= 1 + 2а, = 1 + 2 • о,248 = 1,496;

(^ = 1/12 + 2аД 0,5-8,)^ = 1/12 + 2-0,248(0,5-0,167)" =0,1383;

0.5 = 0,1383 / 0,5 = 0,2767 /; =

= 0,2767 /1,496 = 0,185;

(1,15м>^-пг,) = 1,75 ■220 ■240" (1,15 ■0,2767 -1,082 ■0,185) =

= 2,61810‘ Н мм = 2,618кН м.

Как видим, разница в результатах с «точным» методом заметная (7,7% «в запас»), что связано с использованием разницы близких чисел.

4.2. Расчет железобетонных конструкций по раскрытию трещин

4.2.1. Предельно допустимая ширина раскрытия трещин

Наличие трещин не является показателем потери эксплуатаци­ онной пригодности или необходимой долговечности конструкции, если их ширина не превышает определенных значений. Эти значения устанавливаются исходя из требований долговечности конструкций, выполнения своего назначения (например, ограничения проницаемо­ сти), а также конструктивных требований (например, целостность облицовки) и эстетических требований (сохранение неповрежденно­ го вида).

Кроме того, ограничение раскрытия трещин препятствует значи­ тельному нарушению сцепления арматуры с бетоном, которое спо­ собствует развитию недопустимых прогибов.

Наиболее важным является требование долговечности конст­ рукции, которое в основном заключается в недопущении коррозии арматуры. В отличие от стальных, для железобетонных конструкций нельзя использовать такой способ учета коррозии, как увеличение сечения арматуры, компенсирующее эту коррозию, поскольку при относительно равномерной коррозии на большой длине стержней образуется значительный объем ржавчины, давление которой приво­ дит к растрескиванию бетона вдоль стержней и откалыванию защит­ ного слоя бетона. Еще опаснее локальная коррозия в местах образо­ вания поперечных трещин. В этом случае местное изменение сече­ ния арматуры происходит без заметных внешних признаков и может привести к внезапному обрыву арматуры. Учитывая это, при проек­ тировании конструкций следует допускать такое раскрытие трещин,

235

которое обеспечивало бы сохранность арматуры в течение всего срока службы, т.е. не допускало бы начала коррозии.

Исследования показали, что увеличение ширины расБфыгия трещин более 0,3 мм при эксплуатации конструкций в агрессивных средах значительно ускоряет процесс коррозии арматуры. В отапли­ ваемых помещениях с неагрессивной средой при нормальном или сухом влажностном режиме нет оснований опасаться коррозии арма­ туры даже при весьма больших раскрытиях трещин. Однако в этом случае трещины ограничиваются шириной 0,3 мм в связи с иными требованиями (эстетические, конструктивные и др.).

При этом следует отметить, что в высокопрочной арматуре вследствие высоких напряжений в ней коррозия протекает интен­ сивнее. То же можно сказать и про стержни малых диаметров (3 мм и менее). Поэтому для элементов с арматурой классов А800 и выше, Вр1200 и выше, а также с канатной арматурой допустимая ширина раскрытия трещин уменьшается до 0,2 мм, а если диаметр проволоки 3 мм и менее - до 0,1 мм. Эти ограничения подразумевают продол­ жительное раскрьггие трещин, т.е. раскрытие от действия постоян­ ных и длительных нагрузок. При непродолжительном раскрытии от действия всех нагрузок, включая кратковременные, допускается предельную ширину раскрытия трепщн увеличивать на 0,1 мм.

При эксплуатации конструкций в агрессивных средах допусти­ мая ширина раскрытия трепщн назначается в зависимости от степе­ ни агрессивного воздействия, вида среды (газообразная, жидкая) и класса (марок) стали в соответствии с табл. 9 и 11 СНиП 2.03.11-85. При этом для конструкций, отнесенных согласно этим таблицам ко 2-й категории трещиностойкости, если в них от полных нагрузок об­ разуются трещины, то последние при действии постоянных и дли­ тельных нагрузок должны быть зажаты, что обеспечивается напря­ жением сжатия 0,3 МПа на растянутой от внешней нагрузки грани элемента. Это условие является определяющим лишь при значитель­ ной доле кратковременных нагрузок, поскольку при небольшой доле этих нагрузок определяющим будет расчет по образованию трещин.

Для конструкций, находящихся под давлением жидкости или га­ зов, дополнительно устанавливается предельная ширина раскрытия трещин из условия ограничения проницаемости, а именно: 0,2 мм - при продолжительном раскрыгии трещин и 0,3 мм - при непродол­ жительном раскрытии.

Для конструкций, непосредственно воспринимающих давление сыпучих тел, предельная ширина раскрытия трепщн также принима­ ется равной 0,2 и 0,3 мм из-за того, что при большей ширине рас­

236

крытия мелкие частицы пьши, забиваясь в трещины, не дают им воз­ можности закрыться при уменьшении давления, что приводит к по­ степенному нарастанию раскрытия трещин.

4.2.2.Определение ширины раскрытия трещин

ВСводах правил к новому СНиП 52-01-2003 принята методика определения ширины раскрытия трещин, основанная на работах В.И. Мурашева и аналогичном подходе в последних международньос нормах (Еврокод 2 и др.). В отличие от принятой в предыдущих нормах эмпирической зависимости эта методика более четко рас­ крывает физический смысл раскрытия трещин и хорошо согласуется

сбольшим объемом опытных данных.

Однако эта теория несвободна от ряда недостатков. В частности, расстояние между трещинами /,. согласно этой теории не зависит от действующего момента, в то же время известно, что после образова­ ния первых трещин при росте нагрузки могут возникать вторичные промежуточные трещины. Это потребовало при вычислении 4 ввести многочисленные ограничения. Кроме того, прямо не учиты­ вается влияние профиля арматуры и эксцентриситета продольной растягивающей силы, что потребовало ввести поправочные коэффи­ циенты фи и фи.

Согласно теории Мурашева ширина раскрытия трещин опреде­ ляется из условия равенства удлинения арматуры в пределах рас­ стояния между трещинами 4 и суммы удлинения растянутого бетона

в этих пределах и ширины трещины асгс-
а^-гс-
Значение средней деформации арматуры	определяется по де­

формациям арматуры в сечении с трещиной е, с помощью коэффи­ циента \|/^7, учитывающего работу растянутого бетона между трещинами, т.е.

Деформация арматуры в сечении с трещиной е,. выражается че­ рез напряжение арматзфы в трещине 8, = <JJE,.

Выразив среднюю деформацию растянутого бетона между тре­ щинами Вьтчерез Оь„,/Еь, получаем

237

ст	К,
= — 1|/,„----

где а = Е/Еь.

Выражение - ^ а весьма мало и также зависит от работы растя- <т,

нутого бетона между трещинами. Поэтому бьшо решено учесть ра­

боту растянутого бетона через еданый коэффициент у, =\|/^., - - ^ а .

Тогда
	у /,-		(4.23)
	Для коэффициента \|/, принято выражение, согласующееся с
международными нормативными документами:
	Ч/,=1-р— ,		(4.24)
	<т^,
где	- напряжение в растянутой арматуре сразу после образова­
	ния трещин, т.е. при действии момента
	Р - коэффициент, принятый для тяжелого бетона равным 0 ,8 .
	Определение напряжений арматуры в трещине	и	- см.

разд. 4.2.3. Согласно этому разделу для изгибаемых элементов без напрягаемой арматуры эти напряжения пропорциональны моментам

соответственно	и М, и тогда для этих элементов
	у , = 1 -	0 ,8 ^ .	(4.25)
		м
Для центрально растянутых элементов
	Ч /.= 1	-0,8:^ ,	(4.26)

где Неге- см. условие (4.22).

Из формул (4.24) и (4.25) следует, что с ростом нагрузвси влия­ ние работырастянутого бетона между трещинамиуменьшается, т.е. значения 8, и сближаются, и значение \|/,. приближается к 1 ,0 .

238

в Сводах правил рекомендуется сначала определить значение Осгс, приняв \|/^ = 1 ,0 , и только в случае превышения а^гс его предель­ ного значения учитывать формулу (4.24) или (4.25).

Расстояние между трещинами 4 в зоне чистого изгиба согласно теории Мурашева определяется из следующих рассуждений:

Вследствие неоднородности бетона первая трещина появляется в наиболее слабом месте. В пределах этой трещины напряжение в ар­ матуре равно а^сгг, а напряжение в бетоне по берегам трещины равно нулю. По мере удаления от трещины вследствие наличия сцепления арматуры с бетоном напряжения в бетоне возрастают, а в арматуре уменьшаются, и в том сечении, в котором напряжение бетона дости­ гает Кы, должна появиться смежная трепщна. Следовательно, рас­ стояние между трещинами определяется из предпосылки, что новая трещина появится в сечении, удаленном от первой, на расстоянии /„ достаточном для снижения напряжения в арматуре с величины а, ,,гс до саЯь, (где а = Е/Еь). При этом такое снижение напряжения обес­ печивается за счет сил сцепления арматуры с бетоном. Тогда можно записать

- аКьА =

(4.27)

где Хсц - максимальное напряжение сцепления арматуры с бетоном; ю - коэффициент полноты эпюры сцепления; 5 - суммарный периметр сечений арматурных стержней, равный

5 = ПП(1, (п - число стержней, 4 - средний диаметр стержней).

Принимая = MeJz и А, = пп с1^ /4, из формулы (4.27) полу­ чаем

I	,	(4,28)
	44о)т„
Поскольку значения	и Тсц пропорциональны значению К,,„ из

рассмотрения формулы (4.28) можно сделать вывод, что значение /,. практически не зависит от класса бетона.

Пренебрегая за малостью выражением можно принять, что значение /,. обратно пропорционально армированию. В Своде правил к СНиП для упрощения расчета при определении базового значения 4 (без учета влияния профиля арматуры) выражение при ds

239

принято равным 0,5 — с рядом ограничений, с тем чтобы значения /,

Л

не выходили за рамки реальных величин, а также с тем, чтобы ко­ нечные результаты по ширине раскрытия трещин имели достаточное согласование с предшествующими СНиП и международными нор­ мами.

Итак, принято

/, = 0,54"^.,	(4,29)
Л

где Аы - площадь сечения растянутого бетона непосредственно перед образованием трещин, т.е. определяемое согласно разд. 4.1 при действии момента М^гс-

Граничные значения I, приняты'в виде

100 мм < 4 < 400 мм, 104 ^ ^ 404-

Для значения А^ тоже введены ограничения: высота растянутой зоны принимается не более 0,5/г и не менее 2 а.

При арматуре периодического профиля напряжения сцепления арматуры с бетоном, очевидно, должны быть заметно больше, чем при гладкой арматуре, что, судя по формуле (4.28), влияет на значе­ ние I,. Согласно Сводам правил к СНиП это влияние учитывается коэффициентом фз, вводимым в формулу (4.23) и равным:

0,5 - для арматуры периодического профиля,

0 ,8 - для гладкой арматуры.

Таким образом, наличие периодического профиля у арматуры при прочих равных условиях уменьшает раскрытие трещин почти на

40%.

Как показали многочисленные опыты, раскрытие трепщн в рас­ тянутых элементах (когда N > Р) при равных условиях больше, чем у изгибаемых и внецентренно сжатых. Согласно Сводам правил [1], [2] это обстоятельство учитывается введением в формулу (4.23) коэф­ фициента фз, равного 1 ,2 для растянутых элементов и 1 ,0 - для про­ чих элементов.

4.2.3.Определение напряжения в растянутой арматуре

всечении с трещиной

Определение напряжения в арматуре производят на основе не­ линейной деформационной модели при двухлинейной диаграмме

240

а^-Еь для сжатого бетона, учитывая непродолжительность действия нагрузок и нормативное сопротивление бетона сжатию При этом сопротивление бетона растянутой зоны не учитывается. Эпюры деформаций и напряжений имеют вид, представленный на рис. 4.9 . Согласно рис. 4.9 напряжение в растянутой арматуре равно

К	■Е	(4.30)

Высоту сжатой зоны бетона х и максимальную деформацию бе­ тона в общем случае определяют из совместного решения зфавне-

ний равновесия:
внешних и внутренних продольных сил	Нь +
внешних и внутренних моментов	Мл + М[+	М,

где Нь, М, Н, - усилия в сжатом бетоне, в сжатой и растянутой арматуре; Мь,-Л/„ - моменты этих усилий относительно нейтральной оси; N - продольная внешняя сила (при сжатии - знак «плюс»,

при растяжении - знак «минус»); М - момент внешних сил относительно нейтральной оси.

Рис. 4.9. К расчету по раскрытию трещин цзгибаемого элемента произвольного сечения:

А- схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений при

г- эпюра напряжений при 8*> е*1,ге^/

Для сечений произвольной формы эти уравнения решаются по­ следовательными приближениями, задаваясь в 1 -м приближении значениями 0 , 5 х = 0,5йоЗначения Нь и М,, определяются

1 б Заказ 40

241

с помощью численного интегрирования, когда сечение в направле­ нии плоскости изгиба разделяется на участки малой ширины, напря­ жения в которых принимаются равномерно распределенными и со­ ответствующими деформациям на уровне участка согласно диа­ грамме Оь-гь- Такой расчет производится с помощью компьютерной программы.

Для изгибаемых элементов без предварительного напряжения прямоугольного, таврового и двутаврового сечения значение х мож­ но определить аналитически только из 1 -го уравнения равновесия путем преобразования этого уравнения в квадратное.

Составим это уравнение для наиболее простого прямоугольного сечения.

Согласно рис. 4.9 при М= О и ширине сечения Ь имеем

єА > ^ / 2 + % —

X X

Исключая неизвестное є*, получаем квадратное уравнение с не­ известным X

~ +(х ~ ={}%- х )а ^ 4 ,

где а ^1 = Е,]Еь.гы- коэффициент приведения арматуры к бетону.

Это уравнение представляет собой равенство статических мо­ ментов приведенных сечений сжатой и растянутых зон относитель­ но нейтральной оси.

Несложно заметить, что это равенство справедливо для сечений любой формы, если отсутствует продольная сила.

Решение квадратного уравнения для прямоугольного сечения имеет вид

\2	2 ( а , і М + а , і 4 а ') .
,
У
ДЛЯ сечения с полкой в сжатой зоне (рис. 4.10, а)
Ь	Ь

где = (Ьі - Ь)к^ - площадь свесов сжатой полки. »V- к*"/

242

при этом полученное значение х должно превышать высоту сжатой полки . В противном случае значение х вычисляется как

для прямоугольного сечения шириной ,

Для таврового сечения с полкой в растянутой зоне (рис. 4.10, б), если к - X < т.е. нейтральная ось пересекает эту полку, высоту сжатой зоны также можно определить по формуле (4.32), принимая

Ь = Ь у , А =

- ( Ь у - Ь ) { к - к у ) и к ' ^ = к - к у .

Таким образом, при отсутствии продольной силы высота сжатой зоны для любых сечений не зависит от внешней нагрузки.

Значение определяется путем решения зфавнения равновесия моментов. Для прямоугольных сечений оно имеет вид

Ьх	X	X	(.х -а ') +Еь	(К - х ) = М.
^ь^ь,ге11 2	+ 8	. —
	1,5

Рис. 4.10. К расчету по раскрытию трещин изгибаемого элемента двутаврового и таврового сечения:

а- схема сечения и эпюра деформаций при к ’^< х < к - ку \

б- схема сечения и эпюра деформаций при х> к - к у

Откуда

8^ =	Мх1Е.6 , т /	(4.33)

16*

243

Знаменатель представляет собой момент инерции приведенного сечения относительно нейтральной оси Ired^ Это будет справедливо для сечений любой формы.

Подставляя значение е* в формулу (4.30), получим

(4.34)

■‘га«/

Определение напряжения а, можно упростить* представив фор­ мулу (4.30) в виде

(4.35)

с,КА

где с ,- 2 - относительное значение плеча внутренней пары сил,

которое определяется по графикам рис. 4.3 Пособия [3]. Эти графики построены с помощью формулы, полученной из приравнивания друг другу формул

(4.34) и (4.35), т.е.

(К~х)о.Л

Представив эту формулу в относительных характеристиках:

^ =	■, 8 = | - , имеем
ЬК	к

Для сечений без сжатой полки б = 2а'1ко.

Из формулы видно, что значение q заьисит от трех параметров У и 5, причем значения 5 меняются в узких пределах 0,2-0,3.

В пособии [3] построены графики значений ^ = /(а^,ц,,у) при б = 0,2 и 5 -0 ,3 .

Для изгибаемых предварительно напряженных элементов уси­ лие обжатия Р учитывается как внешняя сила М, и тогда уравнение

244

равновесия продольных сил для прямоугольного сечения имеет вид

(рис. 4.11)

х - а '	, 4	К ~ х	+Р.	(4 36)
. +Є.------Е .Л		= Є.—-----.

X

в этом уравнении исключить неизвестное е* нельзя, и поэтому значение X следует определять из совместного решения обоих урав­ нений равновесия.

Из уравнения (4.36) находим

^ ь ^ ь . г е а	Ьх	х-а	1\~х	Рх	(4.37)
				Ьх^
	Т	^ Т	^ Ї
	2			^ + ( х - а ') а ^ Х - ( К - х ) а , Л
	А’,			б)
			-•ет-		м

Ав

Рис. 4.11. к расчету по раскрытию трещин изгибаемого предварительно напряженного элемента прямоугольного сечения:

а - схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений и схема усилий

Уравнение равновесия моментов имеет вид

= М (4.38)

2»

X

X

или

ЄЬаД^Ь,ге(і Ьх^ +(х-а'Уа,, АІ +(ко - х)~а,, Л, 1х+Р(ко-х~е )=^М.

245

Подставив в это уравнение выражение eJEb.rvd, получаем

hr^	+{ho- x f
-— + (х-а'У а,, 4
2	=e~h^ + x,	(4.39)

Щ- + {х -а ‘)a^iA' -(hg- х)а^^4

где е =М/Р ± 6sp.

Левая часть уравнения представляет собой отношение момента инерции Ired и статического момента приведенного сечения отно­ сительно нейтральной оси. Нетрудно заметить, что это справедливо для сечений любой формы.

Преобразуем уравнение (4.39) в канонический вид

+Ал^ + Вх + С -

где А = 3(е - ho);
В - в [ е ( а, А	+	(^0 - 1/Ь;
С = - 6		lb.
Такое кубическое уравнение удобнее всего решать методом
Ньютона следующим образом.
Задаваясь произвольным		значением хо в пределах	в 1-м
приближении определяем
X, = х„—		х„ + Ах,, + Вх„+ С
		-— ;— 2------ -----:
‘	"	Зх: + 2Ах„ + В
во 2 -м приближении
^2 = ^.		X? + Ах7+ Вх. + с
		^
		Зх, + 2^х, + В

и т. д ., до тех пор, пока не будет выполнено условие Х, и Х(_1.

При расхождении между х, и x,.i менее 2% расчет можно прекра­ тить. Обычно достаточно 2-3 итераций.

246

За хо рекомендуется принимать наиболее вероятное значение х, например Хо = Ьо/2 .

Для сечений с полкой в сжатой зоне выражения

дополняют соответственно AlJl‘J■l2 ,

- а ; / 2 ) и А !„ {\-Ь 1, 1 г % 1 1 .

