V

(3.156)

где Згеа - статический момент части приведенного сечения, располо­ женной по одну сторону от оси, проходящей через центр тяжести сечения, относительно этой оси.

При подстановке формул для я формулу (3.155) можно получить формулу для определения поперечной силы Qcrc, соответ­ ствующей образованию наклонных трещин:

Q c r c - ^ b l „	д 1 + ---------.	(3.157)
^red	V RbAed

Значение Qb = Qcrc используется в условий прочности (3.154) только на участке, где М < Mere- При этом момент образования тре­ щин Mere определяют согласно разд. 4.1, принимая вместо Кы,„ Rbt,.^ усилие Р определяют с учетом коэффициента точности натяжения

Ъ = 0,9.

Следует обратить внимание на особенность работы сплошных широких плит. Согласно теории упругости в широких плитах не со­ храняется равномерность распределения касательных напряжений по всей ширине сечения. У свободных краев касательные напряже­ ния резко возрастают, а в середине, напротив, заметно уменьшаются по сравнению со значениями, полученными из формулы (3.156), та­ ким образом, что суммарная эпюра касательных напряжении по всему сечению отвечает поперечной силе Q. При этом с увеличением ширины плиты эта неравномерность касательных напряжений все более возрастает.

Чтобы воспринять этот всплеск касательных напряжений, у сво­ бодных краев плит следует устанавливать специальную поперечную арматуру. Однако, как правило, края широких плит имеют опоры или примыкающие балочные элементы, и в этом случае эту попе­ речную арматуру можно не устанавливать. Указанное уменьшение касательных напряжений может быть учтено увеличением значения Qb.mm’ Для Практических расчстов принято, что при ширине плиты Ь> 5 к я наличии боковых опор или закреплений значение Qb,ma ум­ ножается на коэффициент 1,25.

148

3.3.4.Практические методы расчета элементов, армированных хомутами без отгибов, на действие поперечной силы

При проверке условия (3.145) в общем случае задаются рядом значений с. При этом значения с принимаются не более Зйо, по­ скольку при с >Зйо значения б* и Qsw не меняются с ростом с, а по­ перечная сила с удалением от опоры (т.е. с увеличением с) уменьша­ ется.

При действии на элементы сосредоточенных сил значения с принимаются равными расстояниям от опоры до точек приложения этих сил, поскольку в этом случае учитываются поперечные силы без учета сил в конце наклонного сечения при максимальном сниже­ нии значения дь(рис. 3.40).

Однако при мощном поперечном армировании и достаточном удалении 1 -го груза от опоры невыгоднейшее значение с может быть меньше расстояния от опоры до 1-го груза. Это значение определя­ ется приравниванием нулю производной по с выражения для пре-

М

дельной поперечной силе на опоре 0 тах = —^ + 0,75^,,^с + ^с(т.е.

с

предполагается с <2ко)\

1Р2

I	г
^ 2 ______________ I	Рц I

;СУ! I II I

!СУ1

СУ

Рис. 3.40. Расположение расчетных наклонных сечений

при сосредоточенных силах:

1 - наклонное сечение, проверяемое на действие поперечной силы <21; 2 - то же силы 02

149

% ^ = - " ^ + 0.759,„ + 9с = 0;		е= С Ж З .	(3.158)
<к	с	\<^Л5ч„+д
Здесь Мь ^	\,5КьЬко', q - равномерно распределенная нагрузка
между опорой и 1 -м грузом, снижающая		поперечную силу в преде­
лах с.

Если полученное значение с больше 2Ло, то проверку прочности при этом с можно не производить.

При расчете элемента на действие равномерно распределенной нагрузки q невьп'однейшее значение с определяется приравниванием нулю производной по с выражения для предельной поперечной силе

на опоре;
	М	(3.159)
	— +
	с
Если предполагать, что это значение с меньше 2Ло, то, как пока-
зано выше,	I К
	с =^ -------------- , и тогда
Й - =	+9)./„	=2^МД0,75,,, +,). (3.160)

Если предположить, что с >2ко.

de	с~
итогда= M , ^ +0.75?„-2A, + ? ^ = 1,5?„A + 2Va^ .		(3.162)
Если с > 3ho, то Qi, = Qi,,min = OySRbtbho,
Ömax= l.SqsJiQ +0,5i?6Ä + 3hq,		(3.163)

Ha практике более часто определяющим (т.е. меньшим) является вьфажение ^тах, вычислсннос П О (3.162), при этом чем больше зна-

150 ©

чение q относительно тем вероятнее, что определяющей стано­ вится формула (3.160). Определим граничное значение нагрузки q, при котором определяющей становится формула (3.160). Для этого приравниваем друг к другу формулы (3.160) и (3.162)

27МД0,75?„. + 9 ) = 1,

После алгебраических преобразований этого равенства получаем граничное значение ^гр:

(3.164)

А М Х

Поскольку сначала рекомендуется определять значение с по фор­

муле (3.161), определим границу через выражение с = \ ^ ^ , т.е.

М

приняв q - —^ . Приравняв это значение формуле (3.164), получим

		к ь
Т.е. если с		---- , следует ^тах ОПрСДеЛЯТЬ ПО форМуле
V ^	1	-
	1

(3.160). Однако, если —^ > 2 , правая часть условия становится мень-

ше нуля, и тогда формально 0 тах следовало бы определять по формуле

(3.162), что противоречит общей тенденции. Поэтому при - ^ ^ > 2

независимо от Сгр^щах определяется всегда по формуле (3.160).

Как видим, во всех приведенных формулах учитывается разгру­ жающее влияние нагрузки q в пределах пролета среза на опорную поперечную силу. Однако при расчете междуэтажных перекрытий обычно имеют дело с эквивалентной равномерной нагрузкой, когда предполагают, что фактическая временная нагрузка может иметь произвольный характер, а эпюра моментов от такой нагрузки нигде

151

не превосходит эпюру М от принятой эквивалентной временной на­ грузки qv. При этом временная нагрузка может отсутствовать в пре­ делах приопорного участка длиной с, и тогда учет разгружающего влияния q неправомерен, но в этом случае снижается. Опреде­ лим, как снижается |0 п ,а х при самом неблагоприятном случае, т.е. ко­ гда временная нагрузка отсутствует по всей длине с, но изгибающие моменты в конце наклонного сечения от фактической и эквивалент­ ной временных нагрузок равны друг другу:

М , =Л^„ т.е.	=
откуда	- 0 ,5?,,с.

