а , .	(4.20)

15 Заказ 40

225

Момент образования трепщн в этом случае определяется по формулам:

при а < 0,6

Krc=K,nbh^ 25(1- а )	+ a,(l-aXl-a/3)(0,5-5)L (4.21)
	35(1-а )

тдеА = 1 - В а ; В = 1,875(1 - а/3);

при а > 0,6
К	г с -аД 1 -а )(1 -а /3 )(0 ,5 -6 ).

При центральном растяжении расчет по образованию трещин производится из условия

(4.22)

где Nerc = К,гА + eb^EXAs + Р;

ХА, - площадь сечения всей продольной арматуры.

В пособии [3] предложен упрощенный способ определения зна­ чения Мего, аналогичный определению М^гс для внецентренно сжатых элементов, по формуле (4.14) с заменой знака перед Nr„ с «плюса» на «минус».

Если внецентренно растянутый элемент обжат напрягаемой ар­ матурой, то значение Mere увеличивается на Р(еор + г^).

При 1-м случае растяжения коэффициент у можно принимать как при расчете изгибаемых элементов.

При 2-м случае растяжения для прямоугольных сечений с сим­ метричной арматурой при коэффициенте приведения а = Е^£ьа1^ы.г,

коэффициент у можно принимать равным 1,15.
4,1.4. Примеры расчета
Проиллюстрируем	приведенные методы определения момента
образования трещин М^гс на примерах расчета.
Пример 4.1. Дано:	многопустотная	плита перекрьггия - по
рис. 4.7; бетон класса В20 {Кы,„ = 1,35 МПа,		= 15 МПа); продольная

226

арматура класса А800 площадью сечения = 565 мм^ (5012), усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь) Р = 200 кН.

а)	йг_159		б)
	Ь-	1460
				>	466
				л
					......................1- 1
		1ч, о			?! 1475
		■ГЧ	5012
					А»=565

Рис. 4.7. К примеру 4.1:

а - фактическое сечение плиты; б - эквивалентное сечение плиты

Расчет. Скзгласно рис. 4.7 имеем к = 220 мм, Ь = 466 мм,

Ъ ' = Ь ^ = 1475 мм,		/г| =			= 41 мм, а = 21 мм.
Определим значение М,гсШ основе деформационной модели.
Относительные характеристики:
	15	5		а	27	а	30	Д.	30	565
10Л^,„	= 1,11;		^	= - = — = 0,123;			= --------- ^=			= 0,122;
	10-1,35			Ь	220		'	Ьк	1,35 4 6 6 -2 2 0
а„	= а „ , =•	1475 - 466					5, = 5 ; = - ^		41
					41 = 0,404;				= -------- = 0,093;
	Ьк		466-220			^	^	2А	2 ■220
	Р =				200 ООО	= 1,445,		а > 0 .
		К^„Ьк			1,35-466-220

Определим относительную высоту сжатой зоны ^ по формуле (4.5) с учетом значения р:

^0,733 + (а, + га1, + р )/2 + а „ ,/2 _0,733 + (0,122 + 1,и -0,404 + 1,445)/2 + 0,404/2 _

0,733-0,5г		“	0,733-0,5-1,11
		1,741 + 0,202 = 10,914;
		0,178
^=г -	2	[0.733 + а Д1 -	8.) + гб^а^,, + р] + а,„ _
		0 ,7 3 3 - 0 ,5 -г

[0 ,733 + ОЛ22(1 - 0 ,123) +1,11 - 0 ,093 ■0 ,4 0 4 + 1 ,4 4 5 ] + 0 ,404 _

= 10,914-^10, 914^-

0,178

= 10,91410,914'- 2,327 + 0,404 = 0,727. 0,178

15*

227

Поскольку -^^(1-^) = ^ (1 -0 ,7 2 7 ) = 0,127 < =0,186, по­

вторно определим значение ^ по формуле (4.6), используя ранее вы­ численные без учета а„у числитель и знаменатель значения 2, а также числитель подкоренного выражения значения принимая

	1 = 1475/466- 1 =2,165,
25^ -	(1- О = 0,186 - 0,127 = 0,059.
^ 1,741 + (1,8755^-0 ,2 0 4 X 6 ^ /6 -1 )		1,741+ (1,875-0,093- 0 , 204)-2,165 _			^
0 ,1 7 8 -0 ,2 0 4 (6 /6 - 1 )		"	0,178-0,204-2,165	-	, < ,
	^2 2,327 + [3,755^(1 -		) - 0,204](6^ / 6- 1)	_
		0,178-0,204(6^ /6 - 1 )
	2,327+ (3,75-0,093-0,907- 0 , 204)2,165			^
= -6,36 + 0 , 3 6 ----------------------------------------------------------------------------		0,178-0,204-2,165		и , /2 5 .
Определяем значение Мг,. по формуле (4.7) с добавлением
Рео, = Р/г(1 - ^ - 5J = 200 ООО • 220(1 - 0,725 - 0,123) = 6,69 • 10'					Нмм.