Р X

Подставляя значение е* из уравнения (4.37) в виде є,, = ---------- в

формулу (4.30), получаем

(4.40)

В связи с трудоемкостью определения значения X для преднапряженных элементов в пособии [4] представлено упрощенное опре­

деление напряжения по формуле
	М І2 - Р	...
	-----,	(4.41)
где 2 =	, а коэффициент определяется по табл. 4.2 пособия [4];
	М, = Ре= М ± Ре,р.

Табличные значения ^ были определены следующим образом. Плечо внутренней пары сил г получается делением момента усилия в сжатой зоне относительно нейтральной оси на это усилие плюс расстояние от нейтральной оси до центра тяжести растянутой арма­ туры, т.е. для прямоугольного сечения:

247

Ъх	X	x - d
^b^b,red				+ й„-л: =- ^ ------------7— '■^—^ + \ - x .
Z = -	bx	x -a '	./
^b^b.red				bx 12 + {x~a )a^,4
	— +------		^
	2	X

Представим эту формулу в относительных характеристиках и с учетом наличия сжатой ножи; при этом влияние свесов сжатой пол­ ки и сжатой арматуры учтем одним обобщающим коэффициентом

ф -	^ а также коэффициентом 5 = — , где а[ - расстоя-
ЬК	К

ние от центра тяжести приведенного сечения сжатых свесов и сжа-

той арматуры; для упрощения расчета можно принять 5 = ^к^ , а при

отсутствии полки Ô = JlhQ.

Тогда, принимая ^ = л://г„, имеем

h, +

Значение ^ определяется методом Ньютона, при Л = 3(е, - 1);

В = 6[Єі(а,,|і. + ф/) - ф/1 - Ô)]; С = -6[e,(a„|is + Ф/ô ) - фД1 -		Ô)],
где е, =е//г,„	д
	Ц,=7 7 -.
	bh.
Как видим, значение Ç зависит от четырех параметров -		%.
Єі и Ô.
Поскольку значение Ô меняется в узких пределах и слабо влияет на
величину	табличные значения вычислены в зависимости только от

первых трех параметров при постоянном значении 5 = 0,15.

Для внецентренно сжатых элементов определение напряжения (5s аналогично определению для предварительно напряженных из­ гибаемых элементов. При этом значение Р заменяется н^ продоль­ ную силу N, а выражение e - h Q + х в уравнении (4.39) на M /N -y^ + + X, где М - момент из статического расчета конструкции относи­ тельно оси, проходящей через центр тяжести бетонного сечения, 7 ц- расстояние этого центра тяжести от сжатой грани элемента.

248

в связи с трудоемкостью определения значения X для внецен­ тренно сжатых элементов в пособии [3] представлено для прямо­ угольных сечений упрощенное определение ст,. по формуле

(4.42)

АК

где е - эксцентриситет внещних сил относительно оси, проходящей через центр тяжерти сечения растянутой арматуры, равный

	е = М/М + (к/2~а);
ц>сгс - коэффициент, определяемый по табл. 4.2 пособия [3].
Коэффициент	получен из приравнивания друг к другу зна­
чений из формул (4.40) и (4.42)
	__ N6
	'"4 А
отсюда	ф „ = ™ ^ 4 а,А-

Представим эту формулу в относительных характеристиках:

^ ^ х / К ,

е ^ ^ е / ^ иЬ = а Ч Т о т т

%гс =

При этом относительная высота сжатой зоны определяется из уравнения

^У 34 -№ -8)^а'.4 -0 -^)^а.
^*/2 + ( ^ - 8 ) а :- ( 1 - У а .	'
Это уравнение можно решить указанным методом Ньютона,
принимая
А —3{в] —I), В = в е,(а^+а^)-а^0-8) ; С =-6	е,(а^+а',8)"а''5(1-5) .

249

Как	видим,	значение	фс^ зависит от четырёх параметров -
а,, а^,е,	и 5.
Поскольку		значение	Ô обычно меняется в узких пределах

(0,08-г0,15) и слабо влияет на величину (рсгс, табличные значения ф^^

вычислены в зависимости только	от двух параметров		и	при
постоянном значении Ô = 0 ,1 и при	а^. =	и а(. = 0 ,0 .

Вышеприведенные формулы для определения значений л; и ст, получены исходя из линейного распределения напряжений сжатия бетона, которое может иметь место при условии =15 •10'^.

При невыполнении этого услов'ия формулы для определения X и Еь следует выводить исходя из трапециевидной эпюры напряжений сжатия, приведенной на рис. 4.9, г. В этом случае плечо внутренней пары сил существенно уменьшится, что приведет к увеличению на­ пряжения арматуры а следовательно, и Таким образом, игно­ рирование возможности превышения деформаций Еь значения Еы,гел в принципе может привести к неоправданному занижению значения Осгс по сравнению с расчетом исходя из нелинейной деформационной модели.

Определим граничное значение момента М^, соответствующее достижению максимальной деформации бетона е* значения

Для изгибаемых элементов без преднапряжения согласно фор-

муле (4.33) имеем	Мх
	8, = ТГ-— =
	га!
Следовательно,
	= М =	(4,43)
	X	X

где значение х определяется по формуле (4.31) или (4.32).

Для предварительно напряженных элементов согласно формуле

(4.38) имеем

^М - Р { К - х - е ^ )

8* —	—£|.1
	h,red red

следовательно,

М ^ = М =^ ! ^ - ^ Р { \ - х - е ^ \	(4.44)
X

250

где X определяется из уравнения (4.37) при Решение это­

го уравнения аналогично формуле (4.31) или (4.32) с уменьшением выражения наР/^б„.

Для внецентренно сжатых элементов значение М-р можно вы­ числить аналогично с заменой Р на ТУ^и е,р на йо~ 7 ц-

Анализ формул (4.43) и (4.44) показал, что значения граничных моментов, как правило, близки моментам, предельным по прочности М„й, вычисленным с учетом расчетных сопротивлений бетона и ар­ матуры, или превышают эти моменты. Поэтому моменты, вызванные нормативными нагрузками и существенно меньшие М„/„ практически никогда не превысят значений и, следовательно, значение а, во всех случаях можно определять как указано выше.

При расчете внецентренно растянутых элементов рассматрива­ ются два случая растяжения:

1-й случай - когда равнодействующая продольной силы и уси­ лия предварительного обжатия N - Р > О приложена вне рабочего сечения элемента {рис. 4.12), т.е. при выполнении условия

(4.45)

где М - момент внешних сил из статического расчета относительно оси, проходящей через центр тяжести бетонного сечения и отстоящей от сжатой грани на расстоянии

Рис. 4.12. К расчету по раскрытию трещин внецентренно растянутого элемента произвольного сечения при 1-м случае растяжения;

а- схема сечения; б - эпюра деформаций; в - эпюра напряжений

исхема усилий; 1 - центр тяжести бетонного сечения

251

2-й случай - когда равнодействующая сил N л Р приложена в пределах рабочего сечения, т.е. при невыполнении условия (4.45).

Расчет по 1-му случаю растяжения производится в общем случае аналогично расчету изгибаемых предварительно напряженных эле­ ментов, когда высота сжатой зоны х определяется из решения урав­ нения (4.39), где е = - Ло - эксцентриситет равнодействующей сил N тлР относительно оси, проходящей через центр тяжести растяну­ той арматуры и принятый со знаком «минус».

Учет наличия сжатой пожи производится аналогично такому учету при расчете изгибаемых элементов. При этом значение х не должно быть меньше /г|; в противном случае расчет повторяется как

для прямоугольного сечения шириной, равной Ьу .

Напряжение в растянутой арматуре также определяется по фор­ муле (4.40) с заменойРндіН-Рпри положительном значении

В связи с трудоемкостью определения значения X в пособии [3] для прямоугольных сечений без напрягаемой арматуры представле­ но упрощенное определение значения а, по формуле

N

Л,

где ^ - относительное значение плеча внутренней пары сил.

Это значение ^ можно определить путем деления момента уси­ лия в сжатой зоне относительно нейтральной оси на это усилие плюс расстояние от этой оси до центра тяжести растянутой арматуры. В относительных характеристиках формула для ^ имеет вид

^4 '/2 + а :(4 -б )

где значение ^ определяется из уравнения

4 У З .^ а :(4 - 8 ) Ч а .(1 - 4 ^

Здесь относительные характеристики %, а^, а,, 6, щ те же, что и при расчете внецентренно сжатых элементов,

252

Уравнения (4.46) можно решать методом Ньютона, принимая

А = -5(е, +	1): Л = - 6 [е,(а, + а О + а ',(1 - 5)];
С -	6 [е,(а, + а ; 6 ) + а',5(1 - б)].
Расчеты по этим формулам показали, что значение для прак­

тических случаев меняется в узких пределах от 0,96 до 0,8. Поэтому в пособии [3] для всех случаев принято ^ = 0,833 = 1/1,2, т.е.

о.. =	N
	(4.47)
	А.

Если Р > N. расчет проводится как для изгибаемых предвари­ тельно напряженных элементов, заменяя Р на Р-М и принимая

_ М - Щ к , - у , +

^Р - М

При расчете по 2 -му случаю растяжения весь бетон сечения ока­ зывается в растянутой зоне и поэтому в расчете не учитывается

Напряжение а, в арматуре, расположенной у наиболее растяну­ той грани, определяется из уравнения равновесия моментов внут­ ренних и внешних сил (рис. 4.13) относительно оси, проходящей че­ рез центр тяжести арматуры 5^:

		= СУу4,.(/7о - с/),
откуда	ст, ^	— 7“ .	(4.48)
		А Л К - ^ )
Здесь	=	^ + (у ^-а '),
где значения М и	те же, что и в условии (4.45).
При наличии усилия обжатия Р
	Н е ' - Р ( К - а ‘ - е ^ )		(4.49)
	ст = -

А Л К - ^ ' )

253

при осевом растяжении элемента с симметричным армировани­ ем ( 4 = А ) , т.е. при ^ = (/|о - а)12, формула (4.49) преобразу­ ется в формулу

Н - Р

ст.. =

N-P

Рис. 4.13. К расчету по раскрытию трещин внецентренно растянутого элемента произвольного сечения при 2-м случае растяжения:

а - схема сечения; б - эпюра напряжений и схема усилий; 1- центр тяжести бетонного сечения

В заключение следует отметить, что для предварительно напря­ женных элементов значение напряжения определенное с учетом силы Р как внешней, следует рассматривать как приращение напря­ жения в арматуре от действия внешней нагрузки. Полное же напря­ жение арматуры равно а, + где С5,р - предварительное напряже­ ние с учетом всех потерь при условии нулевых напряжений в окружающем бетоне (см. гл. 5). Это полное напряжение арматуры при всех расчетах по 2 -й группе предельных состояний не должно превосходить значения

4.2.4. Учет длительности действия нагрузки

Как показали многочисленные исследования, ширина и высота первоначально образованной трещины возрастают при длительной выдержке под неизменной нагрузкой. Это возрастание связано с тем, что при образовании трещины фактически бетон растянутой зоны в сечении с трещиной не весь выключается из работы, но с те­ чением времени выключение из работы становится более полным,

254

что приводит к увеличению высоты и ширины трещины. Кроме того, к этому же приводит и снижение с течением времени напряжения сцепления между арматурой и бетоном. Это может учитываться пу­ тем увеличения коэффициента у.,. Однако в целях упрощения расче­ та все явления, вызывающие увеличение трещин со временем реше­ но было оценивать общим коэффициентом ф1, равным для тяжелого бетона 1,4.

Таким образом, в общем случае, расчет по раскрытию трещин производится дважды:

от постоянных и длительных нагрузок определяется продолжи­ тельное раскрытие трещин;

от постоянных, длительных и кратковременных нагрузок опре­ деляется непродолжительное раскрытие трещин.

продолжительное раскрытие трещин определяется от указанных нагрузок по формуле (4.23) с учетом коэффициента ф1 = 1,4.

Непродолжительное раскрытие представляет собой сумму про­ должительного раскрытия трещин и приращения раскрытия трещин от кратковременных нагрузок. Определение этого приращения рас­ крытия трещин производится в соответствии со схемой нар Т А С . 4.14.

Рис. 4.14. Схема, принятая для определения непродолжительного раскрытия трещин

от полной нагрузки включающей

в себя длительную часть нагрузки р 1

В этой схеме принято допущение, что кривые зависимости на­ грузка-раскрытие трещин при первоначальном приложении кратко­ временной нагрузки и при ее приложении после длительной вы­ держки под нагрузкой параллельны, т.е. принято, что продолжитель­ ное действие постоянных и длительных нагрузок не отразилось на характере приращения раскрытия трещин от кратковременных на­ грузок. В соответствии с этой схемой

^сгс ^сгс\ ^сгс2 ^сгсЪу

(4.50)

где а^гсх - ширина раскрытия трещин, определяемая с учетом ф, = 1,4 при действии постоянных и длительных нагрузок;

255

при котором одновременно выполнялись бы условия

аск2 - то же при ф, = 1 ,0 и действии всех нагрузок (т.е. включая кратковременные);

а^гсЗ~ то же при учете ф1 = 1,0 и дейс1 вии постоянных и длительных нагрузок.

Поскольку ширина раскрытия трещин всегда пропорциональна выражению = су, - 0 ,8 а,,сг« то значения асгс.! можно записать через коэффициент пропорциональности^:

а,.„, = 1,4^(су,, -0,8ст^„,);

-0,8ст^^„.);

= А{а^,

где значения а,/ и а, определяются при действии соответственно суммы постоянных и длительных нагрузок и всех нагрузок.

Тогда формулу (4.50) можно записать в более простом виде

а 3=д.	ст,/ - 0,8ст,	(4.51)
	= О. 1 + 0,4
	сг^ -0,8сгi , c r c J
в случае, если су,/ <	су,^^, выражение а,/ ^ 0 ,8 а,сгс принимается
равйым 0 ,2 ст,/.		, распо­
При наличии внешней продольной силы значение

ложенное в числителе формулы (4.51), следовало бы определить с учетом продольной силы от постоянных и длительных нагрузок, а расположенное в знаменателе - с учетом продольной силы от всех нагрузок. Однако такое уточнение а,,сгс при учете только постоянных и длительных нагрузок, как правило, приводит к незначительному уменьшению значения ает Н поэтому для упрощения расчета реко­ мендуется в обоих слз^аях вычислять как при действии про­ дольной силы от всех нагрузок, но в случае превышения вычислен­ ного а^гс его предельно допустимого значения вычислять с уче­ том продольной силы от рассматриваемой нагрузки.

Определим условие, при выполнении или невыполнении которо­ го следует проверять либо продолжительное, либо непродолжитель­ ное раскрытие трещины. Для этого определим отношение

t--ст,,-0 ,8ст,

ст, - 0 ,8а

Cicrc - аш, и а^гсл = ciuu,\, где аи„ и aui,,\ - предельная ширина непродолжи­ тельного и продолжительного раскрытия трепщн, т.е. решаем систе­ му уравнений

256

= J ( g,~ 0,8cr,,,,)(l + 0,40 =

acrc\ = l,4A(a„ - 0,5a,.,„) = l,4^(o, - 0,8a,c..)? = a„„,,

Подставляя из 2 -го уравнения выражение A(g^.- 0,8cr^			в
1 -е уравнение, получаем	(1 + 0,4t) = а „, откуда	t =------	О,Ч.,и
1,4?	"	1,4«

При а^и = 0,4 мм, а^„,= 0,3 мм t = 0,68; при а„/, = 0,3 мм, аши = 0,2 мм t - 0,59.

Таким образом, если выполняется условие

(4.52)

с т - 0 ,8сг,_

следует проверять только продолжительное раскрытие трещин, если условие (4.52) не выполняется - только непродолжительное раскры­ тие.

Для изгибаемых элементов без преднапряжения в формулах (4.51) и (4.52) значения и а,/ можно заменить соответственно на Mere, М и М ,- момент от действия постоянных и длительных на­ грузок.

4.2.5. Примеры расчета

Проиллюстрируем приведенные методы определения ширины раскрытия трещин а^с на примерах расчета.

Пример 4.5. Дано: многопустотная плита перекрыгрм с данными из примера 4.1; Моменты в середине пролета: от всех нагрузок Mtot - 57,8 кНм, от постоянных и длительных нагрузок

М, = 46,5 кНм.

Расчет. Из примера 4.1 имеем: Р = 200 кН; ho = h - a = 220 - 27 = 193 мм;

А '„=Л„ = {b'f-b)h} = (1475 - 466)41 = 41369 мм^;

Е,	2 0 0 0 0 0 15 1 0 -^

К15

Мегс==45,6 кНм, ds~ 12 мм.

Поскольку Merc ^ Hot = 57,8 кН м, расчет по раскрытию трещин необходим.

17 Заказ 40

257

Применим упрощенный способ определения напряжения арма­

туры	с ПОМОПЦ.Ю табл. 4.1 пособия [4].					момента М =
Определим значение ст,				от действия				=
= 57,8 кНм.		= О е = М/Р = 57,8/200 = 0,289 м = 289 мм и
При
М, = М,о, = 57,8 кНм.
Параметры табл. 4.1 равны:
	./ .	4^	41369	-		Л	565-20
п р и Д = 0		ф = - ^	= ----------= 0,46;		ца. = - ^ а , . = ---------- = 0,126;
^	^	Ьк,	466-193		"	Ьк,	466-193
	е, = е//2о = 289/193 = 1,497.
Этим параметрам соответствует					= 0,835, и тогда

г = 4^0 = 0,835x193 = 161 мм.

По формуле (4,41) определяем

ст.. = M J z - P 57,8-10"/161-200 ООО= 281 МПа. 565

Аналогично определяем от действия моментов М/ - 46,5 кН-м и Мсгс^А5,6 кН м, Значение ^ оставляем тем же, поскольку оно не меняется при ^1 > 1,2, Тогда

М , ! г - Р	46,5-10"/161-200ООО
а . = —^--------	—^------------------------	= 156,7МПа;
		565
2 - Р	45,6 • 10" /161 -200 ООО		, ^
А^		^------------------------	= 146,8 МПа.
		565

Проверим условие (4,52), При арматуре класса А800 предельные значения раскрытия трещин равны а„„ = 0,3 и а^и,! = 0,2 мм. Следова­ тельно, t = 0,59. Поскольку

о , ^ 0	^ а ^ ^56 .7 - 0,8.146,8 ^ 0
а-0,8	а^.„	281-0,8-146,8

258

проверяем только непродолжительное раскрытие трещин, вычисляя а^гспо формуле (4.51).

Определим расстояние между трещинами /, по формуле (4.29). Из примера 4.1 имеем ^ = 0,725, тогда высота растянутой зоны бето­ на равна к ~ х = к { \ - ^ ~ 220(1 - 0,725) = 60,5 мм, что больше 2а = 2 ■27 = 54 мм и меньше 0,5/г =110 мм. Значение Ь - х оставляем равным 60,5 мм. Учитывая, что к - х > hf - А\ мм, площадь растяну­ той зоны определяем по формуле

Аь, = Ь{к ~ х )+ А„у = 466x60,5 + 41 369 = 69 562 мм^.

/, =	4	= 0 ,5 ^ ^ ^ ^ 1 2 = 739мм > 400 мм.
'		565

Кроме того, 4 > 404 = 480 мм. Поэтому принимаем /, ■400 мм. Согласно формуле (4.24)

V,, = 1 _ 0 ,8 . ^ = 1 - 0 ,8 ^ ^ = 0,582.