Отсюда видим, что минимальное уменьшение 0тах соответству­ ет учету разгружающего влияния половины эквивалентной нагрузки Очевидно, что разгружающее влияние постоянной нагрузки qa следует учитывать всегда. Таким образом, при расчете элементов на действие эквивалентной равномерно распределенной нагрузки q в

вышеприведенных формулах следует принимать

q= qx=qg + qЛ^

В целях учета условия (3.153) во всех случаях значение М/, сле­ дует принимать не более 1,5 ’ Aqsw' ко =

Выведем формулы для определения минимально допустимой интенсивности хомутов, выражаемой через qsw при действии на эле­ мент равномерно распределенной нагрузки. Вводим обозначение

2ь\ = 2у[М ^^, тогда согласно формулам (3.160) и (3.162) значения

qsw соответственно равны

О- -О -

З Ч |

=

(3.167)

1,5/2о

Определим условия пользования этими формулами без использова­ ния qsw^ Для этого приравниваем друг к другу формулы (3.166) и (3.167):

Q m ю ^ ~ Я ь [ _ б т а х ~ Я ы

ш ,

1,5к,

152

После алгебраических преобразований этого равенства получаем граничное значение

	о	,	«>тах ’
		К
т.е. если	2М
	следует пользоваться формулой (3.166), в
	к

противном случае формулой (3.167). Однако, если невыгоднейшее

КГ
значение с=	— - > Ъ \, значение qsw следует определять из форму-
V	Ч

лы (3.163), т.е.

1,5^0

Границей перехода на эту формулу служит значение Qь\, полу­ ченное из приравнивания друг другу формул (3.167) и (3.168) и рав­ ное Qb\ = КыЬко, т.е. если Qы< ЯыЬК, следует пользоваться форму­

лой (3.168).
В случае,		если полученное значение			не удовлетворяет усло­
вию	(3.153),	то,	как указано	вьппе, расчет		следует вести при
М ь=	\ ^ -	•/го'	= 6 ^,,,/го^ и	= 0	,	= 2 q ^X • Значение qs^

тогда вычисляется следующим образом.

Если предположить, что с > 3/го, значение qsw определяется из

решения уравнения
6п»,-9гЗ/?„=29,А+0Л5?„-2/!„=3,5?.Л;	„
?™=(е™/А»-39,)/3,5.
Если предположить, что 2/го < с <ЪЫ, то значение qs^v определя­
ется из уравнения
= 1 ,5 ?,А + 2 7 б ?„^ ^ ,;
\ 2
9 » . = 2 - . | 2 =	(3.170)

где

1,5

153

Чтобы не определять условие, какой из этих формул следует

пользоваться, проще определять	по обеим формулам, принимая
большее значение

При с < 2ко вероятность хрупкого разрушения мала и значение qswможно не уточнять.

При действии на элемент сосредоточенных сил, располагаемых на расстояниях с, от опоры, для каждого г-го наклонного сечения с

длиной проекции с, значение		определяется из условия прочности
	Qi = Qы + 0		,	(3.171)
где Qi -	поперечная сила	в месте приложения г-го груза;
Иы ~	“ поперечная	сила, воспринимаемая бетоном; со/ =
2 йо, но не более С/.
Отсюда д „ = ~ ^ .
	0,75сщ
Если полученное значение		не удовлетворяет условию (3.153),

то его следует определять из условия прочности, в котором ЯьФ за­ меняется на 4д^^, т.е. из условия

	с,
? =	/?о	®
6		! с. +0,75со,

На некотором расстоянии от опоры интенсивность хомутов можно уменьшить, например, увеличением шага хомутов. В этом случае следует также проверить наклонное сечение, заходящее в участок с меньшей интенсивностью хомутов, даже если с >Зко, при­ чем наиболее опасная наклонная трещина будет располагаться в конце участка длиной с, т.е. будет пересекать хомуты меньшей ин­ тенсивности по максимальной длине с ~ (1\- длина участка боль­ шей интенсивности хомутов,/шс. 3.41\ При этом, если с < 2Ио + 1\, трещина пересекает частично участок с меньшей интенсивностью

хомутов qxwг и частично с большей интенсивностью	Тогда уси­
лие, воспринимаемое хомутами, равно

154

		0?75^лу/СО ^(iswip	(3.172)
где	0 ,7 5 (^уц;1	Со 2 /|о» но не более с.

Рис. 3.41. К расчету наклонных сечений при изменении интенсивности хомутов

Если же с >2ко + /ь наклонная трещина пересекает только хому­ ты меньшей интенсивности, и тогда

(3.173)

При действии на элемент сосредоточенных сил длина участка элемента с интенсивностью определяется расстоянием с*, когда прочность наклонных сечений при с > С/ будет обеспечена при учете хомутов с интенсивностью qsw2i начинающейся на расстоянии С/ от опоры.

Определим длину участка с интенсивностью хомутов qsw\ при действии на элемент равномерно распределенной нагрузки.

Если предположить, что невьп'однейшее значение с < 2/?о + А и с < Ъко, то предельная поперечная сила на опоре выражается формулой

М	+ 0,75?„,с, - Д ? „ ( с - /|) + 9 ,с.
= —
С
Тогда /,	(ЗЛ74)

Определим невыгоднейшее значение с аналогично указанному выше, принимая с ~ 2ко:

155

^	= - ^	+ (9 >-А9 „ ) = 0;	с = 1 - ^ .		(3.175)
Если в	достаточно	редком случае	невыгоднейшее		значение
с<2Ао,тосо = си е „ =		М
		— + 0 ,7 5 9 „ ,с - Д 5г^(с-/,) + ?|С. Тогда
		С
	2+(^1+0,75^,.^,) = 0 ;		с = .	+0,75gr_,,viv2	(3.176)

Переход к использованию формулы (3.176) должен происходить при выполнении условия, аналогичного условию перехода (3,165) для элементов с постоянной интенсивностью хомутов, т.е. при

1 _ М £

R,b

Если предположить, что с > 2h +1\ и с >3ho, то невыгоднейшая наклонная трещина должна точно размещаться между участком дли­ ной Ii и концом наклонного сечения, проходя, таким образом, только участок с интенсивностью q^wi^ Тогда невыгоднейшее значение с равно // +2ho >3/?o. Действительно, при большем значении с значения Qb = Qkmin и Qsw = 1 ,5 ^5w2^o остаются неизменными, а расчетное зна­ чение Q уменьшится; при уменьшении с на Ас Qsw увеличивается на qswiAc. а gmax увсличивастся на q\Ac, но поскольку в этом случае все­ гда qswi > Яи несущая способность сечения увеличивается.