Поскольку использовалась формула (4.6), значение т„у опреде­ ляем по формуле

"«„v = a„v(l - 4 - 0^) - [25J - 7 /15(1 - 4)]"(6^ / 6 -1 ) / 2 = 0,404(1 - 0,725 - 0,093) -

-0,059^ -2,165/2 = 0,070;

К п ^ K.nbh' {0,4526(1 - Ç)- + / 3 + (^ - + (1- ^- 5,)'а J / (1- ^) + m j +

+Ре^^ = 1,35 - 466 - 220' {0,4526(1 - 0,725)' + [1,11 • 0,725V 3 + (0,725 - 0,093)- • 1,11 • 0,404 +

+(1 - 0,725 - 0,123)' ■0,122] / (1- 0,725) + 0,07} + 6,69 • 10‘ = 45,6 • 10‘ Н • мм = 45,6 кН • м.

Определим значение упрощенным способом по формуле (4.10), вычисляя характеристики приведенного сечения при коэффи­ циенте приведения а = Es£bJRbi,„- Тогда можно использовать в каче­ стве приведенной относительной площади арматуры вычисленное значение = 0,122 и другие относительные характеристики.

228

Относительные характеристики приведенного сечения равны:

площадь	=1 +	+а, = 1 +0,404• 2+о,122 =1,93;
расстояние от центра тяжести до низа
7 = [0,5 +	+ а'Д1 - 5^) + а ,5 ,] /		= (0,5 + 0,404 • 0,093 + 0,404 • (1 - 0,093) +
		+0,122-0,123)/1,93 = 0,476;
момент инерции
^гес! = 1 /12 + (0,5 - ;^)Ч а„„(;; - 5 ^ ) 4 а;,Д1 -				- уУ + а ^ у ~ 5,)' -
= 0,0833 + (0,5 -	у ) Ч 0,404(>^ - 0,093)' + 0,404(1 - 0,093 -			у)' + 0,122{у - 0,123)' = 0,2334;

момент сопротивления относительно нижней растянутой грани

= іге, / - 0 ^ 2 3 3 4 /0 ,4 7 6 = 0,4903;

ядровое расстояние	= 0,4903 /1,93 = 0,2541.
Поскольку bJb = 1475/466 = 3,17 > 2,0, принимаем у = 1,2. Тогда
+ р { у - 5, + г,“)] = 1,35 • 466 • 220'[1,2 • 0,4903 +1,445(0,476 - 0,123 +
+0,2541)] = 44,6-10* Н-мм=	44,6 кН-м.

Расхождение по сравнению с «точным» способом расчета 2,1%.

Пример		4.2. Дано: железобетонная колонна сечением к = 500
мм,	Ь - 400	мм, а = а ' = 50 мм;	бетон класса В 15 (7?*,,„=1,1	МПа,
Кь„-	11 МПа); рабочая арматура		площадью сечения А, =	а ! =

~ 1232 мм^(2028); продольная сила, приложенная в центре тяжести

сечения, N ~ 500 кН.
Расчет. Определим				значение		на основе	деформационной
модели. Относительные характеристики:
		г = —		= ^	і — = 1,0;	8, = - = —	= 0,1;
		10Д5,„		10	1,1	А 500
30	А,	30	1232			N	500000	^
а = -----	— = —		----------- = 0,168;			и = --------- = -----------------= 2,273.
^	Ьк	1,1	400-500			К,,„Ьк	1,1-400-500

229

Поскольку

=4,545г - 0,0667 + 9а, =

=4,545 - 0,0667 + 9 ■0,168 = 5,99 >п = 2,273,

эпюра напряжений сжатия треугольная, и, следовательно, расчет ве­ дем по формулам (4.12) и (4.13):

^	0,733 + а^ +0,5й 0,733 + 0,168 + 0,5-2,273				^
	0,7 3 3 -0	,5г	0,733-0,5-1,0		’	’
4 = 2 - 1 2 - = 8 ,		7 4 5 -	8 , = 0 . 8 1			7 ;
V	0,733-0,5г		V	0,733-0,5-1,0

м,„ =«.,.М'{о,4526(1 -О» .,--е/3^а.[й-8.)Ч(1-^-5.)-1_„^^„^^^| ^

=1,1-400-500=(0.4526(1-0,817)Ч‘^ :”^^‘?’^ ^ ”-'^^<°’» ^ - ^!^^

1-0,817 -2,273(0,817-0,5)} = 84,28-10" Н-мм = 84,28 кН-м.