	а,	281
Определим ширину раскрытии трещин			принимая ф) = 1,0 и
ф2 = 0,5;
^сгсл = Ф|Ф2¥л	= 0,5 • 0 ,5 8 2 -? ^ 4 0 0 = 0,164 мм;
		2 * 1 0
а . - 0 ,8сг,^	= 0,164(1 + 0,4-0,24) = 0,18 мм < = 0,3мм,
^сгс ~~ ^сгсЛ 1 +0,4-^'

т.е. раскрытие трещин в пределах допустимого.

В целях сопоставления определим напряжение а, «точным» спо­ собом, т.е. по формуле (4.40). При этом высоту сжатой зоны х нахо­ дим из решения кубического уравнения (4.39) с заменой а,^А^, на

и ö/ на h iß - 20,5 мм. При этом = 20x565 = 11 300 мм~.

Коэффициенты этого уравнения, представленного в канониче­ ском виде, равны:

А = 3 ( е - ho) = 3(289 - 193) = 288 мм;

В = 6 [е(а„Л + а!^ )~ а!,1Ьо- h'j2)]/b = 6[289(11 300 + 41 369) -

17*

259

-4 1 369(193 - 20,5)]/466= 104 101 мм^;

С= - 6 [е(а.И А + А ^оМ т ~ Аи^2{Ьо - и^Щ1Ь =

=-6[289(11 300x193 + 41 369x20,5)-41 369x20,5(193-

-20,5)]/466 = -9 387 291 мм1

Расчет ведем итерациями, принимая хо ~ 70 мм. 1-я итерация

X, —х „	х 1 + А 4 + В х„ + С	70'+288-70ЧЮ4101-70-9387 291		.....
	-------- , .................. .— —70 —		-	—/л,1 /мм,
'	Зх 1+ 2 А х „+ В		3-7042-288-70 +104101
2-я итерация
	х ^ + Ахг + Вх.+С	72,174 288-72,174104101-72,17-938729		!
х,=х, — !— г—!-------------------------------------------------------------------------------------------------------			3-72,174 2-288-72,17+ 104101
' '	Ъх 1+2Ах,+В			'

Принимаем X = хг = 12,16мм. Тогда

5™, = - ^ + (х-А ' / 2 ) 4 , -(Аь-х)а„А , ^ 466:72,16^ +(72,16-20.5)41369-

-(193 - 72,16)11300 = 1984 870 мм ';

^Р (К -х)а ^, 200000(193-72,16)20

Я«/

1984 870

Как видим, расхождение с упрощенным способом расчета дос­ тигает 13,3% в сторону уменьшения а„ а следовательно, и а^гс •

Пример 4.6. Дано: железобетонная колонна с данными из при­ мера 4.2; усилия от постоянных и длительных нагрузок N1 = 450 кН,

М/ =	190 кН-м; усилия от кратковременных нагрузок		= 50,0 кН,
М,н -	50 кНм.
Расчет. Усилия от всех нагрузок равны: N,0, = 450 + 50 = 500 кН,
	М,„, = М, + М,, = 190 + 50 = 240 кНм	= 84,3 кНм
	(см. пример 4.2.),

следовательно, расчет по раскрытию трещин необходим.

260

Из примера 4.2 имеем ко = к - а = 500 - 50 = 450 мм,

300300

а= — ^ = -----= ------= 27,27.

К11

Принимаем упрощенный способ определения напряжения рас­ тянутой арматуры с помощью табл. 4.2 пособия [3].

Определим значение от действия усилий М = М,„, = 240 кНм и Л^= ^;„, = 500кН.

Параметры табл. 4.2 равны:
Д	1232-27,27
а,	--------------- -0,181;
ЪК	400-450

М240

е= 1 1 + ;,/2 -о = І І ^ + 0,5/2-0,05 =

N500

=0,68 м = 680 мм; ~ е/Ао = 680/450 - 1,51.

При	= А^ этим параметрам соответствует			= 0,543. По
формуле (4.42) определяем
	N6	500 000-680^^,^
	ст	-----------------0 ,543 = 333 МПа.
	^ Д Л	1232-450
Аналогично определяем от действия усилий М = 190 кНм и
И, = 450 кН:
	е = -?І-4.;г/2 - а = І?5- + 0,2 = 0,622 м = 622 мм.
	Ы,		450
При е, -	622/450 = 1,38 и а, = 0,181 находим фс^г = 0,48.
	450 000-622-0,48		^
Тогда а,, = ------------------- ^—			= 242,3 МПа.
	1232-450
Значение а^с«. определяем с учетом М = М^гс = 84,3 кНм и
Л^-500 кН:
	є= :!!І2і + /,/2 -^/= ^ + 0 , 2 = 0,370 мм.
	N		500

261

при е, = 370/450 = 0,819 и а, = 0,181 находим		= 0,096.
Тогда
500 000-370	0,096
ст -----------------------------	32 МПа.
1232-450

Проверим условие (4.52), принимая t = 0,68:

а ,- 0 ,8 а ..^ ^242.3 - 0,8,32^ 333-0,8-32

Следовательно, проверяем только продолжительное раскрытие трещин, вычисляя а^гс по формуле (4.23) при а, = а^./ с учетом ф, = 1,4 и ф2 = 0,5 и принимая а„„, = 0,3 мм.

Определяем расстояние между трещинами I, по формуле (4.29). Согласно примеру 4.2 высота растянутой зоны перед образованием

трещин равна к - х	= к{\	= 500(1 -	0,817) = 91,5 мм, что менее
2а = 2 50 = 100 мм. Принимаем Ь - х -			100 мм, и площадь растяну­
той зоны будет равна
Аь, = Ь ( к - х ) = 400x100 = 40 ООО мм1
I = 0 , 5 ^ с1.= 0,5 —— 28 = 454,5 мм >400 мм,
4	■'	1232

принимаем 4 = 400 мм. Согласно формуле (4.24)

У,=	1 _ о, 8 ^ = 1 - 0	. 8 - ^ = 0,907;
		242,3
о „= ф, (ргУ. ^	/ , = 1.4 - 0.5 - 0 , 9	0 7 ^ ^ ^ ^ = 0,308 мм >
		^ии иии

> а,,,1 = 0,3 мм,

т.е. раскрытие трещин превысило допустимое значение.

В целях уточнения значения а^гс определим напряжение а, по формуле (4.40) с заменой Р на. N = 450 кН, а высоту сжатой зоны х

262

определим из решения кубического уравнения (4.39) при е = 622 мм и а ,1 А,= а,,А^, = 27,27x1232 = 33 597 мм^

Коэффициенты этого уравнения, представленного в канониче­ ском виде, равны:

А= 3(е - ко) = 3(622 - 450) = 516 мм;

В= 6[ех2а,1А^ - а,уА,{ко - с/)УЬ -

=6[622х2х33597 - 33 597(450 - 50)]/400 = 425 338 мм^;

С = -в{е{а,\А,ко + а^|^л<з/) -

с/{ко - с/)УЬ =

= -6[622(33 597x450 + 33 597x50) - 33 597x50(450 - 50)]/400 =

= -1,4665x10^ мм1

Расчет ведем итерациями, принимая Хо = /г/2 = 250 мм. 1 -я итерация

+	250Ч 516-250'[phone]-1,4665-10'
Ъх1+2Ах,+В	3 -25042 -516 -250+ 425 338

2 -я итерация

=X	х^+Ах'^.+Вх.+С	13_	241,3'+ 516-241,34425338-241,3-1,4665-10*	—
	—----- - - ‘		— ■--- -- ■- —
^ '	Ъх1+1Ах,+В	’	3-241,3"+ 2-516-241,3 + 425338

= 241,2 ММ иХь

Принимаем X = Х2 = 241,2 мм.

Определяем статический момент приведенного сечения отно­

сительно нейтральной оси:

=33 597(241,2-50)-

-33 597(450 - 241,2) = 11044180;

			^450000(450 - 2 4 1 . 2 ) МП,
"	5,^	”	11044180

263

Как видим, расхождение с упрощенным способом расчета равно 4,25% в сторону уменьшения и, следовательно, можно считать рас­ крытие трещин в пределах допустимого.

Пример 4.7. Дано: связевая плита перекрытия с данными из примера 4.3; изгибающий момент в середине пролета от вертикаль­ ных нагрузок: постоянных и длительных М/ = 41,8 кНм, от кратко­ временных Msh = 6,0 кН.

Расчет. Согласно примеру 4.3:

ко = И -а = 300 - 45 = 255 мм; А 'оу - Ф/-Ь)И'[ =

= (722-70)50 = 32 600 мм";

а,, = —	= —	= 16,2; а ,|Л = 16,2x491 = 7962 мм".
К,	18,5
Момент от всех вертикальных нагрузок
М,ог = 41,8 + 6 ,0		= 47,8 кНм.

Момент от всех нагрузок, включая силу Н, приложенную к ниж­ ней грани ребра, относительно центра тяжести сечения определяется по формуле

Тогда момент от этих нагрузок относительно оси, проходящей через центр тяжести арматуры, равен

М, = М - Ы(ко - 7 ц) = + Щк - ко) = 47,8 + 50x0,045 = 50,05 кНм.

При этом усилие Р не учитьшаем, поскольку esp~0.

применим упрощенный способ определения напряжения растя­ нутой арматуры с помощью табл. 4.2 пособия [4].

Определим значение а, от действия всех нагрузок, заменяя Р на

Р- М = 100 кН. Параметры табл. 4.2 равны:

е= МДР - ЛО = 50,05/(150 - 50) = 0,5055 м = 505,5 мм;

=е//?о = 505,5/255 = 1,982;

а, = а .ц, = а,Л, =	---------7962 = 0,446;
ЬК	70-255

264

А	32600 ,
Ф, = — =	--------- 1,826.

^bh, 70-255

Этим параметрам соответствует ^ = 0,815. По формуле (4.41) оп­ ределяем

M J ( ; h , - P + N		50,05-lO V (0,815-255)-100ООО
а . = ---------	----------- =	-------------------- ----	------------------- = 286,8МПа.
Аналогично определяем ст^/ от			М/ = 41,8 кН, принимая = О,
При еe^, == — —= —		= 1,093, а, = 0,446 и ф, = 1,826
^	' РКPh, 150-0,255 ’ ’ ^		’

находим Ç = 0,82.

Тогда

М, 41,8.10-/(0,82.255)-150ООО ^

Л

491

Значение Gs,crc определяем при моменте образования трещин от­ носительно нейтральной оси согласно примеру 4.3, равном Мск -

-29,55x10^ Нмм.

Тогда этот момент относительно оси, проходящей через центр тяжести арматуры, равен

М, = М „ - N{ho - х ) = 29,55x10* - 50 000(255 - 193,9) =

= 26,5x10'’Нмм,

где x - h ^ "	300x0,6464 = 193,9 мм (см. пример 4.3);
т ,		=265 мм; е, = e/ho = 265/255 = 1,04,
е
P - N		100000
по табд. 4,2 пособия [4] находим - 0,825,
а ,	^	26,5аоУ (0,825-255)-100000

Поскольку значение су^/ существенно меньше су^, проверяем только непродолжительное раскрытие трещин, определяя Осгс по формуле (4.51).

265

Определим расстояние между трещинами, принимая высоту рас­ тянутой зоны /г - X = 300 - 193,9 = 106,1 ми >2 а = 90 мм, при этом

h - x < 0,5Л =		150 мм, оставляем h - x			= 106,1 мм. Учитывая, что
h - x >	h f - 90 мм, площадь растянутой зоны определяем по формуле
	= b{h-x) + {bf- b)hf= 70x106,1 + (85 - 70)90 = 8777 мм^;
	A		R ill			= 250 мм;
I =0,5— с/ = 0,5------25 = 223,4 мм, что меньше 10
^	А	'	491
принимаем 4		= 250 мм.
Согласно формуле (4.24)
		V	= 1 - 0,8—	= 1 - 0,8-^?^ = 0,852.
			ст,		286,8
Определяем значение ûcrc.i, принимая ф1 = 1,0 и (р2 = 0,5:
	о „ , =(р,ф,ш — г, =			0 ,	5 - 0 , = 153мм;
	.„2	TIT2V, ^ .			200000
	1 + 0,4		= 0,153		286,8-0,8-52,9^	= 0,168 мм <
		ст, - 0 ,8 с т , ^.„.
Clerc - 0,4		мм, т.е. раскрытие трещин в пределах допустимого.
В	целях	сопоставления		определим направление		«точным»

способом, т.е. по формуле (4.40), принимая Р = 100 кН, а высоту сжатой зоны х находим из решения кубического уравнения (4.39) с заменой A's на. А о у ^ а 'н а к '/2 = 25 мм при е = 505,5 мм.

Коэффициенты этого уравнения, представленного в канониче­ ском виде, равны:

А = 3{е- ho) = 3(505,5 - 255) = 751,5 мм;

В = 6[e(asiAs + А 'оу) - А U h - h'/2)]/b=

= 6[505,5(7962+ 32 600) - 32 600(255 - 50/2)]/70 = 1 114 808 мм^;

С = - 6 [е{а,Л К +А Щ - А у2(Ао - h 'Д)УЬ =

-6[505,5(7962x255 + 32600x25) - 32 600x25(255 - 25)]/70 =

=1,0722x10^ мм \

266

Расчет ведем итерациями аналогично примерам 4.5 и 4.6. В ре­ зультате имеем X = 90,5 мм.

Тогда

=~ + А . 2) - а„Д,(ка-х) = +32 600(90,5 - 25) - 7962(255 -

-90,5) = 1112 210 мм^

^ £ ( ^ ^ ^ 0 0 0 0 0 (2 5 5 -9 0 .5 )^

1112 210

Расхождение с упрощенным способом расчета достигает 16,4% в меньщую сторону. Это объясняется неточностью определения зна­ чения в связи с выходом параметров еі и а^. за пределы таблицы.

Пример 4,8. Дано: нижний пояс безраскосной фермы с данными из примера 4.4; максимальные усилия: от постоянных: и длительных нагрузок Мі = 17,9 кНм, N1 = 540 кН, от кратковременных нагрузок

Msh = 2,0 кНм, Nsh~ 6,0 кН.

Расчет. Согласно примеру 4.4:

к о = к - а = 240 - 40 = 200 мм;

	= ™ = М		= 13,64;	а „ ^ ,= а ,,4 ! =13,64-763 = 10405 им \
	^ьп	2 2
	Усилия от полной нагрузки
	М = М +	= 17,9 + 2,0 = 19,9 кНм,
	Л/'= =^Nl +Nsh = 540 + 60 = 600 кН.
	Поскольку
	N = 600 кН > Р = 500 кН, проверим условие (4,45), принимая
	7 ц = Ш -240/2 = 120 мм,
	е,р = кІ2-а=-		240/2-40 = 80 мм;
^	М +К у ^ - Р { К ~ 19,9• 1 0 Ч 600-10^ • 120-500-10'(200-80) _
^ “	Ы ~ Р		~	(600-500)10'
			= 319мм > \ = 200 мм.

т.е. при действии полной нагрузки имеет место 1 -й случай растяже­ ния.

Определим напряжение в растянутой арматуре упрощенным способом, т.е. по формуле (4.48), принимая

е = е^-йо = 3 1 9 -2 0 0 = 119 мм.

267

	а . = N - P	l,2 e + 1	= 224,6 МПа.
	[	ho	763
	Определим напряжение ст^/ от действия усилий М1 =17,9 кНм и
	N1 =540 кН. Поскольку N1 >Р, проверим условие (4.45)
,	17,910‘ + 540 10’ 120 - 500-10’ -120
е	= —^	^	— -------— = 567,5 мм > йо = 200 мм,

(540-500)10^

т.е. при действии постоянных и длительных нагрузок также имеет место 1-й случай растяжения. Тогда при е = 567,5 - 200 = 367,5 мм

= (540-500)10' ,1,2-367,5 + 1 = 136,6 МПа. 763 1 200

Определим напряжение <у^.сгс от действия момента Mere, равного согласно примеру 4.4 Mere = 2,84x10^ Нмм, и N - Р = 100 кН. Прове­ рим условие (4,45)

2,84-10ЧбОО-10М20-500-10'-120		_
^	--------------------- ------------------= 148,4 мм < йо = 200 мм,
	100- 10'

т.е, имеет место 2 -й случай растяжения и значение Ug,erc определяем по формуле (4,49), принимая

,	М	2,84-10‘	,
«	= - + > '„ - а = - ^ 3 ^ + 1 2 0		- 40 = 84,7мм.
Ne‘		600-10'-84,7-500-104200-40-80)

=АЛК -а') = ---------------763(200-40)-------------- =

Проверим условие (4,52), принимая t = 0,59, поскольку при ар­ матуре класса А800 аг^и " 0,3 мм,

ст,^-0,8ст,,„. 136,6-0,8>88.6

0,428 </=^0,59,

"' 224,6-0,8-88,6

268

т.е. проверяем только непродолжительное раскрытие трещин, опре­ деляя Qcrcпо формуле (4.51).

Определим расстояние между трещинами 4 по формуле (4.29). Поскольку согласно примеру 4.4 перед образованием трещин все сечение растянуто, принимаем Аь, = bh = 220x240 = 52 800 мм^.

Тогда

А				8 0 0
4 - Q,5— d^ =0,5--------				18 = 622,9 мм >400мм,
А,				763
принимаем 4 = 400 мм.
Согласно формуле (4.24)
\|/, = 1 ^ 0 ,8 - ^ = 1 - 0 , 8 - ^					= 0,684.
			а,	224,6
Определяем ширину раскрытия трещин					принимая ф1= 1,0 и
ф2 = 0,5;
^.2 Y1Y2Y., ^	^	‘	=0,5-0,684^2^4-400 = ОД54 мм;
				2 -10^

= ОД 540 +0,4• 0,428) = ОД 8 ММ < Quit = 0,3 мм,

Т.е. раскрытие трещин в пределах дoпyctимoгo.

В целях сопоставления определим напряжение а, «точным» спосо­ бом, т.е. по формуле (4.40), с заменой Р и М-Р. При этом высоту сжатой зоны Xнаходим из кубического уравнения, принимая е = -119 мм.

Коэффициенты этого уравнения, представленного в канониче­ ском виде, равны:

А = 3 ( е - //о) = -3(119 + 200) = -957 мм;

В = 6 [е(а,1А, + а ,! ^ ) - а ,,^ (й о - ^ /)]/6 = -6[119x2x10405 + + 10405(200-40)]/220 = -112 941;

С = - 6 [е(а,1^ А + а^1А ^ ) - a,l^V (/гo- ^)УЬ =

=6[119(10 405x200 +

+10 405x40) + 10 405x40(200 - 40)] / 220 = 99 206 945.

269

Расчет ведем итерациями аналогично примерам 4.5 и 4.6. В ре­ зультате получаем X = 59,7 мм.

Тогда

т 2 ТТЛ со 7 2

- ^ ) = ^ - 7 ^ + 1 0 4 0 5 ( 5 9 . 7 - 4 0 )

- 10 405(200 - 59,7) = -863 010 мм^

(ЛГ-/>)(/^-х)а., 100000(200-59,7)13,64_,,^^д^д^^

- 5 ^

863 010

Расхождение с упрощенным способом 1,3%.

4.3. Расчет железобетонных конструкций по деформациям

4.3.1. Предельно допустимые прогибы

Ограничение прогибов железобетонных конструкций связано с необходимостью обеспечения условий для нормальной эксплуата­ ции зданий и сооружений, в которых эти конструкции использованы.