Предельная поперечная сила на опоре в этом случае равна

бтах “ Qb,mm + ^\(Jl 2Hq) + 1,5 qswlho-

Откуда

J	^ m a x СЙ& min	л у	i	/"-j -i ' т - г \
/, =	------------ ^--------------------	2Ло,	нонеменее«о.	(3.177)

156

границу применимости этой формулы можно найти приравни­ ванием формул (3.173) и (3.176) при с = ЗЛоПосле алгебраических преобразований полученное равенство приобретает вид

= Чи
т.е. формулу (3.177) следует применять при	При этом, если

не выполняется условие (3.153) при дх^ = gsw2, в формуле (3.177) сле­ дует скорректировать значение Qb,mm так, чтобы это условие превра­ тилось в равенство, т.е. принять Qb,mn = 2 /?о^5и-2, а поскольку выраже­ ние (Qb,шn + 1 ,5 ^5„;2/го) представляет собой предельную поперечную силу в наклонном сечении, то это выражение не должно быть менее предельной поперечной силы, воспринимаемой одним бетоном, т.е. не менее нескорректированного значения Qb,mm^

Элементы переменной высоты сечения. Как известно, для элементов с переменной высотой сечения в качестве рабочей высоты применяется наибольшее значение йо в пределах рассматриваемого наклонного сечения, поэтому для таких элементов значение /?о ста­ новится зависящим от значения с.

Рассмотрим балку или плиту с высотой, увеличивающейся от опоры к пролету, нагруженную равномерно распределенной нагруз­ кой. Обозначим рабочую высоту на опоре через /гоь Тогда расчетное значение рабочей высоты для сечения в конце пролета среза будет

Ы = ко1+с tgp,

где р - угол между растянутой и сжатой гранями балки. Предварительно условно примем, что коэффициент ф„ для опор­

ного сечения и для сечения в конце пролета среза равны друг другу. Тогда расчетное значение Мь можно выразить через это же значение Мь, но вычисленное для опорного сечения (без учета возможного уширения стенки). Мы’.

1+

при этом усилие Qь будет равно

157

^	м . , ^ м., „ м.,

Qb =— ^ =— ^ +2 - ^ tg P +- ^ tg 'p .c .

с

с

Aqj

/^1

Определим невыгоднейшее значение с при расчете элемента на действие равномерно распределенной нагрузки путем приравнива­ ния нулю производной по с выражения для предельной поперечной силы на опоре;

Если предположить, что значение с меньше 2/?о = 2йо1 + 2с tgp,

т.е. Со = с, то
	^Qmax _		't g p ''
	do	с	V ^01 J
	с -		М ь\		(3.179)
		VM.jtg p//7oi+0,75^,.^ + ^j
После подстановки (3.179) в (3.178) получаем
	М .			tsB
б ш а х		^ ь \	+ Я\	+	(3.180)
		К\		h01
Если предположить, что значение с > 2ко, т.е. Со = 2ко\ + 2tgp • с, то
6 ™.=—	+2M j,|£+M „ tgp		с + 0,759,,. • 2Ло1+ О- 759„, • 2tgP• с+ ^,с;		(3.181)
	dQ ^._		tgP
	qc	С	\К \ J

158

с =

(3.182)

При этом значение с не должно превысить максимальное значе­ ние Стах= Зйо, НО ПОСКОЛЬКУ йо зависит от с, значение Стах получастся

из уравнения Стах = 3 (/го1 + ^^maxtg|3)Cmax ^ ЗЛо1/(1 “ Зtgp).

После подстановки (3.182) в (3.178) получаем

М .	+ 1,5 ?„Л .,+ 2 М ,,|£ . (3.183)
V	"01

Определим границу областей применения формул (3.180) и (3.183), приравнивая их друг другу:

Ш.. М „ ^ + 0,75«„ + «, - .М .

^"01

После алгебраических преобразований этого равенства получаем

А)|

Определим эту границу через значение с из формулы (3.182), выразив его через А\

Приравняв это ^ формуле (3.184), получаем

^гр

(3.185)

1-21вР -

К Ь

159

т.е. если значение с из формулы (3.179) меньше---------------------, то

К Ь

бтах следует опредслять ПО формулс (3.180), ссли иначе, по формуле

(3.183). при этом, если ^ ^ (^ 6/^) > 2(1 - 2tgp), т.е. когда знаменатель формулы (3.185) меньше нуля, ^„,ах определяется по формуле

(3.180).

при уменьшении интенсивности хомутов с у опоры до qsw2 в пролете прочность наклонного сечения следует также проверить при значениях с, превышающих /1 - длину участка элемента с интенсив­ ностью хомутов определяя значение Qsw по формуле (3.172) ли­ бо по (3.173) в зависимости от выполнения или невыполнения усло­ вия с < 2ко + 1\. Поскольку в этом условии за /го принимается /го = /го1 + {к +2ко)Хф, т.е. /г» = +(/го1 + /11Ер) / ( 1 - 2 tgp), то это условие преобразуется в вид с < (2 /го1 + 2 /ltgp)/(l- 2 tgp) + /1 = (2 /го1 + /1)/ / ( l - 2 tgP).

Для консолей высотой, линейно увеличивающейся от свободно­ го конца к опоре {рис. 3.42), при действии сосредоточенных сил прочность проверяют, задаваясь наклонными сечениями от мест приложения грузов в растянутой зоне, при этом значения с опреде­ ляются по формуле (3.179) при = О и принимаются не более рас­ стояния от груза до опоры, а за /го1 и Q принимают соответственно рабочую высоту и поперечную силу в начале сечения в растянутой зоне. Если значение с оказывается больше 2/го = 2 /?01/(1 - 2tgp), то Со < с, и большее значение с может оказаться более невыгодным, по­ этому в этом случае следует дополнительно проверить наклонное сечение, проведенное до опоры.