Определим значение М^гс упрощенным способом по формуле (4.14), вычисляя характеристики приведенного сечения при коэффи-

30

циенте приведения а =Е^- 8^,,, / „ = — = 27,27:

=ЬИЧб + оА^{к-2а)~ 1к =Ш - 500' /6 + 27,27• 1232(500-2• 50)' /500 =

=2,742-10’ мм^

=Ьк + 2аЛ, = 400x500 + 2x27,27x1232 = 267 193 мм^; Гя = W,JA,ed= 2,742x10^267 193 = 102,6 мм.

Принимаем у = 1,1. Тогда

М., =уЛь,„РГ,,^ + Л^Гя = 1,1x1,1x2,742x10^ + 500 000x102,6 =

=84,48x10^ Нмм = 84,48 кНм.

Разница с результатом по «точному» методу несущественная. Определим значение М^гс согласно пособию [3], принимая

230

а = Е/Еь = 2x10^2,4x10^ = 8,333 и у = 1,3:

Wreä = 400x500^/6 + 8,333x1232x400^/500 = 1,995x10^ мм^

Л«/ = 400x500 + 2x8,333x1232 = 220 533 мм^;

Гя = 1,995x10^220533 = 90,47 мм;

Мсге = 1,3x10^ + 500 000x90,47 = 73,76х10^Нмм = 73,76 кНм.

Разница с результатом по «точному» методу более существенная

(12,75% в «запас»).

Пример 4.3. Дано: связевая плита перекрытия с размерами сече­ ния (для половины сечения) по рис. 4.8; бетон класса В25 = = 1,55 МПа, Rb„ = 18,5 МПа), напрягаемая арматзфа класса А600 площадью сечения А, = 491 мм^; усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь) Р = 150 кН; максимальная растягивающая си­ ла, вызванная нормативной ветровой нагрузкой и приходящаяся на половину сечения плиты, = 50 кН; эта сила приложена к плите в местах ее приварки к закладным деталям ригеля, т.е. к нижней грани ребра.

Расчет. Определим значение на основе деформационной модели, используя формулы (4.5) и (4.7) с учетом Р lлN. Согласно

рис. 4.8 имеем: к ~ 300 мм; 6 = 70 мм; б/ = 722 мм; /г/ = 50 мм; Ьу= 85 мм; /г/= 90 мм; а = 45 мм.

Относительные характеристики равны:

231

г = - А ц_ = -1 !1 1 - = 1,194;

5

А

—

= 0,15; а , = —

=

------ 1

^

= 0,4525;

10Л„.„

10-1,55

’

*

300

^

Л,,.„

ЬЬ

1,55 70-300

^

^

7 ^ . 3 ^

^

’

’

-

1,^

8 ^

9 0

= 0,064;

^

, Л =

ЬЬ '

70-300

1 70-300

'

2Ь

= _ Л . = 0,0833;

6, = ^

= -

^

= 0,15; р =

- ^ =

1,55-70-300

= 4,608;

2-300

^

2к

2-300

Я„_„ЬИ

п =

ЛГ

=

50 000

= 1,536.

R ,,Jh 1,55-70-300

Относительную высоту сжатой зоны ^ определяем по формуле (4.5), учитывая значения р и п :

	^ _ 0,733 + (а, +га^„^ + р -п )1 2 -\га „ ^ 2 _
		_	о,733-0,5г
0,733+ (0,4525+ 1,194-1,552+ 4,608 -1,536)/2+ 0,032				_	^ ^ д.
		0,733-0,5-1,194		'	’
^=2 -	.	[0,733.'ГО	+ a ,( l - S J + rS^a'„+ p -n] + a„^		23-4'”
	Z	”■	0,733-0,5г
,2 [0,733+ 0,4525(1-015)+ 1,194-0,0833-1,552+ 4,608-1,536]+ 0,064 „
25 4 -----------------------------------------------------------------------------------------------			0,136		= и,64о4.

Определяем момент образования трещин относительно ней­ тральной оси по формуле (4.7) с учетом момента от усилия обжатия, равного

Ре,^ = Ph(l - ^- ÔJ = 150 ООО • 300(1- 0,6464 - 0,15) = 9,164 • 10' ; Нмм;

(0.4526(1 - ^ )'+		3+ (^ - s; )Val, + (1 - ^- 5 а J / (1 -	^) +
+а„„ (1 - ^- 5^ )}+	= 1,55• 70 - 300' {0,4526(1- 0,6464)' +[1,194• 0,6464'		/ 3+

+(0,6464 - 0,0833)' • 1,194 • 1,552 + (1 - 0,6464- 0,15)' • 0,4525] / (1 - 0,6464)+ +0,064(1- 0 ,6464- 0 ,15)}+ 9,164-10' =29,55-10" Нмм.