Предельно допустимые прогибы установлены в СНиП 2.01.07-85 для конструкций из любых материалов исходя из следующих требо­ ваний:

а) технологических (обеспечение нормальной эксплуатации раз­ ного рода технологического оборудования);

б) конструктивных (обеспечение целостности примыкающих ;фуг к другу элементов и их стыков, обеспечение заданных уклонов);

в) физиологических (предотвращение вредных воздействий и ощущений дискомфорта при колебаниях);

г) эстетико-психологических (обеспечение благоприятных впе­ чатлений от внешнего вида конструкции, предотвращение ощуще­ ния опасности и дискомфорта).

Примером ограничения прогибов по технологическим требова­ ниям может служить назначение предельных прогибов для подкра­ новых балок, равных //400-//600. При больших прогибах нарушается плавность движения крана и ухудшается самочувствие крановщиков, так что эти предельные прогибы обусловлены также и физиологиче­ скими требованиями.

270

в качестве конструктивных требований можно указать ограни­ чение прогибов зазором между нижней плоскостью конструкции и расположенной под ней перегородкой в целях недопущения ее по­ вреждения. в СНиП 2.01.07-85 этот зазор рекомендуется принимать не более 40 мм.

В общем случае конструктивные требования к вертикальным прогибам должны определяться конкретными условиями примыка­ ния перегородок и иных элементов в процессе проектирования не­ сущих и ограждаюпщй конструкций.

Конструктивные требования выражаются также в ограничении горизонтальных перемещений перекрытий каркасных зданий от вет­ ровых нагрузок и температурно-климатических воздействий в целях обеспечения целостности заполнения каркаса перегородками, стена­ ми и т.п. Эти ограничения зависят от типа креплений перегородок к конструкциям каркаса, от материала перегородок и стен и выража­ ются в назначении предельных перекосов этажных ячеек каркаса Ык-з, равных 1/300-1/700 (здесь Л - относительные перемещения пе­ рекрытий в пределах этажа, к-з - высота этажа).

Физиологические требования к предельным прогибам выража­ ются в основном назначением предельных значений вибропереме­ щений, виброскорости и виброускорений в соответствии с

г о с т 12.1.012-90.

Кроме того, физиологические требования связаны с ограничени­ ем вибрации перекрытия, вызванной перемещениями людей. Осо­ бенно это относится к перекрытиям под танцевальными залами, а также к конструкциям, не связанным с соседними элементами (на­ пример, лестничные марши).

Эстетико-психологические требования к прогибам относятся ко всем конструкциям покрытий и перекрытий, открытым для обзора. Эти требования выражаются в ограничении относительных прогибав fil значениями 1/150-1/300 в зависимости от величины пролета. При этом за пролет принимается видимый продольный размер элемента. В частности, если поперек пролета установлены капитальные пере­ городки, то за пролет принимается расстояние между этими перего­ родками или между перегородкой и несущей конструкцией, и тогда линия отсчета прогиба должна соединять верхние точки этих конст­ рукций.

Если конструкция имеет строительный подъем, то видимый про­ гиб будет равен фактическому прогибу, уменьшенному на этот строитёльный подъем. Тогда предельное значение прогиба может быть увеличено на размер строительного подъема.

271

При определении прогибов, подлежащих ограничению, следует учитывать нагрузки, зависящие от требований, вызвавших эти огра­ ничения. В частности, при ограничении прогибов по эстетико­ психологическим требованиям прогибы определяются при действии только постоянных и длительных нагрузок, т.е. допускается кратко­ временное превышение прогибов сверх допустимых по этим требо­ ваниям. При этом прогиб отсчитывается от прямой, соединяющей точки опирания конструкций, т.е. выгиб, вызванный предваритель­ ным обжатием, не учитывается.

При проверке прогибов подкрановых балок учитывается только нагрузка от одного крена, поскольку ограничение прогиба связано с движением одного крена.

При ограничении прогиба зазором между конструкцией и ниже­ расположенной перегородкой учитываются нагрузки, приложенные только после установки перегородки.

Кроме того, во всех случаях, вертикальные прогибы от всех на­ грузок не должны превышать 1/150 пролета или 1/75 вылета консо­ ли. Это связано с тем, что при допущении таких или больших проги­ бов от действия нормативных нагрузок при рассмотрении ситуации расчета по прочности, т.е. при действии расчетных нагрузок и при расчетных характеристиках материалов, прогиб может возрасти до 1/50 пролета, что оценивается как исчерпание прочности.

4.3.2. Общие положения по определению прогибов

Прогибы железобетонных конструкций определяются по общим правилам строительной механики в зависимости от изгибных, сдви­ говых и осевых деформационных характеристик железобетонных элементов.

Для большинства элементов прогиб в основном зависит от из­ гибных деформаций, и поэтому такие прогибы в общем случае опре­ деляются по формуле

/

м.

dx,

(4.53)

где - изгибаюпщй момент в рассматриваемом сечении от дейст­

вия единичной силы, приложенной в сечении, для кото­ рого определяется прогиб, в направлении этого прогиба

(рис. 4.15)-,

272

Ґ ^ Л

- кривюна в рассматриваемом сечении от внешней нагрузки.

\ ' /д

Рис. 4.15. К определению прогиба,		М
	вызванного изгнбными
	деформациями:
а -	схема при действии единичной
силы и соответствующая эпюра М;
б -	схема при действии внешней
нагрузки и соответствующая эпюра
(1/г)

В связи с наличием трещин и неупругих деформаций бетона функцию п невозможно представить в виде аналитической зави-

симости от внешнего момента, и поэтому интегрирование по форму­ ле (4.53) можно реализовать лишь приближенным способом.

В этом случае элемент разбивается на ряд участков, на границах которых определяются кривизны от действия моментов в этих сече­ ниях при учете наличия или отсутствия трещин и неупругих дефор­ маций бетона и арматуры. Затем, принимая линейное распределение кривизны в пределах каждого участка, производят перемножение

1

эпюр и — , пользуясь известным правилом Верещагина. При

и л

этом чем больше участков, тем выше точность определения прогиба, и поэтому такой «приближенный» способ может быть как угодно точным.

Следует отметить, что для балок постоянного сечения или сим­ метричного очертания (например, двускатные балки) прогиб, опре­ деленный в середине пролета, даже при весьма несимметричном ха­ рактере внешней нафузки, весьма мало отличается от максимально­ го прогиба. Например, при внешней нагрузке в виде одного груза на расстоянии 0,3/ от опоры максимальный прогиб превышает прогиб в середине пролета лишь на 0,5%. Поэтому при любом характере внешней нагрузки можно рекомендовать определять прогиб в сере­ дине пролета, а каждый полупролет разбивать на равное число уча-

18 Заказ 40

273

стков. в этом случае после перемножения эпюр			и	— формула
(4.53) приобретает вид
	/ 1 л	п/2-1
/ =	+	+ " Г + {Ъ п-2 )		, (4.54)
г ,	УОг	/=1		/ с
где "П г о	- кривизна элемента соответственно на левой и пра-
г )г

вой опорах;

( - - кривизна элемента в симметрично расположенных

г ) ’ I г

сечениях / и г (при / = /) соответственно слева и справа от оси симметрии (рис. 4.16);

-п - кривизна элемента в середине пролета;

\Г)о

п - четное число равных участков, на которые разделяют пролет, принимаемое не менее 6 ;

/ - пролет элемента.

Знак кривизны принимается в соответствии с эпюрой кривизны.

			С			0
|	“		1	1	' "		*	1
	11
'	о	г	с	г		0	1	*
	1/п Уп 1/п 1/п Уп 1/п , 1/п 1/п -
		[
		рп	1			/}
(?)о/			Йс	(	J			)(г)ог , >
			/	/
		/	/			к
			1
		1/2		У1

Рис. 4.16. К определению прогиба путем разбивки пролета на п равных участков

274

При отсутствии резких переломов эпюры моментов достаточная точность вычислений прогиба достигается при 6 участках. Тогда при симметричном характере нагрузки формула (4.54) приобретает вид

г-	+ 6" 1 " + 12	+	1	(4.55)
/ = 216	Г)
где " Г	кривизны соответственно на опорах, на

расстояниях 1/6 и //3 от опоры и в середи­ не пролета.

Для консоли без резких переломов эпюры моментов и резких изменений сечения достаточную точность вычисления прогиба сво­ бодного конца можно достичь при 3 равных участках разбивки вы­ лета /. Тогда такой прогиб можно вычислить по формуле

/ =	+ 6	+3	(4.56)
	27		Уг

		—	r n
	yrj 5		1	—
	0
где	го		кг]		- кривизны соответственно в заделке и на рас­

стояниях //3 и 2/3/ от заделки. Определение кривизны приводится в разделах 4.3.3 и 4.3.4.

Для достаточно коротких изгибаемых элементов {l/h <10) по­ мимо прогиба, вызванного изгибными деформациями, заметную роль начинает играть дополнительный прогиб, вызванный сдвиго­ выми деформациями.

Учет таких прогибов при проектировании коротких элементов целесообразно проводить, если имеются жесткие ограничения по конструктивным, технологическим или физиологическим требова­ ниям, поскольку эстетико-психологическим требованиям прогибы таких элементов будут заведомо удовлетворять.

Прогибы, вызванные сдвиговыми деформациями, также можно определять с помощью усилий от единичной силы по формуле

/ =

(4.57)

где - поперечная сила в рассматриваемом сечении от действия

единичной силы, приложенной в сечении, для которого оп­ ределяется прогиб, в направлении этого прогиба;

18*

275

Ух “ угол деформации сдвига элемента в рассматриваемом сече­ нии от действия внешней нагрузки.

Определение значения приводится в разд. 4.3.6.

Поскольку значения ух в пределах длины элемента зависят от на­ личия или отсутствия разного рода трещин, функцию ух невозможно представить в аналитическом виде, и поэтому интегрирование по формуле (4.57) также производится способом, аналогичным интег­ рированию по формуле (4.53).

Для некоторых конструкций прогибы существенным образом проявляются за счет осевых деформаций элементов. Это раскосные и безраскосные фермы, двухветвевые колонны промзданий, колонны связевых панелей и т.п. Для таких конструкций следует дополни­ тельно учитывать прогиб, связанный с удлинением и укорочением отдельных элементов. Этот прогиб также определяется с помощью усилий от единичной силы по формуле

(4.58)

где Ni ~ продольная сила в /-м стержне конструкции от действия единичной силы, приложенной в сечении по длине пролета конструкции, для которого определяется прогиб, в направлении этого прогиба;

Л/, - укорочение (удлинение) І-ГО стержня конструкции на уров­ не центра тяжести сечения стержня от внешней нагрузки, определяемое согласно разд. 4.3.8.

4.3.3.Определение кривизны на участках без трещин

врастянутой зоне

Согласно Сводам правил [1], [2] на участках элемента, где в рас­ тянутой зоне не образуются трещины при действии полной норма­ тивной нагрузки [т.е. выполняется условие (4.1)], в общем случае кривизну определяют на основе нелинейной деформационной моде­ ли, принимая трехлинейную диаграмму гь~<^ь для сжатого и растяну­ того бетона (см. разд. 3.2.3). Эпюры деформаций и напряжений по высоте сечения представлены на рис. 4.17.

Неизвестные значения и х определяются из совместного ре­ шения обоих уравнений равновесия: внешних и внутренних про-

276

дольных	сил и	моментов. Кривизна при этом будет равна
1/г =	- л:),	Определение значений гы и х можно производить

только последовательными приближениями, поскольку характер эпюры растягивающих напряжений бетона, как видно из рис. 4.17, меняется в зависимости от величины момента. Вычисленные таким образом кривизны непропорциональны моментам и, следовательно, жесткость участка без трещин будет переменна и зависеть от момента.

а)		I	б	?	б
	б)			в) £ь<£ы
бь=£ьЕы

	Еы,/	!*—
	уйь-»
	/
/	/ ^ыо	%■
	г \ .	1., .
/	Хи

Рис. 4.17. Эпюры деформаций и напряжений бетона при определении кривизны сечения без трещин изгибаемого элемента:

а - при < е*л; б - при £йй) > £б/> £*/1; в - при гы> £бю

Однако для изгибаемых элементов без напрягаемой арматуры ввиду малой длины участков без трещин влияние жесткостей этих участков на прогиб элемента весьма незначительно, и поэтому для этих участков можно принять жесткость как усредненную, не зави­ сящую от моментов величину.

Для предварительно напряженных изгибаемых элементов уча­ стки без трещин могут быть значительны, но в этом случае высота растянутой зоны бетона обычно весьма мала и, следовательно, мало влияние неупругих деформаций растяжения бетона. Влияние неуп­ ругих деформаций сжатого бетона при этом также мало, поскольку они проявляются при больших напряжениях (а* > 0,6Кь„).

277

Все это позволило в Сводах правил [1], [2] рекомендовать для участков без трещин изгибаемых элементов кривизну определять как для упругого материала, т.е. по формуле

' ^ (4.59)

где жесткость Еы1гес/ определяется по приведенному сечению бетона с коэффициентом приведения арматуры к бетону, равным а = Е^/Еы, здесь Еы - модуль деформации бетона, равный:

при непродолжительном действии нагрузки Еь\ = 0,85^*; при продолжительном действии нагрузки

Е^. =---- -— (фг, сг- коэффициент ползучести бетона, см. гл. 5).

В этом сл)Л1ае при действии всех нагрузок, включая кратковре­ менные, кривизну можно определить как сумму кривизн от постоян­ ных и длительных нагрузок, учитывая продолжительное их дейст­ вие, и от кратковременных нагрузок, учитывая непродолжительное их действие, т.е.

/ 1]_л + л

\Г а

где - кривизна от продолжительного действия постоянных и

1

длительных нагрузок;

/ 11л - кривизна от непродолжительного действия кратковремен-

ных нагрузок.

Для предварительно напряженных элементов в кривизне

отсчитываемой от состояния элемента до приложения каких-либо нагрузок (включая силу Р), следует учитывать кривизну, вызванную

ГО моментом усилия обжатия Реор, и, кроме того, кривизну - , обу-

словленную остаточным выгибом элемента вследствие усадки и пол­ зучести бетона от усилия обжатия в стадии изготовления (т.е. до

278

приложения внешней нагрузки). Значение	определяется по
формуле
" Г		(4.61)
но не менее нуля,

ЕК

где с^г, и а - значения, численно равные сумме потерь предвари­ тельного напряжения арматуры от усадки и ползздгести бетона (см. гл. 5) соответственно для арматуры растянутой зоны и для арматуры, условно расположенной на уровне крайнего сжатого волокна бетона.

Однако считается, что ползучесть бетона, учтенная при действии

момента Рвор в кривизне , частично учтена в кривизне ,И

поэтому в некоторый «запас» принято кривизну "	Г определять без
учета момента Рвор, а кривизну от этого момента	" Г определять,
как при непродолжительном его действии, и суммировать ее с кри-
визнои " Г , т.е. формула (4.60) преобразуется в формулу

/1 \	/1 \	" 1 " " Г	(4.62)
+
		г]
При этом сумму - 1	+	следует принимать не менее кри­

визны от момента Реор при продолжительном его действии.

Если прогиб предварительно обжатого элемента отсчитывается от состояния элемента до приложения внешней нагрузки (например,

при вычислении контрольного прогиба),	то кривизны от выгиба
не учитываются, а кривизна	определяется без учета

собственного веса.

Для внецентренно сжатых элементов участки без треш;ин могут быть значительной длины и, кроме того, влияние неупругих дефор­ маций сжатого бетона на жесткость элемента может существенно

279

возрасти. Поэтому, если деформация наиболее сжатого волокна бе­ тона превышает 8*1 = (ifiRbrJEbu кривизну следует определять по об­ щему случаю расчета.

Для элементов прямоугольного сечения с симметричным арми­ рованием, если выполняются условия N > NrpH М < Мргр, жесткость рекомендуется определять упрощенно, по линейной интерполяции между жесткостью, соответствующей нулевому моменту и равной Do = EbJred, и жесткостью, соответствующей моменту Mere ~ Rbnbh^h и равной Dcrc = Rbnbh^hxXQ^, т.е. по формуле

D = D o - (D o - Dcrc)M/Mcrc, при этом N^p ~ Rbnbht\,

Коэффициенты t\, t2, и t-i определяются по табл. 4.1,

Таблица 4.1

			Кла			Коэффициенты h_ при гг					Коэффициенты h при п
			сс
			бе­	ц%	h	n=ti	0,25	0,35	0,45	0,55	n=t]	0,25	0,35	0,45	0,55
			тона
			В	0,1	0,186	0,066	0,076	0,082	0,081	0,081	0,138		0,110	0,080
	5											0,135			0,057
	0Q		20	0,5	0,196	0,074	0,083	0,093	0,097	0,101	0,155	0,154	0,133	0,106	0,084
				1,0	0,208	0,084	0,092	0,105	0,114	0,122	0,177	0,177	0,161	0,137	0,115
	1			1,5	0,219	0,094	0,101	0,116	0,128	0,138	0,198	0,199	0,187	0,166	0,145
	g	S		0,1	0,205	0,064	0,071	0,079	0,080	0,081	0,115	0,114	0,095	0,071	0,052
	а	W	30	0,5	0,214	0,071	0,077	0,087	0,092	0,097	0,127	0,127	0,111	0,089	0,070
	i	I
				1.0	0,226	0,079	0,083	0,097	0,105	0,112	0,142	0,142	0,130	0,110	0,092
				1,5	0,238	0,087	0,089	0,105	0,116	0,126	0,156	0,156	0,148	0,130	0,102
	1			0,1	0,218	0,063	0,068	0,077	0,080	0,082	0,099	0,099	0.084	0,064	0,049
			40	0,5	0,228	0,068	0,072	0,084	0,090	0,095	0,108	0,108	0,096	0,078	0,062
	6			1,0	0,239	0,075	0,077	0,091	0,100	0,108	0,119	0,119	0,110	0,093	0,079
	к
				1,5	0,251	0,082	0,082	0,098	0,109	0,119	0,130	0,130	0,124	0,109	0,094
	0			0,1	0,241	0,068	0,069	0,083	0,093	0,100	0,044	0,044	0,040	0,035	0,030
	S			0,5	0,290	0,094	0,085	0,105	0,121	0,136	0,061	0,060	0,060	0,056	0,052
	0Q		20
	н			1,0	0,353	0,127	0,102	0,127	0,148	0,167	0,082	0,078	0,082	0,081	0,078
	■1			1,5	0,415	0,161	0,116	0,144	0,169	0,191	0,103	0,096	0,102	0,103	0,102
				0,1	0,243	0,065	0,066	0,080	0,090	0,098	0,039	0,039	0,037	0,032	0,028
	1 1		30	0,5	0,280	0,084	0,078	0,097	0,111	0,126	0,051	0,051	0,050	0,047	0,043
	g g			1,0	.0,327	0,108	0,090	0,113	0,132	0,150	0,066	0,063	0,066	0,064	0,061
	S	и		1,5	0,374	0,132	0,100	0,127	0,149	0,169	0,080	0,075	0,080	0,079	0,077
				0,1	0,244	0,063	0,064	0,078	0,089	0,097	0,037	0,035	0,035	0,031	0,027
	1		40	0,5	0,274	0,079	0,074	0,091	0,106	0,120	0,046	0,046	0,045	0,042	0,038
				1,0	0,312	0,097	0,83	0,105	0,123	0,139	0,057	0,055	0,057	0,054	0,052
				1,5	0,350	0,116	0,92	0,116	0,137	0,156	0,068	0,065	0,068	0,067	0,064

280

в табл. 4.1
п ~ ~ Л . ,	м=4и.100% t -	t ~	t
R^bh'	^ bh'■ R^bh’	‘^ -R ^ bh ^ ’ ' ' -	RJh^ ■

Здесь значение Еы принимается равным Е^ при непродолжи­ тельном действии нагрузки и равным Еь1{\ + ц>ь.сг) - при продолжи­

тельном действии нагрузки.
N	соответствует внутренней продольной
Коэффициент /, = —
K b h

силе iVrp при деформациях бетона в крайних волокнах є^і и гьа- Ко­ эффициенты ti и h определялись следующим образом:

Сначала при наибольшей деформации растяжения бетона Вьа из условия равновесия продольных сил определялась наибольшая де­ формация бетона сжатию є*; затем по деформациям выг и єг, и внеш­ ней силе N определялся внутренний момент относительно оси, про­ ходящей через центр тяжести сечения Mere ~ Rb„bh~t2, и тогда

е*+е*,2’

При учете продолжительного действия нагрузок принималась нор­ мальная относительная влажность окружающего воздуха (40-75%), т.е.