при действии на консоль равномерно распределенной нагрузки, линейно увеличивающейся к опоре, расчетное наклонное сечение всегда заканчивается в сжатой зоне опорного сечения, поскольку в этом случае учитьтаемая поперечная сила будет максимальной. По­ этому за рабочую высоту сечения принимается значение /го в опор­ ном сечении и, следовательно, расчет ведется как для элемента с по­ стоянной высотой сечения.

160

Рис. 3.42. Консоль высотой, уменьшающейся от опоры

ксвободному концу

3.3.5.Расчет элементов, армированных отогнутыми стержнями,

на действие поперечной силы

Для рационального использования продольной арматуры вяза­ ных каркасов неразрезных балок ее отгибают из растянутой зоны в сжатую. Эти отогнутые стержни можно учесть при расчете наклон­ ных сечений. Отгибы, пересеченные наклонной трещиной, увеличи­ вают несущую способность наклонного сечения на величину

10 4 ,гис

7?ду1,8Ш0,

(3.186)

где А^,тс,1 — площадь сечения отгибов, расположенных в одной на­ клонной плоскости г; 0 - угол наклона отгибов к продольной оси элементов.

Порядок расчета следующий. Сначала проверяют наклонные се­ чения со значениями с, равными расстоянию от опоры до концов плоскости отгибов, начиная со второй (т.е. с = С] и с = с2,рис. 3.43). При этом учитываются отгибы, пересекаемые наклонной трещиной с длиной проекции 2 йо < с, начинающейся от конца наклонного сече­ ния. Затем проверяют наклонное сечение, пересекающее последнюю плоскость отгибов, располагая конец сечения на расстоянии со = 2 йо

П Заказ 40

161

от начала предпоследней плоскости отгибов (с'= сз, см. рис. 3.43). И тогда в расчете учитывается только последняя плоскость отгиба.

Рис. 3.43. Расчетные наклонные сечення для элементов, армированных отгибами (1-4). Хомуты условно не показаны

Достаточность удаления от опоры последней плоскости отгибов проверяется расчетом наклонного сечения без учета отгибов при расположении наклонной трещины за последней плоскостью отги­ бов, т.е. наклонное сечение заканчивается на расстоянии со = 2 йо от начала последней плоскости отгибов (с = С4, см. рис. 3.43).

При проверке прочности наклонного сечения не следует забы­ вать, что при с > Зйо принимается = бь.тт.

При действии на элемент сосредоточенных сил проверяются также наклонные сечения, проведенные от опоры до мест приложе­ ния этих сил.

предельное расстояние между опорой и концом первого отгиба, а также между началом предыдущего и концом последующего отги­ ба (^2, см. рис. 3.43) принимается равным предельно допустимому шагу хомутов, т.е. 5тах =

3.3.6. Практические методы расчета элементов без поперечной арматуры на действие поперечной силы

Рассмотрим вначале изгибаемые элементы без предварительного напряжения арматуры, т.е. когда ф„ = 0. Из сопоставления правой

части условия (3.154)

и минимального ее значения

162

0 6 ,min= 0,SRbtbhQ получим, что при любом значении с, превышающем (1,5/0,5)/го = Зйо, предельная поперечная сила неизменна и равна ми­ нимальному значению и, следовательно, расчетное значение с не

должно превышать Стах = З/їоСлСДуСТ ОТМСТИТЬ, ЧТО ЄСЛИ ПОПЄрЄЧ-

ная сила близка к предельному ее значению, то на участке длиной с непременно будут нормальные трещины. Действительно, даже при отсутствии поперечной нагрузки в пределах с момент в балке на рас­ стоянии с от опоры будет равным

м = QmaxC = l,5RbtbhQ,

что значительно превышает момент трещинообразования Мск, опре­ деляемый согласно разд. 4.1. Следовательно, минимальное значение поперечной силы, соответствующее образованию наклонных трещин в сплошном элементе, здесь определять не следует.

Из сопоставления правой части условия (3.154) и максимального его значения 2,5Rbfbho можно сделать вывод, что при любом значе­ нии с должно выполняться условие

Qr^,<2,5RbMo. (3.187)

Определим невьп'однейшее значение с. При действии на элемент сосредоточенных сил, очевидно, невьп’однейшие наклонные сечения должны быть направлены от опоры к местам приложения этих сил, поскольку только при таких положениях наклонных сечений для ка­ ждого постоянного участка эпюры Q значение с максимально и, сле­ довательно, значение Qb минимально.

При действии на элемент равномерно распределенной нагрузки q невьп’однейшее значение с находим, приравняв нулю производную по с выражения предельной поперечной силы на опоре:

(3.188)

dc с

Отсюда с = ^,5R^fbhQ / q .

(3.189)

11*

163

Подставив это значение с в формулу (3.188), получим

т-е. 2^^ =^1бЯ,,Ьк^д.

Но если с > Зко, следует принимать с = Зйо и после подстановки этого с в формулу (3.188) получим

бтах = 0,5Кь,Ько +3к(,д.

Приравняв значения с из формулы (3.189) его максимальному значению Зйо, можно получить граничное значение

т.е. если	=^6К„Ьк^д-	(3.190)
если	6 / 6 , д ^= 0 ,5 Я ^ ,Ь \ +3 \д .	(3.191)

Если равномерно распределенная нагрузка д представляет собой эквивалентную по моменту нагрузку, значение д следует, согласно разд. 3.3.4, уменьшить на 0,5 временной нагрузки.

Если элемент представляет собой сплошную плиту без свобод­ ных боковых краев шириной Ь >5к, то исходя из разд. 3.3.3 Оь.ттп = 1,25 • 0,5Кь,Ьк = 0,625Яь,Ько. Тогда максимальное значение с равно Стах = (1,5/0,625)^0 = 2 ,4 ^0, а соответствующая предельная по­ перечная сила на опоре равна

бтах = 0,625Яь,Ько + 2,4^0^.