Поскольку внешний момент принимается относительно центра тяжести приведенного сечения, вычисленный момент Merc увеличи­ вается на (х - Уд), где уц - расстояние от центра тяжести приведен­ ного сечения до сжатой грани. Определим значение уц, используя относительные характеристики

232

>"„ = *	0,5+а;,8',+а„,(1-8/) + <х,(1-8,)
	---------- 7— --------	--------------- =
	1 + а „ , + а„^ + а^,
_ ,^0,5+ 1,552-0,0833+ 0,064(1- 0 ,15)+ 0,4525(1- 0 ,15)			^
— /7		----------------— =	0,348л.
	1 + 1,552+ 0,064 + 0,4525

Тогда

=29,55-10450 000-300(0,6464-0 ,348) = 34,02 10' Нмм = 34,02 кНм.

Определим значения М^гс упрощенным способом по формуле

M,,.e=yRыЛ..+RK+rJ-Nr^.

Определим характеристики приведенного сечения при коэффи­ циенте приведения а = Е^Вьа1Яы.п, используя вычисленные относи­ тельные характеристики и = 1 - у ^ к = 1 - 0,348 = 0,652:

= 1 + «„V + a'av + а, = 1 +1,552 + 0,064 + 0,4525 = 3,0685;

/;,, = 1 /12 + ( 7 - 0,5 )4 а1Д1- 5, - 7 ) 4 а„Д7 - 6, )Ч аД7 - 5 =

= 1 /12 + (0,652 - 0,5)' +1,552(1 - 0,0833 - 0,652)' + 0,064(0,652 - 0,15)' + +0,4525(0,652-0,15)4 2,4534;

= Кес! /у = 2,4534/0,652 = 0,53;			г, =	= 0,53/3,0685 = 0,1726;
		//г = 3;-5 =0,652-0,15 = 0,502.
Поскольку	=	0,3 > 0,15,	принимаем у = 1,2.

М^^=К,,^„Ьк\уу^^+р(е,/к + г^)-г1г^ = 1,55-70-300\1,2-0,53 +

+ 4,608(0,502 + 0,1726) -1,536 • 0,1726] = 33,98 • 10" кНмм.

Как видим, разница с результатом по «точному» методу несуще­ ственна.

Пример 4.4. Дано: размеры сечения нижнего пояса безраскосной фермы Ъ = 220 мм, к = 240 мм; а = 40 мм; бетон класса ВЗО (7?*„ = 22МПа, Кы.„^ 1,75 МПа); продольная напрягаемая арматура симметричная класса А800 площадью сечения А, = Л ^ =

233

763 мм^(3018); продольная растягивающая сила N = 600 кН; усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь) Р = 500 кН.

Расчет. Определим значение М^гс на основе деформационной модели по формулам (4.15)-(4.21). Относительные характеристики равны:

22	= 1,257;	а = 30	30	763 = 0,248;
10-1,75			bh 1,75 220-240
6^, = - = —	= 0,167;	« = N - P	(600-500)10' = 1,082.

^/г 240 R„„bh 1J5-220-240

Поскольку п = 1,082 > 0,733 + ав = 0,733 + 0,248 = 0,981, имеет место 2-й случай растяжения, т.е. все сечение считаем растянутым.

Определяем отношение напряжений на противоположных гра­ нях элемента а по формуле (4.18)

а= 0,8/а ^ 4 - 1 -^ (0,8/ а ,+ 1)^ - ( Зи - 2,2)/ а ^ .+3=0,8/0,248 + 1-

-^(0,8 / 0,248 +1)' - (3 • 1,082 - 2,2) / 0,248 + 3 = 0,147 < 0,4.

Принимаем а = 0,147 и значение Мс^ определяем по формуле (4.21)

В= 1,875(1 - а / 3) = 1,875(1-0,147 / 3) = 1,783;

Л= 1-^5а = 1-1,783'0,147 = 0,738;

	К г с =		0,5-	А	+ аД1-а)(1-а/ЗХ0,5-5)
		25(1-а )
				35(1- а )
	= 1,75• 220 - 240' {------ --------------			0,5-	0,738	+0,248(1-0,147)-(1-
					3-1,783(1-0,147)
		^2-1,783(1-0 ,147)
		-0,147/3X0,5-0,167)} = 2,837-10* Н-мм =2,837кН-м.
	Определим значение		упрощенным способом по формуле
		Mere =			+

принимая Y= 1,1, ео= 0,0, а характеристики приведенного сечения определим при коэффициенте приведения а = £.£j,2 /i?^,„, используя

вычисленные относительные характеристики:

234