Єбо ”3,4’10'^; EbtQ"0,24’10'^; Вьа- 0,ЗМ0'^ а при бетоне классов В20, ВЗО,

В40 значения фб.ег, равные соответственно 2,8; 2,3; 1,9.

Если N < //гр> кривизну можно определять по формуле (4.59).

43,4, Определение кривизны на участках с трещинами врастянутой зоне

Определение кривизны на участках с трещинами в общем случае сводится к определению деформации крайнего сжатого волокна бе­ тона е^, и высоты сжатой зоны д: из решения уравнений равновесия внешних и внутренних усилий на основе нелинейной деформацион­ ной модели, аналогичной принятой при расчете по раскрытию тре­ щин, т.е. когда для сжатого бртона принимается двухлинейная диа­ грамма а сопротивление растянутого бетона не учитывается. При этом дополнительно учитывается следующее:

281

а) в диаграмме аь~£ь учитывается продолжительность действия нагрузки при расчете на действие только постоянных и длительных нагрузок;

б) за деформацию растянутой арматуры, соответствующую ли­ нейному распределению деформаций по высоте сечения, принимает­ ся усредненная деформация арматуры в пределах между трепщнами, равная где 8^ - деформация арматуры в сечении с трещи­ ной, напряжение которой соответствует условию равновесия внещ­ них и внутренних усилий, \|/^ - коэффициент, определяемый по фор­ муле (4.24) (рис. 4.18).

Рис. 4.18. К определению кривизны для участка с трещинами изгибаемого элемента:

а—схема сечения; б —эпюра усредненных деформаций арматуры и бетона;

в—эпюра напряжений в сечении с трещиной

Для сечений произвольной формы уравнения равновесия рещаются последовательными приближениями аналогично общему слу­ чаю расчета по раскрытию трещин. При этом, поскольку напряжение

арматуры в трещине	зависит от коэффициента \|/^, который, в свою
очередь, зависит от	то согласно уравнению
	Е	имеем	+ 0,8а^,сгс-
ст =8 —^ = 8 -------- ^------
“ V. “ 1-0,8ст_/ст,

Для изгибаемых элементов без предварительного напряжения прямоугольного, таврового и двутаврового сечения значение х мож­ но определить аналитически из уравнения равновесия продольных усилий.

Составим это уравнение для сечения с полкой в сжатой зоне. Согласно рис. 4.18 в при Н ~ Оимеем

282

I	X		М ' = = » —		— 4 .	(4.63)
			X	;с	\}/^
где А'^ = {У /- Ь)к'^ {сш.рис. 4.10, а).
Исключая Еь и принимая			Е		Е
			а^, = — ^	и аз, = ----- — , получаем
			Еь,ге(1
квадратное уравнение с неизвестным х
^	+ (х - /г| /	+ { х - а ' )а„		= {к^ х ) а ^ А •
Решение этого уравнения имеет вид
х =^ 2 ^ + 2(а,,ЛЛ„ + а„Л 'а' +				/ 2 ) / Ь - 2 ,		(4.64)
где г = ( а ,,4	+ а„А' + А^,)/ Ь.

Если при этом значение х оказывается меньше высоты сжатой полки й/, то значение х следует снова вычислить как для прямо­ угольного сечения шириной Ь = Ь/. Для таврового сечения с полкой в растянутой зоне (см. рис. 4.10, б), если к - х < к/, значение х снова вьиисляется по формуле (4.64) при Ь = Ь/, А оу = ~(Ь/ - Ь){к - к^ и, k 'f= k - k f .

.Значение Еь определяется путем решения уравнения равновесия моментов. Это уравнение имеет вид

т ■п е/ ■Еь,г«14Л^ - а; / 2) + е , ^ ^ Е , А ‘, ( х - а ' ) +

+ Е ..^ ^ А . ( К - х ) = М.

Откуда

____________________М х / Е , ^ ____________________

^ +{ х - к ' / 2 )^Л1, + ( х - а ' У а , Х +( К - х ) - а ^ Л

283

Как видим, знаменатель представляет собой момент инерции
приведенного сечения относительно нейтральной оси Ired при коэф­
фициентах приведения для сжатой и растянутой арматуры соответ­
ственно а ^1 и а^2- Это справедливо для сечений любой формы.
Отсюда кривизна равна
1 =	.	(4.65)

Здесь следует отметить, что в отличие от расчета сечений без
трещин жесткость Eb.redred зависит от момента, поскольку расчет ве-
			М
дется с учетом коэффициента \f/^ =1-0,8—
			М
Анализ графиков М - —, построенных по приведенным форму-
	г
лам для сечений с различными значениями				ц / = а о^+ а^1|л^ и
5 = -^	bh^	Ыц	bh„	(гдеa , = h 'f/
К
а^=а'), показал, что при М > Мсгс приращение кривизн
практически	пропорционально	приращениям		моментов. Эта бли­

зость зависимости М - — к линейной была положена в основу уп-

г

рощенного способа определения кривизн, приведенного в пособии [3]. Отмеченную связь можно выразить формулой

1 " Г

г Ч' в

где ~ - кривизна от действия момента Мегс, определенная как для

г)„.

сечения с трещиной;

В = tga ” величина, характеризующая наклон зависимости М - -

г

к оси кривизн {рис, 4,19),
Вычисленные для различных сечений величины В = ^	^ ”
	/ <\
г

оказались мало зависимыми от моментов. Эту величину удобнее все­ го выражать через армирование в виде формулы

284

5 =
где ф1 - коэффициент, зависящий от	и ц/при постоянном зна­

чении 5 = 0,15 и приведенный в табл. 4.5 пособия [3].

Рис. 4.19. Упрощенная зависимость момент-кривизна при расчете изгибаемых элементов без напрягаемой арматуры

Для большей простоты вычисления кривизны — формулу (4.66)

		1 м - м ,		г
	решено представить в			где величина
		виде —= -------- L
		г	в

М\ = Мсгс - В{11г)сгс представляет собой отрезок, отсекаемый на оси

моментов продолжением зависимости М — .

г

Эту величину, сильно связанную с моментом Мсгс, решено выра­ зить через (p2bh^Rbt.n, где коэффициент ф2 весьма мало зависит от ар­ мирования, но существенно от размеров сжатых и растянутых полок,

т.е. от коэффициентов / и Ц/ = А . Коэффициенты ф2 в округлен- bh

ном виде приведены в табл. 4.6 пособия [3].

Таким образом, упрощенная формула для кривизны изгибаемых элементов без предварительного напряжения имеет вид

(4.67)

Г

285

Для изгибаемых предварительно напряженных элементов урав­ нение равновесия продольных сил при наличии полки в сжатой зоне имеет вид, аналогичный уравнению (4.63) с добавлением к правой ее части усилия обжатия Р. В таком уравнении исключить неизвестное Еь нельзя, И поэтому значение X определяется из совместного реше­ ния обоих уравнений равновесия.

Из уравнения равновесия продольных сил имеем

^ь Е ,^ = Т -г ------------------------------------------------------------ ■ (4.68)

^+ (;с- а; / 2 ) < + (X - а 'К ,Л ' -

Здесь знаменатель правой части представляет собой статический момент приведенного сечения относительно нейтральной оси Згес/ при коэффициентах приведения для арматуры 5"и 5" соответственно

а ^1 и а ,2 =

Поскольку, как видно из рис. 4.11 и 4.18, расчетные схемы уси­ лий в сечении при определении кривизны и при расчете по раскры­ тию трещин отличаются друг от друга только заменой Es на EJvfs, т.е. заменой коэффициента приведения при арматуре 5" а ^1 на а^2, вы­ сота сжатой зоны X определяется из кубического уравнения, анало­ гичного уравнению (4.39), т.е. из уравнения

бх' /3 + (;с-А; /2)^ ^ Х х -а ^ )^ а ,Д Ч (/|о - х )^ а ,л = е-/г„+х,(4.69)

ЬхЧ2 + { х - к ' 1 2 )А1^+ (х -		~~
где е =М/Р ± esp = м /р .
Это уравнение решается методом Ньютона.
Из уравнения (4.68) следует, что кривизна равна
	1 _ е . _	Р	(4.70)
		Еь,гес1^гес1
Коэффициент	необходимый для определения as2, вычисляет­
ся по формуле (4.24), как при расчете по раскрьггию трещин.

Анализ графиков М - — для предварительно напряженных сече-

г

ний не выявил пропорциональность приращений кривизн и момен­ тов, и поэтому упростить вьшисление кривизны было решено путем

286

определения жесткости сечения по формуле ^ М 1 Еь,гес1, где фс - ко­ эффициент, определенный по табл. 4.5 пособия [4].

Табличные значения коэффициента ф^ вычислялись по формуле,

полученной из приравнивания формулы (4.70) величине			^
	M J P	,
т-е- Ф с-7 - %		к,
	^red ' ^red
где к = I ,J b h \ = 4 V3 + (% -8 )V /+ (1 -
^ =xthQ,
5 = У/Шо, при Л 0V= О	5 = с//ho,
„/	_ 4 v + a . i 4 -

М -/ -

ЪК

А

ЬК

а используя принятые относительные характеристики, можно запи­ сать

Ф =	е / \	,
	--------2----	к,

где значение ^ определяется из решения кубического уравнения

^У З + (^ -5 )У ;+ (1 -^ )Ч 2 ^ ^ ,	в ^
^ ^ 2 + (^ -5)ц ;-(1 -^)а ,.зИ ,	К

Как видим, значение фс зависит от четырех параметров а^гЦд-, Ц/,

—-и о.

к

Поскольку значение 5 обычно меняется в узких пределах, таб­ личные значения фс вычислены в зависимости от первых трех пара­ метров при постоянном значении 5 = 0,15. При этом оговорено, что пользоваться упрощенным методом определения кривизны можно при /г/ < 0,3ho и с/ < 0,2ho, поскольку при больших значениях b'f я а кривизны будут иметь существенную погрешность в сторону зани­ жения.

287

Для внецентренно сжатых элементов определение кривизны аналогично определению кривизн для предварительно напряженных элементов, при этом Р заменяется на продольную силу N, а выраже­ ние e - h o + X в уравнении (4.69) на M/N ->* 4 + х, где М - момент из статического расчета конструкции относительно оси, проходящей через центр тяжести бетонного сечения, >^ц - расстояние этого центра тяжести от сжатой грани элемента.

Поскольку внецентренно сжатые элементы в большинстве пред­ ставляют собой колонны (стойки) прямоугольного сечения с сим­ метричным армированием, приведем кубическое уравнение для оп­ ределения высоты сжатой зоны.

ЬхЧЗ+ (х-аУа^А + (К-^У^х2А	К~а ^^
Ьх^ 1 2 +{ х - а )а ^ А ~ (^о “	^ ^

Это уравнение можно решать вышеуказанным методом Ньюто­ на, принимая

А ===3(6- йо);

В - 6 [e(aszAs + а ^ Л ) - а^]Л(/го- «)]/Ь;

С = -b[e(as2A^ho +		- а^\А^а{ко - а))\1Ъ,
М	К - а
где е -----	+—-----.
N	2

Следует отметить, что определение кривизн для внецентренно сжатых элементов в целях проверки их прогибов, как правило, не является актуальным. Кривизны таких элементов могут использо­ ваться для определения жесткостей участков этих элементов, равных

М/~ при расчете рам с учетом физической нелинейности с исполь-

г

зованием компьютерных программ. В этом случае деформации сжа­ тия бетона могут превысить-значение гьх.гы, и, следовательно, следу­ ет учитывать трапециевидную эпюру сжимающих напряжений и ис­ пользовать ее вплоть до достижения крайней деформацией бетона значения 8й2.

Таким образом, принятая деформационная модель позволяет оп­ ределять жесткость сечения при любых моментах вплоть до пре­ дельных по прочности, что отсутствовало в прежних нормах.

288

кривизны внецентренно растянутых элементов при приложении продольной силы N вне рабочего сечения (см. рис. 4.12), т.е. при вы­ полнении условия

e'=M/N +y^>ho,

(4.71)

определяются аналогично определению кривизны внецентренно сжатых элементов с заменой N на -N.

В условии (4.71) М - момент внепших сил из статического расчета конструкции относительно оси, проходящей через центр тяжести бе­ тонного сечения и отстоящей от сжатой грани на расстояние ^ц.

При наличии напрягаемой арматуры и Р > кривизна определя­ ется так же, как кривизна изгибаемого элемента с заменой Р на P-N

M ± P e ^ ^ - N ( h , - y J

и при е = -------------------------^ .

P - N

При > Р и приложении равнодействующей N-P вне рабочего

сечения, т.е. при выполнении условия
. М +	- Р(йо -	)	(4.72)
	^	> к ,
	N - P	^

кривизна определяется так же, как кривизна изгибаемого элемента при значении е в уравнении (4.69), равном е = ho - е^, к с заменой в формуле (4.70) Р на P-N. При этом кривизна всегда будет больше нуля, поскольку статический момент Sred в этом случае всегда менее нуля.

При расположении силы N или равнодействующей N -P в преде­ лах рабочего сечения, т.е. при невьшолнении условия (4.71) или (4.72), весь бетон сечения оказывается в растянутой зоне и поэтому в расчете не учитывается. В этом случае кривизна определяется как разность деформаций арматур S и S^, деленная на расстояние между ними (рис. 4.13), т.е.

1

у .

^4 731

^Ль-о' £. К - а ' ’

где Gs - напряжение в арматуре S, определяемое по формуле (4.48)

или (4.49);

а 4 - напряжение в арматуре Sf, определяемое в общем случае по формуле

19 Заказ 40

289

		(4,74)
здесь е = Йо->’ц - MIN.	=	и осевым
Для элемента с симметричным армированием
обжатием напрягаемой арматурой [т.е. при е^р = (h	- а )/2 ] формула

(4.73) преобразуется следующим образом:

			1	М\|/,
			г	Е А ( К - а У / 2
и		Эта формула наглядно показывает, что жесткость такого сечения
	равна жесткости сечения всей арматуры в упругой стадии, т.е.
т.	=	Е 1	г
В			, где Л - момент инерции сечения всей арматуры.

Вышеперечисленные формулы для определения кривизны при наличии сжатой зоны бетона получены исходя из линейного распре­ деления напряжений сжатия бетона, т.е. при гь < Чх.геа- Однако, как показал анализ, моменты от нормативных нагрузок, как правило, не вызывают деформации сжатого бетона более Вь\.гес1- Поэтому при оп­ ределении прогибов можно всегда пользоваться вышеприведенными формулами. Но при расчетах рам с учетом физической нелинейности при вьшислении кривизн следует учитьтать возможность деформа­ ций бетона, превышающих &ь\.геа, в виде учета трапециевидной эпю­ ры напряжений сжатого бетона. Такой учет приводит к существен­ ному увеличению кривизн (уменьшению жесткости) по сравнению с вьшисленными, как указано выше, кривизнами.

Поскольку для участков элемента с трещинами отсутствует про­ порциональность между моментом и кривизной, при действии всех нагрузок, включая кратковременные, определить кривизну как сум­ му кривизны от продолжительного действия постоянных и длитель­ ных нагрузок и кривизны от непродолжительного действия кратко­ временных нагрузок нельзя. В этом случае исходят из того, что при­ ращение кривизны от кратковременных нагрузок при непродолжи­ тельном действии предшествующей нагрузки равно этому прираще­ нию кривизны после продолжительного действия предшествующей нагрузки, что выражается формулой

290

(4.75)

где "1" кривизна от продолжительного действия постоянных и

длительных нагрузок;

- кривизны от действия всех нагрузок соответственно

/2

при учете продолжительного и непродолжительно­ го действия нагрузок.

Для предварительно напряженных элементов в кривизне, отсчи­ тываемой от состояния элемента до приложения каких-либо нагру­ зок (например, при оценке прогиба по эстетико-психологическим

требованиям), следует учитывать кривизну — , обусловленную

Уг],

остаточным выгибом элемента вследствие усадки и ползучести бе­ тона от усилия обжатия в стадии изготовления и определяемую по формуле (4.61). Поскольку эта кривизна во всех трех кривизнах формулы (4.75) одинакова, достаточно эти кривизны вычислить без

Г о

учета кривизны — , но добавлять в правую часть этой формулы

значение - " Г

4.3.5. Упрощенные способы определения прогибов

Для большинства случаев определение прогибов может быть существенно упрощено, в практике проектирования широкое при­ менение находит так называемый расчет по минимальной жесткости. Он состоит в том,, что для элементов постоянного сечения, имеющих трещины на каждом участке, в пределах которого изгибающий мо­ мент не меняет знака, кривизну допускается определять для наибо­ лее напряженного сечения, принимая ее для остальных сечений та­ кого участка изменяющейся пропорционально значениям изгибаю­ щих моментов {рис. 4.20). Такой подход при расчете изгибаемых элементов без предварительного напряжения дает достаточно точ­ ный результат и рекомендуется Сводами правил [1], [2].

19*

291

Рис. 4.20. Эпюры изгибающих моментов и кривизн в железобетонном элементе постоянного сечения:

а - схема расположейия нагрузки; б —эпюра моментов; в - эпюра кривизн

Для предварительно напряженных изгибаемых элементов, у ко­ торых участки без трещин занимают значительную часть длины, по­ грешность увеличивается, однако и для них во многих случаях рас­ чет по минимальной жесткости позволяет с некоторым запасом удовлетворительно оценить прогибы.

в соответствии с этим подходом для свободно опертых и кон­ сольных элементов прогиб определяется по формуле

	/ = 5'/-	(4.76)
где	- кривизна в сечении с небольшим изгибающим моментом;
5* -	коэффициент, приведенный в Сводах правил [1], [2] и в
	табл. 4.3 пособий [3] и [4].

Значения коэффициента 5 были определены из приравнивания

прогиба по формуле (4.76), где величина "-О заменена на Маах/Е1. и Ужа,

И прогиба по формуле строительной механики.