граничное значение д, при превышении которого следует поль­ зоваться формулой (3.190), также получаем из равенства

_ 2 4Л те .

Если принять для свободно опертой балки значение 0тах = ^//2 и приравнять его к предельному значению по формуле (3.190), то

164

можно из полученного равенства определить предельную попереч­ ную нагрузку q\

=д = 24Я^ЬИ^/1\

аподставив это значение д в формулу (3.189), получим

І24R,,bhl

4 ’

т.е. для свободно лежащей балки (плиты), нагруженной сплошной равномерно распределенной нагрузкой, невыгоднейшее значение с всегда равно четверти пролета, но не более Стах. То же можно сказать и о неразрезной балке с равными или близкими опорными момента­ ми. Аналогичные выкладки для консоли дают невыгоднейшее значе­ ние с, равное половине вылета консоли.

Если сплошная нагрузка линейно изменяется, то вычисление не­ выгоднейшего значения с связано с решением кубического уравне­ ния, что делает расчет неоправданно трудоемким. Для упрощения расчета в этом случае рекомендуется использовать формулу (3.189), принимая за д среднее значение нагрузки в пределах приопорного участка элемента длиной 1/4 для балки или //2 для консоли, но не бо­ лее Стах. Такой расчст, как правило, приводит к незначительной по­ грешности «не в запас» (1-3%), если нагрузка в пределах длины с изменяется не более чем в 2 раза.

Если элемент имеет переменную по длине высоту сечения, то в условии (3.153) следует принимать за ко среднее значение рабочей высоты в пределах наклонного сечения. Тогда при линейнрм изме­ нении высоты сечения расчетное значение ко будет равно

ко = ко\ ± 0,5cxtgp,

где ко\ ” рабочая высота в опорном сечении; р - угол между сжатой и растянутой гранями.

Максимальное значение с определим из уравнения

С™.=3/^,=ЗА„,Т1,5с_-1вр,	(3.192)
	1±1,51§р

165

Для сплошных плит без свободных боковых краев шириной

Ь > 5к, согласно указанному выше,	= 2,АК ~
	l±l,5tg|3

Для элементов с высотой сечения, увеличивающейся с увеличе­ нием поперечной силы, и нагруженных равномерно распределенной нагрузкой предельная поперечная сила на опоре равна

Игаах -- ----------------------

+ д с - ------------------------------------------------------

+ ^ С ,

где М„ =\,5К,,ЬЬ^,.

Определим невыгоднейшее значение с, приравняв к нулю про­ изводную бгаах:

1<1с =- ■+

ас

Отсюда

М .	(3.193)
с =
+ д	\,5Кь,Ь
4

но не более Стах- Если сплошная нагрузка линейно изменяется, то расчет произ­

водится по общему условию (3.153) с использованием формулы (3.193), в которой значение д можно определить так же, как и для элемента с постоянной высотой сечения, т.е. принимать равным среднему значению нагрузки в пределах приопорного участка дли­ ной //4 для балки или И2 для консоли, но не более Стах, определенно­ му по формуле (3.192).

Для предварительно напряженных элементов сопоставление правой части условия (3.154) и ее минимального значения также

приводит к значению

0.5ф,

Для этих элементов на приопорном участке длиной 3/?о, как пра­ вило, нормальные трещины не образуются, поэтому за минимальное

166

значение предельной поперечной силы можно принимать силу, со­ ответствующую образованию наклонных трещин Qcrc и определяе­ мую по формуле (3.157). Найдем невыгоднейшее значение с для уча­ стка без нормальных трещин, приравнивая правую часть условия

( З Л 5 4 Ж е „ : М 5 = ^ = а „ ,

	С
откуда с =	l,5ф„^?^„Ьйo
	"
	Q crc

Очевидно, что если Qcrc > 2,5Rbfbho, определяющим будет усло­ вие прочности Qmax ^ 2,5КыЬк().

Для участка с нормальными трещинами за невыгоднейшее зна­ чение с принимается длина приопорного участка 1\, где не образуют­ ся нормальные трещины, т.е. где выполняется условие М < Mere- Для свободно опертых балок с равномерно распределенной нагрузкой

При этом принимается Qb = Qb.mm - 0,5(pnRbtbho. Если h (что бывает крайне редко), то Qb = \,5ц>гЛыЬК^/11.

3.3.7. Расчет железобетонных элементов по наклонным сечениям на действие изгибающего момента

Расчетное условие. Расчет железобетонных элементов по на­ клонным сечениям на действие изгибающего момента производится из условия

М <М „,

(3.194)

где М - момент от внешней нагрузки, действующий в рассматривае­ мом наклонном сечении; - внутренний момент, воспринимаемый арматурой в наклонном сечении.

Моменты М и Мхи определяются относительно точки приложе­ ния равнодействующей усилий в сжатой зоне наклонного сечения. Наклонное сечение представляется в виде ломаной поверхности с наклонной к продольной оси растянутой зоной, где проходит на­ клонная трещина, и нормальной к продольной оси сжатой зоной над ее вершиной.

Момент в наклонном сечении. Рассматривается система внеш­ них и внутренних сил, приложенных к блоку железобетонного эле­

167

мента, отделенному наклонным сечением, поэтому и момент М от внешней нагрузки, действующий в наклонном сечении, определяется как суммарная величина (или равнодействующая) момента всех сил от внешней нагрузки, приложенной к рассматриваемому блоку, от­ носительно рассматриваемой точки (точки приложения равнодейст­ вующей усилий в сжатой зоне наклонного сечения Нь, рис. 3.44). Ес­ ли нагрузка приложена по верхней грани свободно опертой бажи, то расчетный момент в наклонном сечении находится как

где у и У;- расстояния от равнодействующих усилий Р и Р; до конца наклонного сечения, т.е., по существу, он представляет собой мо­ мент в нормальном сечении, проходящем через конец наклонного сечения. При этом возможное отсутствие временной нагрузки в пре­ делах наклонного сечения не учитывается.

Рис. 3.44. Определение расчетного значения момента М при расчете наклонного сечения:

а - для свободно опертой балки; б - для консоли

Когда изгибающий момент уменьшается от опоры к пролету (консоли, опорные участки неразрезных балок) и нагрузка, прило­ женная к грани элемента, действует в его сторону, расчетный мо­ мент определяется без учета нагрузки, расположенной в пределах наклонного сечения, т.е.