Например, для балки при равномерно распределенной нагрузке д

0^2	5	д1\
Е1	384	Е1 ’

292

		384	Р	др	48
Для балки при одном грузе Р в середине пролета
		8Р	ЕІ	48£/’
при	Р1	РР	4	1
	= —	имеем 5" = -----------		— .
^	4	48 РР/		12
Если	балка загружена разными				видами нагрузок с соответст­

вующими коэффициентами 5, и Мтах./, ТО также можно использовать формулу (4.76), принимая 8 из уравнения

/ =	= 8 ^ Р , т.е.
' Е1	Е1
3 =	,	(4.77)

где Мш - максимальный момент от всех нагрузок.

Однако некоторые нагрузки могут быть несимметричны, и тогда сечение с максимальным моментом не будет совпадать с сечением, где прогиб максимальный. Но, как было указано выше, максималь­ ный прогиб всегда близок к прогибу в середине пролета, и тогда при определении прогиба в середине пролета за момент Мщах,/ удобнее принимать момент от /-й нагрузки в середине пролета.

Если любую несимметричную нагрузку представить в виде ком­

бинации грузов Р/, расположенных на расстояниях а, < ~				от опоры,
то коэффициент 8і можно определить из уравнения
	' ЕІ		П Е Г
где Мті - момент ОТ груза Р/ в середине пролета, равный				.
3 о 75		і	б?”
Тогда 5'. = ---- ^------- %■ =-----при этом за момент Mtot прини-
12	МР	8	6/’ ^

мается суммарный момент от всех нагрузок в середине пролета.

293

Таким образом, используя формулу (4.77), прогиб можно опре­ делить по формуле (4.76) практически при любых нагрузках.

Для предварительно напряженных элементов, а также для слабоармированных (|л^ < 0,5%) элементов без напрягаемой арматуры оп­ ределение прогиба по минимальной жесткости может заметно завы­ сить прогиб. Это связано с повышенной жесткостью на участках без треш;ин, а также в некоторой степени с переменной жесткостью на участках с треш;инами.

Для свободно опертой предварительно напряженной балки с равномерно распределенной нагрузкой влияние жесткости на участ­ ках без треш.ин, а также влияние выгиба на прогиб можно учесть, определяя прогиб согласно пособию [4] по формуле

	1	" Г	1
	48	уЄІ	48
где "О -	полная кривизна в середине пролета, определенная без
	учета наличия трещин по формуле (4.62);
П	Г П +	- кривизна от выгиба, вызванная усилием
уI	Г)

обжатия Р и остаточным выгибом [см. формулу (4.61)]; З сгс ~ коэффициент, определенный по табл. 4 А пособия [4] в

зависимости отношения М с г / М т а х , ГД Є М т а х ~ НаибоЛЬПШЙ момент от всех нагрузок,

при выводе формулы (4.78) принято, что на участке с трещина­

ми кривизны изменяются пропорционально моментам. Для правиль­

ного учета кривизны от выгиба	эпюра кривизны —разбивается
г )	г

на прямоугольную эпюру отрицательных кривизн " О и эпюру по-

ложительных кривизн, равных сумме фактических кривизн и кри­ визн от вьп’иба (рис. 4.21, в).

Выражение (4.78) получено путем перемножения по правилу Верещагина каждой из этих эпюр на эпюру моментов от единичной силы, приложенной в середине пролета, с последующим сложением результатов.

В результате формула для коэффициента 8сгсимеет вид

294

^СГС г	{2 + т ) у 1 \ - т	1	^ Мсг(/М^^^.
	ю
о	12	16

а)

Рис. 4.21. К выводу формулы (4.78):

а - эпюра моментов; б - эпюра кривизн; в - разделенные эпюры кривизн - (1/г)в и (1/г)+(1/г)в; г - эпюра моментов от единичной силы, приложенной в середине пролета

Формулой (4.78) можно пользоваться и для определения проги­

бов балок без предварительного напряжения, принимая

= 0 .

Однако для этих элементов большее значение имеет отклонение же­ сткости от минимального ее значения на участках с треш.инами. По­ этому для малоармированных балок с равномерно распределенной нагрузкой для определения прогиба предлагается формула

	/	1	\
/ = Г	^1"		(4.79)
	+У:

295

где Yi и у2 - коэффициенты, определенные по табл. 4.2 ъ зависимо­ сти от m = McJMmix-

Таблица 4.2

т	0,0	0,4	0,6	0,7	0,8	0,85	0,90	0,95	0,98	1,00
Уі	0,104	0,092	0,080	0,072	0,062	0,055	0,046	0,034	0,022	0,000
У2	0,000	0,012	0,022	0,030	0,040	0,047	0,056	0,068	0,081	0,104

При выводе формулы (4.79) было принято, что эпюра кривизн на участке с трещинами изменяется по параболе от максимального зна-

( л	^	го
чения —	в вершине параболы до	w - на границе участка с
Ч^/тах		\^Jel

трещинами, т.е. принимается отсутствие скачка в эпюре кривюн в сечении, где М = Mere, что близко соответствует точным расчетам

(рис. 4.22).

а)	Mere	>	и т -т
X N.	\ у	\		Mere
/	112	у	//2	' /
б)			m*(f)ei

в)	(г)шм	//4(l-Vl-m)

^//4 !

//4(lWl-m)

Рис. 4.22. К выводу формулы (4.79):

а- эпюра моментов; б - эпюра кривизн;

в- эпюра моментов от единичной силы, приложенной

всередине пролета

Врезультате перемножения эпюры кривизн и эпюры моментов

от единичной силы по правилу Верещагина формулы для у] и у2 при­ обретают вид

296

VI-/и	-----ч.	4 ,5 -1 ,5 т -4 л /Г ^ ’- т /2	т.
^ = ———(2-0,75л/1-т);		у, ---------------- -----------------
12		24

4.5.6. Определение углов деформации сдвига

При отсутствии любых трещин углы деформации сдвига опре­ деляются как для упругого материала, т.е. по формуле сопротивле­ ния материалов

т

где о - модуль сдвига бетона, равный О = 0,АЕь\ т - среднее касательное напряжение по сечению, равное для

элемента прямоугольного сечения т =:^ 2 2 .; эту формулу

Ък

используют с некоторым запасом и для прочих сечений, при­ нимая за 6 - ширину сечения на уровне середины ее высоты.

При учете продолжительного действия нагрузок значение у ум­ ножается на коэффициент ф/, 1 + ф^.^т- (где - см. табл. 5.1), от­ ражающей влияние ползучести бетона.

Таким образом, для участков без трепщн значение ух определя­ ется по формуле

у

(4.80)

где фь - коэффициент, равный: при непродолжительном действии нагрузок фь = 1 ,0 , при п р о д о л ж и т е л ь н о м 1 ,0 + щ,сг-

При наличии трещин углы деформации сдвига увеличиваются. Анализ экспериментальных данных показал, что при наклонных трещинах значение ух в среднем в 4 раза больше значений, вычис­ ленных по формуле (4.80). Кроме того, также установлено, что при наличии нормальных трещин, независимо от наличия наклонных трещин, рост углов сдвига примерно пропорционален росту кривизн, при этом в среднем соблюдается равенство

297

				/ГО
			V' Лп-	V' Уе1
где Усгс И	"О	- угол сдвига и кривизна при наличии нормальных
		трещин;
Те/И	-	то же при отсутствии как нормальных, так и наклон­
		ных трещин.	и т
при	этом	кривизны		соответствует непродолжи-

г

тельному действию нагрузок при Еь\ = Е^.

3

М

Таким образом, угол сдвига можно определять по общей формуле

Ф*Фс

(4.81)

где {^ск - коэффициент, принимаемый равным:

для участков элемента, где отсутствуют нормальные и на­ клонные трещины, фсп: = 1 ,0 ;

для участков, где имеются только наклонные трепщны, ц>сгс 4,0; для участков, где имеются нормальные трещины.

М.

где Мх и - соответственно момент и кривизна от внешней на­

грузки при непродолжительном действии; 1 ге(1 ~ момент инерции приведенного сечения при коэффициенте

приведения арматуры к бетону а = Е^Еь-

Образование наклонных трещин соответствует минимальной прочности наклонного сечения без учета поперечной арматуры и при учете нормативного сопротивления бетона растяжению Кы.т что со-

2 9 8

гласно разд. 3.3.6 для элементов без преднапряжения соответствует выполнению условия

д> о,5Кь,,.ьк •

4.3.7.Определение прогиба, вызванного деформациями сдвига для

частных случаев

Ниже приведены формулы для определения прогиба, вызванно­ го деформацией сдвига, для свободно опертых балок, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой и одним сосредоточенным грузом, приложенным посредине пролета. Формулы получены пере­ множением эпюры углов сдвига ух-, вычисленных по формуле (4.81), на эпюру поперечных сил от единичной силы в середине пролета (рис. 4.23, 4.24). При этом коэффициент (рск для участков с нормаль­ ными трещинами вычислялся в предположении пропорциональности

ЗЕ I " Г

кривизн и моментов, т.е. по формуле

Балки с равномерно распределенной нагрузкой; а) при отсутствии нормальных и наклонных трещин

(Minax Мсгс J бтах Qcr<^
f	= Q ^ .L -	(4.82)
"	А

б) при отсутствии нормальных трещин и наличии наклонных

{ . М т а \

M c r c i ^Q mQ s cx .r c )

(4-83)

в) при наличии нормальных трещин и отсутствии наклонных

^ Мсга Qxsm. Qcr^

(4.84)

D 4

299

а)	Vl-m>mq				Vl-m<niq
				/	Merc	Mmax	Mere
	Men:	/■Мщах			1/
б)	//2		in		in		т
Qinax ф	_			Qcrc			^сгс
	-
в)							■' & ,Qmax
	Фс«|]				Фсге||
4
//2(1 Wl-m)	//2Vl-m				Kl-ш	ч	kl-niq)
г)				0,5			С
0,5			(5
				oi

Рис. 4.23. К определению прогиба от сдвиговых деформаций при равномерно распределенной нагрузке;

т= McrcfMraax <!,»*,= QcJQmax< 1 ’

а- эпюра моментов; б - эпюра поперечных сил; в - эпюра коэффициентов

фс«-; г - эпюра поперечных сил от единичной силы, приложенной в середине пролета

а)		Mere		М тах Mere
б)		ю	1!	1 112
			1		!
			1
Qraax	'	■ 49	'	1	Qmax
в)	41			!	4 при mq<l
				1-----
	F	--------	Фсгс11!11		f^-'l при niq>l
	L	>
	1
	1------■’q.)				1
					10,5
0,5				........... ■-...........	i
					1

Рис. 4.24. К определению прогиба от сдвиговых деформаций при одной сосредоточенной силе в середине пролета;

Ш Л/сгс/Л/щцх < 1 »	® QerJQmш'
а - эпюра моментов; б - эпюра поперечных сил;
в - эпюра коэффициентов	г “ эпюра поперечных сил

от единичной силы, приложенной в середине пролета

300

г) при наличии нормальных и навслонных трещин

(■^^^пах ^ ^ с г с г	б т а х ^ 2 сгс)з
если ^/^-m ^	,
	+(1 - ш)9^];	(4.85)
если л11-т <	,
/, = -^~ [з(1 -ш ,^) + т +0 -т)(р „].		(4.86)
	ч
Балки с сосредоточенным грузом в середине пролета:
а) при отсутствии нормальных и наклонных трещин		— ;

Ч

б) при отсутствии нормальных трещин и наличии наклонных

/■_ втах Т/ .

А - ^

ч

в) при наличии нормальных трещин и отсутствии наклонных - см. формулу (4.84);

г) при наличии нормальных и наклонных трещин - см. формулу

(4.85).

З д е с ь . Ш — М с гс /^гш х л		“ б с « / |0 т а х 5 б е г е ~
^	ОЬк
	---------- сдвиговая жесткость элемента.
При одновременном действии равномерно распределенной на-
		/ 1 л
грузки и сосредоточенной силы значения Мтах, бтах И 1			ВЫЧИС­

ЛЯЮТСЯ от действия суммарной нагрузки, а прогиб вычисляется по формуле

. / д + л а

’’

где^ и ^ - прогибы, определенные соответственно как при действии равномерно распределенной нагрузки, так и при действии сосредоточенной силы;

б? и - максимальные поперечные силы соответственно от каждой из этих видов нагрузки.

301

4.5.8. Определение продольных деформаций

Укорочение или удлинение железобетонного стержня в общем случае определяется по формуле

Д /= - Ё е .,,

(4.87)

где п - число участков, на которые разбивается стержень длиной /; Ео^ - относительная продольная деформация в сечении посредине

г-го участка на уровне центра тяжести бетонного сечения. При использовании незшругой деформационной модели относи­

тельные продольные деформации для элемента, имеющего сжатую зону, определяются по формуле

	1
£о	г Уш

где 1/г - кривизна в рассматриваемом сечении, определяемая соглас­ но разд. 4.3.3 и 4.3.4;

&ь“ деформация крайнего сжатого волокна бетона, используемая при определении кривизны 1/г;

7 ц - расстояние центра тяжести бетонного сечения от сжатой грани элемента.

Положительное значение во означает укорочение, отрицатель­ ное - удлинение.

При отсутствии сжатой зоны, т.е. при внецентренном растяже­ нии по 2 -му случаю, относительная продольная деформация удлине­ ния определяется по формуле

а +су^ \1/

(4.88)

где OsV^(^s- напряжения арматуры 5 и *5^, определяемые по форму­ лам (4.49) и (4.74);

\|/5 - коэффициент, определяемый по формуле (4.24) с учетом а^. Продольные деформации существенно влияют на прогиб конст­ рукции в основном при внецентренном сжатии или растяжении с

малыми эксцентриситетами продольных сил.

302

Поскольку внецентренно сжатые элементы представляют собой, как правило, элементы прямоугольного сечения с симметричной ар­ матурой, для таких элементов в случае отсутствия в них трещин раз­ работана упрощенная методика определения относительных про­ дольных деформаций.

При N < Ыгр= Кь„ЬШ] (см. табл. 4.1) продольная деформация оп­ ределяется как для упругого тела по формуле

£|>	ft	N	(4.89)
		E,,bh + 1E X

При N > iVjp продольная деформация определяется по линейной интерполяции между продольной деформацией, соответствующей нулевому моменту и равной Ео,о, и продольной деформацией соответствующей моменту Мсгс (см. табл. 4.1), т.е. по формуле

£о = £о,о + (£о,с/-с - го,о)М/Мс

(4.90)

где деформация ео.сгс определяется по табл. 4.3. Табличные значения Ео,сгсвычислялись по формуле

£о,сгс (^6 £ьС^12,

где - деформация крайнего сжатого волокна бетона, определяемая согласно пояснениям к табл. 4.1.

Деформации Ео в пределах участка элемента с однозначной эпю­ рой моментов {рж. 4.25) можно усреднить, т.е. принимать в формуле (4.90) значение М равным половине максимального момента на этом участке, и тогда укорочение элемента будет равно А/ = /1Е01 + /гвог-

а) м, N б)

Рис. 4.25. К определению осевых деформаций стоек:

а—эпюра моментов;

б- эпюра деформаций 8о

Ео2

303

ф ь.сг)

Таблица 4.3

		Непродолжитсльиос действие нагрузки						Продолжительное действие нагрузки
Класс	ц%		продольные деформации						продольные деформации
бетона		и		ео.сгс-10"^прйи				и		Ео,с„•10'^ при п
			п = и	0,25	0,35	0,45	0,55		п -ь	0,25	0,35	0,45	0,55
20	0,1	0,186	0,086	0,130	0,221	0,361	0,560	0,241	0,467	0,486	0,719	1,011	1,353
	0,5	0,196		0,121	0,199	0,309	0,456	0,290			0,570	0,768	0,993
	1,0	0,208		0,111	0,178	0,266	0,377	0,353				0,606	0,764
	1,5	0,219		0,104	0,162	0,235	0,326	0,415				0,507	0,630
30	0,1	0,205	0,128	0,162	0,265	0,417	0,628	0,243	0,515	0,531	0,782	1,091	1,446
	0,5	0,214		0,153	0,244	0,371	0,539	0,280			0,655	0,886	1,147
	1,0	0,226		0,144	0,223	0,329	0,463	0,327			0,552	0,729	0,925
	1,5	0,238		0,135	0,206	0,297	0,410	0,374				0,626	0,784
40	0,1	0,218	0,167	0,194	0,308	0,471	0,688	0,244	0,546	0,559	0,821	1,140	1,501
	0,5	0,228		0,185	0,287	0,427	0,609	0,274			0,711	0,964	1,248
	1.0	0,239		0,175	0,265	0,386	0,537	0,312			0,615	0,817	1,041
	1.5	0,251			0,248	0,354	0,484	0,350			0,546	0,715	0,900
Втабл.4.3:„_ ^			ц=^^.]00% ,			1,=	.
		К,„Ьк ^		Ьк		' RJ>k

Для внецентренно растянутых элементов без трещин продоль­ ные деформации 8о можно определить как при осевом растяжении, учитывая трехлинейную диафрагму &ьг<^ы, т.е. если выполняется условие

N <

(4.91)

N

Е.Я + ЕХА.

если условие (4.91) не выполняется,

где значения Вьа = ^,6Кы^Еьь ?1 = 1,5 —

для раз­

личных классов бетона и при нормальной влажности воздуха можно определить по табл. 4.4. При этом значение Еь\ принимается рав­ ным: Еь - при непродолжительном действии нагрузки, Еь1{\ + - при продолжительном ее действии.

При осевом предварительном обжатии силой Р < N значение N заменяется ш .Ы -Р .

304

Таблица 4.4

Класс				Действие нагрузки
бетона	Еь\у<Ш-	продолжительное			Еь\хЮ'	непродолжительное		/2x10^
В		BfaixlO	/|			gfe/ixlO
15	5,455	0,121	0,483	0,119	24.0	0,0275	1,121	0,0725
20	7,237	0,112	0,627	0,128	27.5	0,0295	1,083	0,0706
25	8,571	0,109	0,675	0,132	30.0	0,0310	1,051	0,0690
30	9,949	0,107	0,701	0,133	32.5	0,0323	1,023	0,0677
35	11,129	0,105	0,721	0,135	34.5	0,0339	0,987	0,0661
40	12,414	0,102	0,767	0,139	36.0	0,035	0,962	0,0650

4.3.9. примеры расчета

Проиллюстрируем приведенные методы определения прогибов на примерах расчета.

Пример 4.9. Дано: железобетонная плита перекрытия прямо­ угольного сечения размерами h = 200 мм, Ь = 1000 мм, Ао = 173 мм, пролет / = 5,6 м; бетон класса В20 {Еь = 27500 МПа, Кьп~ 15 МПа, Кы.п =1,35 МПа); растянутая арматура класса А400 площадью сече­ ния As= 565 мм^ (5012); полная равномерно распределенная нагруз­ ка ^ = 7,5 кН/м, в том числе ее часть от постоянных и длительных нагрузок qi = 6,3 кН/м; прогиб ограничивается только эстетико­ психологическими требованиями; относительная влажность воздуха помещения нормальная ~ 2 ,8 ; £b\,red= 28x10"^).

Расчет. Прогиб определяем только от действия постоянных и длительных нагрузок, поскольку он ограничивается эстетико­ психологическими требованиями.

Момент от этих нагрузок в середине пролета

М = М , = ^ =

=24,7 кНм.