м ^ м х + д^с,

где М1 и 0 1 - момент и поперечная сила в нормальном сечении, про­ ходящем через конец наклонного; с - длина проекции наклонного сечения на продольную ось элемента.

168

Во всех случаях, когда нагрузка приложена в пределах высоты сечения, допускается расчетный момент в наклонном сечении вы­ числять согласно указанному выше, если поперечная арматура, ус­ тановленная на действие отрыва, не учитывается в данном расчете.

Момент Msu в наклонном сечении определяется как суммарная величина моментов, воспринимаемых продольной арматурой М,, поперечной арматурой Мс^ и отгибами пересекающими растя­ нутую зону наклонного сечения, относительно точки приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне {рис. 3.45):

V

Rb

V/

Г

7777777777	---------------------------------	1-------------------------------
/	I	к___ ________
/
	I	___ _________
	)■
	___ ___________
	__С------------------	и

Рис. 3.45. Расчетная схема усилий в наклонном сечении при расчете его на действие изгибающего момента

М^у М^ + Mgy^, + М^1„(..

(3.195)

Момент М^, воспринимаемый продольной арматурой, определя­ ется по формуле

(3.196)

Момент Ms^v, воспринимаемый поперечными стержнями, - по формуле

■'^l|R■SwA■s\^s

(3.197)

169

или, рассматривая поперечную арматуру как непрерывно распреде­

ленную по длине элемента с интенсивностью	по формуле
=	(3.198)

где с - длина проекции наклонного сечения на продольную ось эле­ мента.

Момент Ms,inc■, воспринимаемый отгибами, вычисляется по формуле

Кз^Л/^5,ІП(^3,ІПС.		(3.199)
в формулах (3.196),(3.197) и (3.199) значения 2^,	и	пред­
ставляют собой расстояния от равнодействующих усилий в		соответ­
ствующей арматуре - продольной Л^^., поперечной	и отогнутой
Ns,mc ДО равнодействующей усилий в сжатой зоне Кь.

Высота сжатой зоны наклонного сечения определяется из усло­ вия равновесия всех внешних и внутренних продольных сил, дейст­ вующих на блок железобетонного элемента, отделенного наклонным сечением. При наличии отгибов учитывается продольная состав­ ляющая усилия в отгибах. В общем случае уравнение имеет вид

М = К ь - К ,- И^,іпсСО50.

(3.200)

Для изгибаемых элементов с поперечными стержнями, нормаль­ ными к продольной оси элемента, имеем

Оили КьЪх = RsAs,

откуда высота сжатой зоны наклонного сечения находится по фор­ муле, аналогичной формуле для нормального сечения,

х = К^ААКьЬ1

(3.201)

а расстояние от равнодействующей усилий в продольной растянутой арматуре Ns до равнодействующей усилий в сжатой зоне бетона оп­ ределяется по формуле

г^ = К -0 ,5 х .

(3.202)

Случаи расчета по наклонным сечениям на действие изги­ бающего момента. Для обычных элементов с продольной армату­ рой, полностью доведенной до опоры и имеющей анкеровку, обес-

170

печивающую восприятие расчетаых сопротивлении арматуры, рас­ чет по наклонным сечениям на действие изгибающего момента не требуется. Очевидно, что если обеспечена прочность по нормальным сечениям, то будет обеспечена прочность и по наклонным сечениям, поскольку момент Ms, воспринимаемый продольной арматурой, ос­ тается постоянным по длине элемента и равным моменту, восприни­ маемому продольной арматурой в нормальном сечении, причем к нему добавляется момент от поперечной арматуры в растянутой зоне наклонного сечения а момент от внешней нагрузки М будет меньше или равен моменту в нормальном сечении.

Расчет наклонных сечений на действие момента должен произ­ водиться в местах обрыва или отгиба продольной арматуры по длине элемента, а также в приопорной зоне балок и у свободного края кон­ солей на длине зоны анкеровки продольной арматуры. Кроме того, наклонные сечения на действие момента рассчитывают в местах рез­ кого изменения конфигурации элемента (подрезки и т.п.). Во всех случаях расчет по наклонным сечениям может оказаться опаснее расчета по нормальным сечениям, проходящим через начало на­ клонного сечения в растянутой зоне, так как момент от внешней на­ грузки в наклонном сечении будет больше, чем в нормальном, про­ ходящем через начало наклонного сечения в растянутой зоне, и тре­ буется его компенсировать моментом от поперечной арматуры.

Расчет по наклонным сечениям на действие изгибающего мо­ мента вообще можно не выполнять, если расчетом гарантировано, что наклонные трещины не образуются при уровне нагрузки и рас­ четных сопротивлениях бетона, отвечающих первой группе пре­ дельных состояний, т.е. при Кы и Кь- При отсутствии нормальных трещин в рассматриваемой зоне отсутствие наклонных трепщн прове­ ряется исходя из расчета по главным напряжениям как для сплошного упругого тела. При наличии нормальных трепщн проверка на отсутст­ вие наклонных трещин производится из расчета по эмпирическим за­ висимостям, используемым для оценки прочности элементов без по­ перечной арматуры на действие поперечных сил (см. разд. 3.3.6).

Расчет по наклонным сечениям на действие моментов в при­ опорной зоне балок и у свободного края консолей (см. рис. 3.45) в общем случае производится из условия

U < N л + 0,5q,У ,

(3.203)

где Ns - усилие, которое может воспринять продольная арматура в наклонном сечении вследствие сопротивления ее анкеровки.

171

Для продольной растянутой арматуры, не имеющей спещ1альных анкеров, при пересечении ею наклонного сечения в пределах

зоны анкеровки арматуры	на расстоянии 4 от конца арматуры
усилие Ns принимается	уменьшающимся от полной величины

Ns = RsAs при 1х = 1ап ДО нуля при 4 = 0. Это снижение учитывается

специальным коэффициентом условий работы	вводимым к
расчетному сопротивлению арматуры К^. В результате усилие N, оп­
ределяется по формуле
к = JsRsAs.	(3.204)

Длина зоны анкеровки определяется согласно разд. 2.4.

Если в пределах зоны анкеровки имеется специальная косвенная или поперечная арматура в виде спиралей, сеток или хомутов, охва­ тывающих продольную арматуру, то усилие увеличивается за счет повьшхения сопротивлению раскалывания бетона. В расчете это можно учесть соответствующим снижением расчетной длины анке­ ровки арматуры /^„. При наличии на длине 4 за рассматриваемым наклонным сечением приваренных поперечных стержней усилие анке­ ровки Ns может быть увеличено на N^, определяемым дополнительным сопротивлением анкерующих поперечных стержней. Усилие N,^„ свя­ занное с сопротивлением бетона раскальшанию от действия попереч­ ных сил анкеруюпщх стержней, определяется по формуле

Nw = 0 ,7 ф ,,« ,^ Л ,	(3.205)
а то же усилие N^, но связанное с прочностью самих поперечных
анкерующих стержней, вычисляется ПО формуле
лг„ = 0,«пУ^„	(3.206)
В расчете учитывается меньшая величина	найденная по

формулам (3.205) и (3.206).

В формулах (3.205) и (3.206): - число приваренных анкерую­ щих стержней на длине 1/, - диаметр приваренных анкерующих стержней; - специальный коэффициент, принимаемый в зависи­ мости от диаметра анкерующих стержней согласно пособию [3].

От действия усилия предварительного обжатия на концевых участках элемента у продольной арматуры возникают нормально к оси арматуры растягивающие напряжения и трещины раскалывания, которые могут значительно снизить сопротивление арматуры про-

172

дергиванию и, следовательно, уменьшить размер величины усилия, которое может быть воспринято продольной арматурой после обра­ зования продольной трещины у опоры от последующего действия внешней нагрузки. Наличие специальной косвенной арматуры, рас­ положенной в зоне передачи предварительного напряжения, даже при образовании трепщн раскалывания обеспечивает надежную анкеровку предварительно напряженной арматуры в приопорной зоне.

Из сказанного следует, что чем ближе начало наклонного сече­ ния к концу арматуры, тем меньше учитывается расчетное сопро­ тивление продольной арматуры и тем опаснее наклонное сечение. Следовательно, для свободных опор балок за начало сечения необ­ ходимо принять внутреннюю грань опоры. Для свободных концов консоли, нагруженной сосредоточенными грузами, начало наклон­ ного сечения принимается у грузов, расположенных вблизи свобод­ ного конца консоли. При действии на консоль только распределен­ ной нагрузки, приближая начало наклонного сечения к свободному концу консоли и снижая усилие в продольной арматуре Ns, одновре­ менно уменьшаем и момент от внешней нагрузки. В этом случае не­ выгоднейшее расположение начала наклонного сечения можно оп­ ределить исходя из минимальной разницы между несущей способ­ ностью наклонного сечения и момента от внешней нагрузки.

После того как установлено положение начала наклонного се­ чения, решается вторая задача - определение невыгодной длины с горизонтальной проекции наклонного сечения (рис. 3.46). С возрас­ танием длины с, с одной стороны, увеличивается внешний момент М, действующий в наклонном сечении, а с другой - возрастает также внутренний момент, поскольку повышается момент, воспринимае­ мый поперечной арматурой в наклонном сечении. В связи с этим невыгоднейшая длина с соответствует минимальному значению раз­ ности внешнего и внутреннего момента и определяется из уравнения

Ш с[М - (# А + 0,5?,^")] = 0.

(3.207)

Из решения уравнения (3.207), имея в виду, что (ЗМШс = Q, по­ лучим условие для вычисления невыгоднейшей длины проекции на­ клонного сечения

Q =

(3.208)

Таким образом, наиболее опасным наклонным сечением являет­ ся сечение, в котором поперечная сила от внешней нагрузки уравно-

173

вешиваетея усилиями в поперечной арматуре, пересекающей на­ клонную трещину.

а)

\

8

— ^

\

.7777777

в)

•1 '

Рис. 3.46. К определению невыгоднейшей длины Со проекции наклонного сечения для балок;

а- постоянного сечения; б - с наклонной сжатой гранью;

в- с наклонной растянутой гранью

Если в пределах длины с наклонного сечения нагрузок не имеет­ ся (которые следовало бы учитывать), то невыгоднейшая длина с находится по формуле

^0

0.т ах1

(3.209)

Если же в пределах наклонного сечения свободно опертой балки действуют сосредоточенные и распределенные нагрузки, то попе­ речная сила 0 , действующая в наклонном сечении, будет сама зави­ сеть от длины с наклонного сечения. Выразим поперечную силу 0 через поперечную силу 101 в начале наклонного сечения:

(3.210)

Тогда из формул (3.208) и (3.210) невыгоднейшая длина со про­ екции наклонного сечения

174

Со =

(3.211)

При этом, если значение со, вычисленное с учетом сосредото­ ченной силы Р;, оказывается меньше расстояния от начала сечения до этой силы, а определенное без учета этой силы Р; больше этого расстояния, то за значение со следует принимать расстояние от нача­ ла наклонного сечения до силы F;.

В бажах с переменной высотой по длине элемента при изменении длины с наклонного сечения внутренний момент изменяется не только в результате действия поперечной и отогнутой арматуры, но и вследст­ вие увеличения плеча момента продольной арматуры (см. рис. 3.46). Используя указанный подход, можно получить зависимость для опре­ деления невьп'однейшей длины Со наклонного сечения:

в балк^ с наклонной сжатой гранью
Со = (01 - Р , - RsAstg^)/{qsw + д);	(3.212)
в балках с наклонной растянутой гранью
Со = ( 0 1 - - І?y4,sinp)/(g^^ +д).	(3.213)

Для консолей и опорных участков неразрезных балок при опре­ делении Со по формулам (3.211)-(3.213) не следует учитывать на­ грузки д и р 1, приложеннью в пределах длины проекции наклонного сечения, поскольку эти нагрузки, как уже указывалось, не учитыва­ ются при вычислении расчетного момента. Очевидно, значение Со в этом случае следует принимать не более расстояния от опоры до на­ чала наклонного сечения к растянутой зоне.