Сначала определим максимальную кривизну по упрощенной формуле (4.67). Для этого определим

	а.., -	Е.	Е л , .. ,	2-10^-2810^ „ з ^ з.
		""h,red	RЪп	15

565

= 0,00327.

Ь \ 1000 173

20 З&каз 40

305

	Из табл. 4.5 пособия [3] при ца^1			=	0,00327x37,3	=	0,122 и
-	0,0 находим ф1 = 0,524, а из табл.			4.6	при а,,	= 1 ^		= 2 0 ,
{лал = 0,00327x20 = 0,065 и			= О находим соответствующий
продолжительному действию нагрузки коэффициент ф2 = 0,15.
	Тогда
П		М -ф ,г)й % ,„^ 24,7	-10^-0,15-1000		-200^1,35			1
.^.ах		фЛ Л ^ о	0,524-2-10^-565-173^			’	‘	мм'

Прогиб определим по упрощенной формуле (4.76), принимая

5 = — , как при равномерно распределенной нагрузке: 48

" Г

-— •5600' -9,37 ■10"' =30,6 мм. 48

Учитывая, что по эстетическим требованиям прогиб при пролете 6 м равен 6/200 = 0,03 м = 30 мм, а при пролете 3 м равен 3/150 =

=0,02 м = 20 мм, то при пролете 5,6 м предельный прогиб равен

/„ = 2 0 + ( 3 0 - 2 0 ) ^ ^ = 28,7мм.

что несколько меньше прогиба, вычисленного упрощенным спосо­ бом.

Вычислим прогиб «точным» способом, т.е. по формулам, прямо вьггекающим из неупругой деформационной модели.

Сначала определим момент образования трещин по формуле (4.4), принимая относительные характеристики:

(X	ЗОЛ,	30-565
	--------=	---------------------- = 0,0628;
	R,^J)h	1,35-1000-200

^ 0,733 +	а , / 2	0,733 + 0,0628/2	^
0 ,7 3 3	-г /2	0,733-1,111/2 “	’	’

306

V

0 , Ш - г П

V

0,1775

M^.=R,^bh^{QA516{\-^y +rr^V3 + (l-^ -5 )^aJ/(l-^)} =

= 1,35-1ООО • 200^{0,4526 • 0,45^ +[1,111• 0,55V З+ (0,865 - 0,55)^0,0628]/ 0,45]} = =13,09x10® Нмм = 13,09 кНм.

Отсюда коэффициент i|/^ равен

I]/, = 1 -	1 - 0,8x13,09/24,7 = 0,576
и as2 -	o,s\!\^s = 37,3/0,576 = 64,76.

Определяем максимальную кривизну по формуле (4.65). Для этого вычисляем усредненную высоту сжатой зоны X по формуле

(4.64)

Z = asiAJb = 64,76x565/1000 = 36,59;

;с= +2а^2АК ! b - Z ^ V^6,59' +2• 36,59• 173 -36,59 = 81,72мм.

Момент инерции приведенного сечений

Ьх^	,	1000-81,72^	+
tred = —	+ (^ - ^) а.зЛ =	------- ^-------

+(173 -81,1 2 f 64,76 • 565 = 4,8 6 8 • 1О* мм".

Модуль деформации бетона при продолжительном действии на­ грузки

Еь.геС= RbJ4x.red^ 15/28x10-" = 5357,1 МПа;

" Г

V у шах	h,recl	red 5357,1.4,868.10*	мм
Поскольку плита		относится к малоармированным элементам

(|1 = 0,327% < 0,5%), прогиб определяем по уточненной формуле (4.79). Определяем кривизну от полной нагрузки без учета наличия

трещин	( \ \
	. Момент от полной нагрузки равен
	др	7,5-5,6^
	« „ = ^	=- ^ ^ ^ = 29,4кНм.

20»

307

Вычисляем момент инерции приведенного сечения при

Еы = Еь1{\ +фб.сг) = 27 500/(1 + 2 ,8) ^ 7236,8 МПа,

а = Е^Еы = 2x10^7236,8 = 27,64.

Агес1 = Ьк + оА^ - 1000x200 + 27,64x565 =

=200 ООО + 15 646 = 215 646 мм^;

у= {Ьк^П + оА^аУАгеа = (200 000x100 + 15 646х27)/215 646 =

=90,5 мм;

1 г е с 1 = Ь к Ч п + Ь к { к / 2 ~у)^ + аЛ ,(у-аУ =

=1000x200^12 + 1000x200(100 -■у)'^ + 15 646(у - 27)^ -

=7,478x10* мм^

29,4	10'	10'
	■±=5,43
К, Еь^гы 7236,8-7,478-10’		мм

Из табл. 4.2 при т = Мсгс/Мш =13,09/29,4 = 0,445 находим

71 =0,0893 и 72 -0,0142.

Тогда прогиб равен

/ = 1‘	У,	—	+ Уз	—	■
		го		го = 5600^(0893 • 9,47 +0,0142 ■5,43) 10-“^= 28,9 мм.
		уг)		кг) е1

т.е. примерно равен его предельному значению (28,7 мм).

Пример 4.10. Дано: многопустотная плита перекрытия с данны­ ми из примеров 4.1 и 4.5; плита пролетом / = 7,0 м; все нагрузки рав­ номерно распределенные; влажность воздуха помещения нормаль­ ная (фб.сг = 2 ,8 ; гы.ге(1 = 28x10'"^); потери предварительного напряже­ ния от усадки и ползучести для сечения в середине пролета на уров­ не напрягаемой арматуры = 80,1 МПа; то же на уровне верхней грани плиты - 8 6 МПа; прогиб ограничивается эстетическими требованиями.

308

Расчет, Определяем прогиб в середине пролета от постоянных и длительных нагрузок, т.е. при М = М 1 = 46,5 кНм.

Из примера 4.5 для этих нагрузок имеем

е _ М ^ _ 46,5

КРК 200-0,193 - 1,2 ,

а также ф/= 0,46, = 0,582 и ц = —			= — — = о, 00628.
	Ь \		466-193
При продолжительном действии нагрузки
= —	= т Л ^		= 5357,1МПа.
'Ы,ге11	28-10'
2 - 10’		= 64,15,
Тогда а,г

УЛ .. 0,582-5357,1

=0,00628x64,15 = 0,403.

По табл. 4.5 пособия [4] при — = 1,2 , ф,. =0,46					и ца^2 = 0,403 на-
		^0
ходим фс= 0,37. Тогда кривизна равна
ГР	М	46,5-10“^		= 7-10-
Гу
		0,37-466-193' -5357,1			мм
Поскольку		кривизну -		согласно формуле (4.61)
		г
принимаем равной нулю, и тогда "О			= 1 = 7-10"'' —
			г		мм
Определим прогиб плиты по упрощенной формуле (4.76), при-
5
48’
/	= 5'/-	=— 7000' - 7 -10'“ = 35,7 мм.
		48

309

Если учтем, что по эстетическим требованиям предельный про­ гиб при пролете 6 м равен 6/200 = 0,03 м = 30 мм, а при пролете 12 м равен 12/250 - 0,048 м = 48 мм, то при пролете 7 м предельный про­ гиб равен

Л ,=30 +(48 - 3 0 ) - ^ = 33 мм,

IZ—0

что меньше прогиба, вычисленного упрощенным способом. Вычислим прогиб по формуле (4.78), учитывающей повышен­

ную жесткость на участках без трещин и вьпиб.

Для этого определим жесткость участка без трещин Ebdred- Мо­ дуль деформации бетона Еь\ = Еь/{\ + фб.сгс) = 27 500/(1 + 2 ,8) = = 7236,8 МПа.

Момент инерции приведенного сечения Ired вычисляем при ко­ эффициенте приведения арматуры к бетону

а = EJEbx = 2xloV7236,8 = 27,64.

Из примера 4.5 имеем A’ov = ^ov = 41 369 мм^.

^red ~ bh + 2Aov + ccAs —466x220 + 2x41 369 +

+27,64x565 = 102 520 + 82 738 +15 617 = 200 875 мм^;

у= {bh^/2 + 2AoJi/2 + oAsa)IAred= (466x220^2 + 41 369x220 +

+15 617x27)/200 875 = 101,6 мм;

Ired = b h ^ m + b h { h ! 2 - y f + Ao,{h - /z//2 + o A ^ i y - a f =

= 466x220Vl2+ 102 520(110-:и)^ + 41 369(220-41)^2+.

+ 15617(y-27)^= l,1704xl0^мм"

Тогда жесткость равна

Ebdred = 7236.8x1,1704x10’ = 8,47x10'^ Памм1

310

Определяем кривизну				"О	от полной нагрузки без учета трещин
				\ r j
по формуле (4.62), принимая "О = 0 и							= О. При этом еор=у - а =
				V '	/ 4
=101,6 -	27 = =74,4 мм, а кривизна от выгиба равна
	г	в	E b J r e d						ММ
				57,8-10‘ -200000 -74,4 ^						1
	У1					8,47-10*'			5,07-10-	мм
у el
Согласно примеру 4.1				Mere ~ 45,6 кН м. По табл. 4.4 пособия [4]
при т = Merc/M,ot = 45,6/57,18 = 0,789 находим Sere = 0,0211;
	' 5		- S		rn			1	г- =
	f =J	.. -		сгс	[ г )		^ - 1	48
		48	max			max	е /_		в ^
— -7 -0,0 2 1 1 (7 -5 ,0 7 )-—					-10'®-7000" =31,9 мм < /,/,= 3 3 мм,
48	’	^	^	48

т.е. прогиб оказался в пределах допустимого.

Пример 4Л1.Дано: свободно опертая балка прямоугольного се­ чения размерами Ь = 200 мм, h = 600 мм, ho = 550 мм; пролет 5,4 м; равномерно распределенная нагрузка: постоянная qe = 25 кН/м, дли­ тельная qt= 30 кН/м, кратковременная нагрузка отсутствует; растяну­ тая арматура площадью сечения As = 1609 мм^(2032); бетон класса В20 (Rbn =15 МПа, Rbt,„ = 1,35 МПа, Еь= 27500 МПа, (рь,а- = 2,8); про­ гиб балки ограничивается зазором 2 0 мм между низом балки и рас­ положенной под ней перегородкой.

Расчет. Суммарная нагрузка на балку

+ ф = 25 + 30 = 55 кНм.

Максимальный момент от этой нагрузки

= - ^ = 21:5dl = 200,5 кНм.

311

Определим максимальную кривизну балки по формуле (4.67), учи­ тывая продолжительность действия всей нагрузки {гь\,ге(і ~ 28x10""):

2-10^28-10-^_

а , - —

Д	1609	= 0,0146 .
ц = —^ = ------------
Ък, 200-550
По табл. 4.5 пособия [3]	при		= 37,33x0,0146 =	0,545 и
}Х/ = О находим ф1 = 0,2865, а по табл. 4.6 того же пособия при
0,0146 = 0,292 иц /^= Ц /= 0			находим ф2 = 0,13, Тогда
^ 200,5-10*^-0,13-200-600--1,35 =0,/30'Ш				1
0,2865-2-10'^-1609-550^				ММ

Прогиб, вызванный изгибными деформациями, определим цо формуле (4.76). К уточненной формуле (4.79) прибегать не имеет смысла, поскольку балка не относится к слабоармированньм эле­ ментам (}х > 0,005):

5

у48

Поскольку l/h = 5,4/0,6 = 9 < 10, следует учесть дополнительный прогибfq от сдвиговых деформаций.

Определим момент инерции приведенного сечения, принимая

а = Es/Eb = 2x10^27 500 = 7,27.

Ared= bh + oAs= 200x600 + 7,27x1609 = = 120 000+ 11 700 = 131 700 мм^;

y = (bhxhll + oA^ayAred = (120 000x300 + 11 700x50)/131 700 - = 277,8 m m ;

312

Ired = bh4\2 + bh{h/2 ~ у f + oAs(y - <?)" =

=200x600Vl2 + 120 000(300- y f +

+11 700(y- 50)^ = 4,266x10^ mm".

Момент сопротивления приведенного сечения равен

Wred= Ire/y = 4,266x10^/277,8 = 1,536x10^ ммі

Момент образования трещин М с г с определяем по формуле (4.1 0 ) с учетом у - 1,3;

Мсгс - l,^Rbt.nWred = 1,3x1,35x1,536x10^ = = 26,95x10^ Нм = 26,95 кНм.

Отсюда т = McJM ^^ = 26,95/200,5 = 0,1344.

Максимальная поперечная сила равна

e » » = | - =^ ^ = 14S.5KH.

Поперечная сила, вызывающая образование трещин, равна

Qcrc = 0,5Кы.„ЬЫ ^ 0,5x1,35x200x550 - 74 250 Н = 74,25 кН.

Отсюда niq = QcJQm^ = 74,25/148,5 = 0,50.

Поскольку m < 1 и < 1, имеют место нормальные и наклон­ ные трещины. При этом Vl-w = “^0,134 = 0,93 > = 0,5, следова­

тельно, прогибfq определяем ПО формулс (4.85).

( \ \

Определим кривизну — по формуле (4.67) как при непро-

Jшах

должительном действии нагрузки. При agip. = 0,292 и }Х/ = О по табл. 4.5 пособия [3] находим фі = 0,385, а по табл. 4 . 6 - ^ 2 - 0,17.

^1^	200,5-10®-0,17-200-600^-1,35		909-10''® —
	0,385-2-10'-1609-550'	’	мм'

313

Тогда коэффициент (рсгс равен

" Г	3-27 500*4,266-10
	4,909-10"'=8,613.
	200,5-10®

Определим сдвиговую жесткость Вд, принимая

С = 0,4Вь = 0,4x27500 = 11 ООО МПа и

Фб = 1+Фб.сг=1+2,8 = 3,8.

	= ^ ^ 1 1 0 0 0 - 2 0 0 - 6 0 0 ^				Н М М І
^	1,2 ф,	1,2-3,8
бтах	Ь а	П N	148500	г	5400,,
	- 4 т + (1~т)ф^,, = -------------				----- (4-0,1344+
		^	2,895-10* 4
		+0,8656-8,613) = 5,54 ММ.

Итого, полный прогиб балки равен

/~ Л » 20,46 + 5,54 = 26 ММ.

По эстетическим требованиям предельный прогиб при пролете 5,4 м равен 28 мм > / = 2 6 мм, т.е. прогиб удовлетворяет эстетиче­ ским требованиям, но он превышает величину зазора между балкой и перегородкой 20 мм. Однако, если учесть, что перегородка уста­ новлена после кратковременного действия постоянных нагрузок, прогиб следует уменьшить на величину кратковременного прогиба от постоянных нагрузок. Определим этот прогиб.

Момент от постоянных нагрузок равен

M =З^L=

= 91,125 кНм.

8 8

При учете принятых выше коэффициентов ф1 = 0,385 и ф2 = 0,17 максимальная кривизна равна

1	91,12510®-0,17-200-600'-1,35 ,	1
'^''Утах.с	= 1,99-10“	мм
	0,385-2-10'-1609-550'

314

а прогиб от изгибных деформаций равен

/»,г = ~ • 1.99-10"®-5400- = 6,05 мм.

Пренебрегая «в запас» прогибомfq, получаем

/ = 26,0 - 6,05 == 19,95 мм < 20 мм,

т.е. прогиб балки после кратковременного приложения постоянных нагрузок не превысил величину зазора 2 0 мм.

315

Г л а в а 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ

Система расчета железобетонных элементов является общей как для конструкций с предварительным напряжением, так и для обыч­ ных. При этом железобетон с ненапрягаемой арматурой можно рас­ сматривать как частный случай предварительно напряженного желе­ зобетона. Класс бетона для предварительно напряженных конструк­ ций должен быть не ниже В20. Существуют два основных способа натяжения арматуры: на упоры с передачей напряжения на бетон после набора им необходимой прочности и непосредственно на бе­ тон с одновременной передачей обжатия.

Способ натяжения арматуры влияет на учитываемое при расчете напряженное состояние арматуры и бетона. Общим требованием является создание такого натяжения арматуры, которое привело бы к оптимальному напряженному состоянию бетона и арматуры. При расчете предварительно напряженных элементов в расчет вводится напряжение в арматуре Gsp и <^^р, отвечающее такому состоянию конструкции, когда под действием усилия предварительного обжа­ тия и внешних нагрузок напряжение в бетоне на уровне напрягаемой арматуры равно нулю. Поэтому полные напряжения в арматуре в предельном состоянии конструкции могут определяться как сумма предварительных напряжений и и приращения напряжений от деформации растянутой зоны бетона в предельном состоянии.

Для предварительного напряжения арматуры устанавливаются верхний и нижний пределы. Верхний предел для арматуры классов

А500, А540, А600, А800, А 1000	- 0,9Л,„; для арматуры классов
Вр1200 - Вр1500, К1400, К1500 -	0,8i?j„, а нижний предел - 0,ЗЛ,„.

Верхний предел назначается с тем, чтобы при натяжении арматура не попала в область больших неупругих деформаций и не произошел ее разрыв, нижний предел обеспечивает определенный минималь­ ный уровень предварительного напряжения после проявления по­ терь. При этом предварительные напряжения следует назначать с учетом максимальных допустимых отклонений предварительного напряжения, вызванных технологическими причинами. При любом способе натяжения отклонение р принимается 0,05ст,р.

Условия для назначения предварительного напряжения
Qsp+P< 0,9Л^,„; <3sp - р > 0,3Rs,n.	(5.1)

316

Искусственно созданные предварительные напряжения в арма­ туре и бетоне не остаются постоянными, а изменяются, особенно значительно в начальный период. Изменение напряжений может продолжаться длительное время даже при отсзггствии внешней на­ грузки; это связано со свойствами бетона и арматуры, характером нагрузки, окружающей средой, способом изготовления конструкции.

Предварительные напряжения вводятся в расчет с учетом потерь предварительного напряжения, которые зависят от характера натя­ жения арматуры (на упоры или на бетон) и от стадии работы конст­ рукции, для которой производится расчет. Потери, происходящие до окончания предварительного обжатия и учитываемые при расчете в стадии предварительного обжатия, называются первыми потерями. Потери, происходящие после окончания обжатия и учитываемые в расчете совместно с первыми потерями, называются вторыми поте­ рями.

При натяжении арматуры в качестве первых потерь учитывают­ ся: потери от релаксации напряжений в арматуре, проявляющиеся в натянутой арматуре; от температурного перепада арматуры между зоной нагрева и упорами при тепловой обработке изделия; от де­ формации форм; от деформации анкеров, передающих усилия на упоры. В качестве вторых потерь учитываются: потери от усадки бетона и от ползучести бетона.

Проведено большое количество исследований по определению потерь, что связано с определенными колебаниями величины потерь, получаемыми в различных экспериментах и зависящими от состава бетона, условий твердения, характера спуска натяжения, анкерных устройств и т.п. Эти факторы не всегда можно учесть при проекти­ ровании. В СП52-102-2004 «Предварительно напряженные железо­ бетонные конструкции» даются достаточно обобщенные методы, которые должны отвечать требованиям простоты и надежности рас­ чета в любых случаях, встречающихся на практике. Независимо от расчета суммарные потери при проектировании принимаются не ме­ нее 100 МПа.