Для консоли, рассчитываемой на действие равномерно распре­ деленной нагрузки, чем ближе к опоре начало наклонного сечения, тем больше значение 0 1 и, следовательно, значение расчетного мо­ мента. Поэтому в этом случае за значение со всегда следует прини­ мать расстояние от опоры до начала наклонного сечения. В то же время, приближая начало наклонного сечения к свободному концу консоли, уменьшается внутренний момент. В связи с этом невьп'од­ нейшее значение Со будет соответствовать минимальному значению разности внешнего и внутреннего моментов, принимая = (/ - с)Па„, внутренний момент будет

л ^ л 5 .

175

а внешнии момент

М = д{1-с) с + ^ ~ ^

V 2 у 2

Тогда

	а(м^-м)	а	= 0 ;
	с/с	<Лс
			у
		Яsш‘^ + q c - R s A ,z J l^ „ = 0 ;

Если вычисленное значение с будет меньше /-/д„, т.е. начало на­ клонного сечения находится вне зоны анкеровки, то при отсутствии обрывов арматуры расчет наклонного сечения по моменту не производится.

В балочных элементах при малых значениях qsw и д длина про­ екции наклонного сечения со, вычисленная по формулам (3.211)- (3.214), может быть весьма велика и достигать нормального сечения, в котором М = МщахТогда для обеспечения прочности такого на­ клонного сечения потребуется почти полное использование прочно­ сти всей продольной арматуры, что при отсутствии специальных ан­ керов на концах продольной арматуры осущ;ествить невозможно.

Однако экспериментальные исследования показали, что в этих случаях при отсутствии анкеров разрушение по наклонным сечениям не происходит. По-видимому, при больших значениях с предложен­ ные формулы расчета показывают заниженное значение несуш;ей способности наклонного сечения по моменту в связи с возрастаю­ щим влиянием работы растянутого бетона на прочность наклонного сечения. Поэтому в СП [1], [2] принято длину проекции наклонного сечения с ограничивать значением 2ко.

При недостаточной прочности наклонного сечения по моменту более рационально увеличивать поперечное армирование не по всей длине, а только на небольшом участке вблизи опоры. Тогда значение

определяется по формуле

176

= 0,5д„,с^ - 0,5Ад,^(с - /,)'

(3.215)

(где qswl - интенсивность поперечного армирования на приопорном участке длиной /ь Aqsw ~ уменьшение интенсивности приопорного армирования), а усилие в поперечной арматуре, пересекающей на­ клонное сечение, по формуле

Nsw = qswc-^qswic-l\).

Тогда невыгоднейшее значение с можно определить, приравни­ вая это усилие к поперечной силе 0 = 0тах ~ qC, Т.е.

(3.216)

Расчет по наклонным сечениям на действие момента в мес­ тах обрыва продольной арматуры {рис. 3.47) в общем случае про­ изводится из условия

М <Ы ^, + 0 ,5 д ,^\

(3.217)

где Нх - усилие, которое может воспринять оставшаяся после обры­ ва продольная арматура в наклонном сечении в месте обрыва основ­ ной продольной арматуры.

Усилие вычисляется по формуле

(3.218)

где Asl - площадь сечения оставшейся после обрыва продольной ар­ матуры.

При расчете рассматривается наклонное сечение с растянутой зоной, начинающейся непосредственно в месте обрыва продольной арматуры.

Момент М в наклонном сечении определяется по формуле

М = Мо + 2ос -

- 0,5qc^,

(3.219)

где Мо, 0 0 “ изгибающий момент и поперечная сила в нормальном сечении, проходящем через начало наклонного сечения в растянутой зоне; Ри а-, - сосредоточенные нагрузки в пределах наклонного сече-

12 заказ 40

177

ния и расстояния от их места расположения до конца наклонного сечения в сжатой зоне; q - равномерно распределенная нагрузка в пределах наклонного сечения.

Эпюра М

Рис. 3.47. К расчету наклонного сечения на действие момента

вместе обрыва продольной арматуры

Сувеличением длины с проекции наклонного сечения на про­ дольную ось элемента, с одной стороны, возрастает момент М от внешней нагрузки в наклонном сечении, как это следует из формулы (3.219), независимо от разгружающего действия сосредоточенных и распределенных нагрузок, приложенных в пределах наклонного се­ чения, а с другой - увеличивается также момент Msw, воспринимае­ мый поперечными стержнями в наклонном сечении. Поэтому в об­ щем случае должно быть рассмотрено несколько наклонных сечений

сразличными значениями длины с, чтобы найти самое опасное. Для наиболее опасного сечения длина с может быть найдена также по формуле (3.211).

Необходимую длину обрываемой продольной арматуры можно определить следующим образом. Продольную арматуру нужно про­ должить за точку теоретического обрыва (т.е. за нормальное сече­ ние, в котором несущая способность этого сечения без учета обры­ ваемой арматуры равна внешнему изгибающему моменту) на такое

расстояние при котором прочность любых наютонных сечений, начинающихся за обрываемым стержнем, будет обеспечена.

178

На рис. 3.48 показан участок балки, армированный продольной и поперечной арматурой, и соответствующий участок эпюры М Пусть в сечении 1-1 несущая способность балки без учета стержня № 1 равна внешнему моменту Мо (место теоретического обрыва стержня № 1), стержень № 1 оборван на расстоянии ^ от сечения 1- 1 , а невьп’однейшее наклонное сечение начинается в месте обрыва и заканчивается за сечением 1-1 на расстоянии х от него. Тогда мо­ мент, воспринимаемый поперечной арматурой в этом наклонном се­ чении, должен быть равен или больше (М^ - М>), где М^ - изгибаю­ щий момент в нормальном сечении, проходящем через конец на­ клонного сечения:

qsw{w + х)^!2 = М х- Мо.

(3.220)

Пренебрегая влиянием нагрузки, расположенной в участке х, принимаем Мх = Qx +Мо, где Q - поперечная сила в сечении 1- 1 . В результате получим

	= 2 е)с;
	(3.221)
Наименьшее значение	обеспечивающее прочность в любом

наклонном сечении, определяется из условия

с/ Ш х

= 0,

что соответствует

X = Q/(2qs^).

Подставляя это значение х в формулу (3.221), получим

^ = Q/{2qs.).

(3.222)

12*

179