Кратко охарактеризуем каждый вид потерь напряжения. Первые потери. 1. Релаксация напряжений в арматуре, Релаксация - это снижение напряжения с течением времени при

отсутствии изменения длины, зависящее от механических свойств и химического состава стали; величина этого снижения возрастает для термически упрочненной и высоколегированной стали и упрочнен­ ной вытяжкой проволоки, с повышением температуры свыше 40 °С, например при электротермическом и электротермомеханическом

317

способах нат51жения, потери от релаксации в арматуре таюке резко увеличиваются. Для учета этого явления в СП приведены эмпириче­ ские формулы, которые при механическом натяжении имеют вид:

а) для проволочной арматуры

Асу,,. =	0,2 2 - ^ - 0,1	(5.2)
	Л.

б) для стержневой арматуры

(5.3)

При электротермическом и электротермомеханическом способах натяжения: для проволочной арматуры Асг,^,, = 0,05а,,, для стержне­

вой Да,,, = 0,03ст,р, кроме А540, для которой Да = О. Значение

принимается без учета потерь. Если полученная величина потерь при механическом способе натяжения окажется отрицательной, то ее следует принимать равной 0 .

2. Температурный перепад при иатяже]»ии на упоры, Под температурным перепадом подразумевается разность между

температурами натянутой арматуры в зоне прогрева и в зоне устрой­ ства, воспринимающего усилие натяжения при прогреве бетона. Причина потери напряжения арматуры заключается в том, что при прогреве бетона до его схватывания натянутая арматура также на­ гревается без изменения ее длины и вследствие этого ее напряжение уменьшается. Затем при схватывании еще нагретого бетона это уменьшенное напряжение фиксируется сцеплением арматуры с за­ твердевшим бетоном, и после остьшания бетона и арматуры возврат к первоначальному напряжению арматуры не происходит.

Величина потерь Дст^^ арматуры, находящейся в твердеющем

бетоне, составляет 1,25А/ МПа. Значение температурного перепада А/ при отсутствии точных данных, например при разработке типо­ вых конструкций, рекомендуется принимать 65 °С.

Существующая технология изготовления конструкций позволяет при механическом способе натяжения производить во время термо­ обработки вторичное натяжение арматуры, так называемое подгяги^ ванне на величину, компенсирующую потери от температурного пё-

318

репада. При использовании подтягивания потери принимаются рав­ ными 0 .

3. Деформация стальной формы при изготовлении предвари­ тельно напряженных железобетонных конструкций, Aas^,з.

Потери учитываются в зависимости от способа и последователь­ ности натяжения. Для уже натянутых стержней потери происходят от усилий вновь натягиваемых стержней, передающихся на форму и вызывающих ее деформацию. При групповом натяжении всей арма­ туры эти потери принимаются равными 0. Они также равны О при электротермическом способе натяжения, так как учитываются при определении полного удлинения арматуры. При натяжении армату­ ры одиночными стержнями или группами потери вычисляются по формуле

Ао ,= - —	(5.4)
2п I '	^ ^

где п - число стержней (групп стержней), натягиваемых неодновре­ менно; / - расстояние между наружными гранями упоров; А/ - сбли­ жение упоров по линии действия усилий обжатия, определяемое из расчета деформации форм в упругой стадии работы. Для вычисления деформации форм необходимо знать линейные и жесткостные ха­ рактеристики, точку приложения усилия. При отсутствии данных о технологии изготовления и конструкции формы потери от ее дефор­ мации принимаются 30 МПа.

4. Деформация анкеров, расположенных у натяжных уст­

ройств, AxJgp^^•

Деформация анкеров происходит под воздействием напряжен­ ной арматуры.

При натяжении на упоры величина потерь определяется по фор­ муле

Aasp4 = (А1/1)Е^,

(5.5)

где А/ - обжатие опрессованных шайб, смятие высаженных головок, смещение стержней в инвентарных зажимах и т.д., при от­ сутствии данных принимаемое 2 мм;

/ - длина натягиваемого стержня, т.е. расстояние между наруж­ ными гранями упоров формы или стенда, мм.

319

при электротермическом способе натяжения потери от дефор­ мации анкеров в расчете не учитываются, так как они должны быть учтены при вычислении значения полного удлинения арматуры.

Как видно из приведенных формул, величина потерь в значи­ тельной степени зависит от длины конструкции и увеличивается для коротких элементов. Следовательно, для коротких конструкций нужно стараться использовать жесткие анкеры.

5. Усадка бетона, Асг^рз-

Свойство бетона уменьшаться в объеме в процессе твердения называется усадкой. Она зависит от вида, класса и состава бетона, включая количество и вид цемента, заполнителей, воды, способа твердения и возраста. Физическая сущность явления состоит в испа­ рении избыточной влаги и уменьшении объема геля при превраще­ нии его в цементный камень. Значение определяется по фор­

муле

Аст^рз

(5-6 )

где - деформация усадки бетона, принимаемая равной; 0 ,0 0 0 2 - для бетона классов В35 и ниже; 0,00025 - для бетона класса 40; 0,0003 - для бетона класса В45 и выше. Допускается определять по­ тери от усадки более точными методами.

6. Ползучесть бетона A(Jsp6^

Природа этого явления выражается в росте деформаций с тече­ нием времени при неизменных напряжениях.

Потери напряжений в рассматриваемой напрягаемой арматуре (5' или 5^) от ползучести бетона определяют по формуле

	------------- .	(5.7)
1±-	(1 +0 ,8 9 j^J
	red

где ц>ь,сг - коэффициент ползучести бетона, определяемый согласно

табл. 5.1;

а - коэффициент приведения арматуры к бетону, равный

а= EJEb;

-коэффициент армирования, равный Asp/A, где А и Asp- площади поперечного сечения соответственно элемента и напрягаемой арматуры;

320

<3ьр - напряжение в бетоне на уровне центра тяжести рассматри­ ваемой напрягаемой арматуры, определяемое как для упру­ гих материалов по приведенному сечению согласно фор­ муле

(5.8)

^n^d

Р(1) - усилие предварительного обжатия с учетом первых потерь, равное

Р(1) = (Лр+ ^зр){^зр- Асг,р(1)),	(5.9)
здесь Аа^р(1) - сумма первых потерь напряжения;

еор(1) - эксцентриситет усилия Р(1) относительно центра тяжести приведенного сечения элемента, равный

__		spysp
^0„ |-	,	/	>
	А . + А
	sp	Ачр
здесь у^р, у!sp - см. рис. 5.1	;
ys - расстояние между центрами тяжести рассматриваемой
напрягаемой арматуры и приведенного поперечного

сечения элемента (т.е. ysp илиУ^^);

М - изгибающий момент от собственного веса элемента, действующий в стадии обжатия в рассматриваемом сечении;

Ared и площадь приведенного сечения и ее момент инерции относительно центра тяжести приведенного сечения,

в формуле (5.8) сжимающие напряжения учитываются со зна­ ком «плюс», а растягивающие - со знаком «минус». Тот же знак применяется и в формуле (5.7).

Если абр<0,0, то потери от ползучести и усадки бетона прини­ маются равными нулю.

Если передаточная прочность бетона Кьр меньше 70% класса бе­ тона В, то при определении Аа^рб значения (^ь.сг принимаются по табл. 5.7, а £"6 - по таблицам СП и пособиям при В = Кьр.

Приведенное сечение включает в себя площадь сечения бетона и площадь сечения всей продольной арматуры (напрягаемой и нена-

21 Заказ 40

321

прягаемой) с		коэффициентом			приведения			арматуры		к бетону
а = EJEb.						г: А'
tp	1							Рис. 5.1. Схема усилий
	1
'>- 1			U т,					предварительного
і1—								напряжения арматуры
ІЛ	Q				с			в поперечном сечении
					CL'
	Ш					_ L.		железобетонного
						'^sp^sp			элемента
						6 . А .
Относительная				Значение коэффициента ползучести
влажность воз­				при классе бетона на сжатие
духа окружаю­		В15	В20	В25	ВЗО	В35	В40	В45	В50	В55	В60
щей среды, %
Выше 75		2,4	2,0	1,8	1,6	1,5	1,4	1,3	1,2	1,1	1,0
(повышенная)
40-75		3,4	2,8	2,5	2,3	2,1	1,9	1,8	1,6	1,5	1,4
(нормальная)
Ниже 40		4,8	4,0	3,6	3,2	3,0	2,8	2,6	2,4	•2,2	2,0
(пониженная)

Примечание. Относительную влажность воздуха окружающей среды принима]от по СНиП 23-01-99 как среднюю месячную относительную влажность наиболее таплого месяца для района строительства.

Геометрические характеристики приведенного сечения опреде­ ляются по формулам:

площадь приведенного сечения

Ared = А + oAsp + oU'sp + oAs + aA's\

(5.11)

расстояние от центра тяжести приведенного сечения до грани, растянутой в стадии эксплуатации,

^8 + аА ^а^+ аА !^{к-а'^+ аА ,а,+ аА [(к-а',)

у

-

,

(5.12)

■^red

где 8 - статический момент сечения бетона относительно растянутой грани;

322

момент инерции приведенного сечения относительно его центра тя­ жести

1 +	(5.13)
г д е л ,= г - а ,; у'„,=Ь-а'^-у, у, =у - а ,\	у [ =Н- а [ - у {си.рис. 5.1).

Допускается не уменьшать площадь всего сечения элемента А за счет площади сечения всей армат)фы ЪА^, если YЛs < 0,03^. В про­ тивном случае в формулах (5.7)-(5ЛЗ) вместо а используется а - 1.

Назначенное для расчета предварительное напряжение должно быть обеспечено при изготовлении предварительно напряженного элемента. Для этого устанавливаются так называемые контролируе­ мые предварительные напряжения <5соп\ и ^сопи которые указываются в проекте и контролируются при натяжении арматуры на заводе.

При натяжении арматуры на упоры контроль натяжения проис­ ходит до обжатия бетона, когда элемент не деформирован, т.е. де­ формации его равны нулю. Поэтому контролируемые напряжения ^соп\ и о^со«1 В напрягаемой арматуре 5 и <5^ по окончании натяжения на упоры равны назначенным в расчете предварительным напряже­ ниям и ^sp за вычетом потерь от деформации анкеров (5sp^^.

При натяжении арматуры на бетон контроль напряжений в ар­ матуре происходит в процессе обжатия бетона, т.е. при деформации элемента. Деформации изменяют напряжения в арматуре по сравне­ нию с теми, которые были бы в ней, если бы эти деформации отсутст­

вовали. Поэтому при назначении	контролируемого напряжения
^соп2 й сУсой2 в напрягаемой арматуре	следует учесть деформации

в бетоне от действия усилия предварительного обжатия и связанные с ними изменения напряжений в самой напрягаемой арматуре.

Сжимающее напряжение в бетоне в стадии предварительного обжатия не должно превышать: если напряжения уменьшаются или не изменяются при действии внешних нагрузок - 0,9Кьр1 если напря­ жения увеличиваются от внешних нагрузок - 0,7Кьр.

Обжатие бетона должно назначаться с учетом того, что чрезмер­ ное обжатие может вызвать в бетоне образование микро- и макротрещин, возрастание деформаций ползучести, образование продоль­ ных трещин и усложнение анкеровки напрягаемой арматуры.

Напряжение Сьр определяется на уровне крайнего сжатого во­

локна бетона с учетом потерь	Да^р2, Аа^ръ, Аа,р4 при коэффици­
енте точности натяжения = 1 -

21*

323

При применении бетона в водонасыщенном состоянии и рас­ четной температуре воздуха ниже минус 40 “С указанные предель­ ные значения сжимающих напряжений бетона следует уменьшить на

0,05Кьр.

Если напрягаемые стержни арматуры натягиваются на упоры, а в их концах в бетоне отсутствуют анкерующие устройства (см. п. 2.4), то передача обжатия на бетон при спуске натяжения происходит путем самозаанкеривания. В этом случае учитываемые в расчете предварительные напряжения арматуры изменяются линей­ но от нуля в торце элемента до максимальной величины Gsp в конце зоны длиной 1р.

Длина зоны передачи напряжения 1р определяется аналогично определению длины анкеровки арматуры в бетоне [см. формулу

(2.3)] с заменой расчетного сопротивления арматуры	на напряже­
ние <3зр. Таким образом, предварительное напряжение	в пределах

длины 1рследует умножать на коэффициент у* = У1р, где 4 - расстоя­ ние от начала зоны передачи напряжения до рассматриваемого сече­ ния.

Самозаанкеривание не допускается, если в пределах длины 1р возможно образование нормальных или наклонных трещин.

При мгновенной передаче усилия обжатия на бетон (например, путем разрезки натянутой арматуры между упором и элементом);

-для арматуры класса А значение 1р увеличивается в 1,25 раза; при этом, если диаметр арматуры превышает 18 мм, мгновенная пе­ редача усилия не допускается;

-для арматуры классов Вр и К начало зоны передачи напряже­ ний принимается на расстоянии 0,25 1рот торца элемента.

После проявления усадки и ползучести бетона до приложения

внешней нагрузки в ненапрягаемой арматуре 5 и 5" возникают сжи­ мающие напряжения а, и с/у, вызванные укорочением элемента от этих явлений.

При одинаковых модулях упругости напрягаемой и ненапрягае­ мой арматуры эти напряжения можно приравнять к потерям напря­ жения от усадки и ползучести в напрягаемой арматуре, если бы она находилась в месте ненапрягаемой. Для упрощения расчета потери от ползучести на уровне соответствующей ненапрягаемой арматуры

(.^ или 5^) можно принять равными Да 5- ^ ,	где Аст,рб -	потери от
%
ползучести соответствующей напрягаемой	арматуры ( 5	или 5 ^),

оьяр или (Зьр - напряжения в бетоне на уровне соответствующих не-

324

напрягаемой и напрягаемой арматуры; если аьр < О, напряжение с/, принимается равным нулю.

Таким образом, усилие обжатия бетона с учетом всех потерь на­ пряжений напрягаемой арматуры и напряжений в ненапрягаемой

арматуре равно
Р =	- <У.Л	(5.14)

а эксцентриситет этого усилия относительно центра тяжести приве­ денного сечения равен

%

где у„,,у'„„ у,, у' - см.рис. 5.1.

Приведем примеры определения усилия обжатия Р с учетом всех потерь напряжений.

Пример 5.1. Дано: плита покрытия размером 1,5x6 м; попереч­ ное сечение - по черт. 5.2\ бетон класса В25 {Еь = 30 ООО МПа); пе­ редаточная прочность бетона Кьр = 17,5 МПа; напрягаемая арматура класса А600 600 МПа, Es = 2'10^ МПа); площадь сечения Ахр ~ 2 0 1 мм^ (1016), ненапрягаемая арматура сжатая и растянутая класса А400 площадью сечения А^= А^ = 50,3 мм^ (108); способ на­ тяжения арматуры электротермический; технология изготовления плиты агрегатно-поточная с применением пропаривания; масса пли­ ты 1,3 т.

325

Требуется определить значение и точку приложения усилия предварительного обжатия Р с учетом всех потерь для сечения в се­ редине пролета, принимая максимально допустимое натяжение ар­ матуры.

Р а с ч е т . Ввиду симметрии сечения расчет ведем для полови­ ны сечения плиты. Определяем геометрические характеристики при­ веденного сечения согласно формулам (5.11)-(5.13), принимая

2 0 1 0 '

площадь бетона

А= 730x30 + 50x270 + 60x270/2 + 97,5x15 = 21900 + 13500 + 8100 +

+1462,5 =44 962,5 мм^;

приведенная площадь

Ared=^A + oAsp + oAs + а =44 962,5 + 6,67x201 + 6,67x50,3x2 = = 44 962,5 + 1340,7 + 671 = 46 974 мм^;

статический момент сечения бетона относительно нижней грани ребра

S = 21 900x285 + 13 500x135 + 8 100x180 + 1462,5x48,7 = 9 593 200 мм^;

расстояние от центра тяжести приведенного сечения до нижней гра­ ни ребра

	S	+ сЦ а, + о ^ ' (а - я ')
	------------------	А---------------------	“
		^red
=	9 593 200 +1340,7x35 + 335,5x20 + 335,5(300-20)			= 207,4 мм;
	--------------------- ^	^	^
		46 974
	ysp= y-ap = 207,4 -		35 = 172,4 мм;

уз = у - а ^ = 207,4 - 20 = 187,4 мм;

y's - /? - « i - j^ = 3 0 0 -2 0 -2 0 7 ,4 = 72,6MM;

326

момент инерции приведенного сечения
г	и 2 ^ . 2 ,	730-30'
Ired=I +	+ оА^у,	+ аЛ ^у- = -----------+
		1^
+21900(285 - 207,4)' + ^ ^ ^ ^ + 13500(207,4-135)"			+

+8100(207,4-180)" + ^ ^ ^ ^ ^ + 1462,5(207,4 - 48,7)" + .

1 ^

+1340,7x172,4^+335,5x187,44335,5x72,6' =4,166x10« мм".

Максимально допустимое значение ог^^,без учета потерь равно

о^р= 0,9^?^,„= 0,9x600 = 540 МПа.

Определим первые потери.

Потери от релаксации напряжений в арматуре равны

Аа,р1 = 0,03ха,р = 0,03x540 = 16 МПа.

По агрегатно-поточной технологии изделие при пропаривании нагревается вместе с формой и упорами, поэтому температурный перепад между ними равен нулю и, следовательно, Аа^р2~ 0 .

Потери от деформации формы Аа^^з и анкеров Аа^р4 при электро­ термическом натяжении арматуры равны нулю.

Таким образом, сумма первых потерь равна

=16 МПа,

аусилие обжатия с учетом первых потерь равно

Р(1) = А^р{а^р - Аа,р(1)) = 201(540-16) = 105 324 И.

Всвязи с отсутствием в верхней зоне напрягаемой арматуры

(т.е. при А'^р= 0) из формулы (5.10) имеем вор1 ^ Узр~ 172,4 мм.

Проверим максимальное сжимающее напряжение бетона аьр на уровне низа плиты от действия усилия Р(1), вычисляя аьр по формуле (5.8) при у^ = у = 207,4 мм и принимая момент от собственного веса Мравным нулю:

327

-Р(1)	105324	105 324-172,4-207,4 _
1гы	“ 46974'^	4,166-10*

= 11,28 МПа < 0,9/?бр= 0,9x17,5 = 15,75 МПа.

Максимальное напряжение бетона не превыщает допустимое значение.

Определяем вторые потери напряжений.

Потери от усадки равны		= 0 ,0 0 0 2 х2 х 10^= 40 МПа,
Потери от ползучести определяем по формуле (5.7), принимая
значения	и Еь по классу бетона В25 (поскольку Кьр == 0,7В), т.е.
согласно табл. 5.1 фб,сг= 2,5.
	а = - ^ = 6,67;
	н , , = — = ^	^	= 4,47-10-’.

'А 44962,5

Определим напряжение бетона на уровне арматуры S по форму­ ле (5.8) при ys = ysp= 172,4 мм. Для этого определяем нагрузку от по­ ловины веса плиты, равного 1300x0,01 = 13 кН.

а =0,5— = 1,083 кН/м,
6	’

и момент от этой нагрузки в середине пролета

q f	1,083-5,7^	„
М = ^ ^	= - -----^— = 4,4кНм
8		8

(здесь / = 5,7 м - расстояние между прокладками при хранении пли­ ты); тогда

CJ	- ^ ‘) I	МУх ^ 105 324				105 324-172,4'
'''''	Л е /	Ъ	46 974"^			4,166-10«
		4,4-10"-172,4		= 7 9 4	МПа.
		— :------------ ^
		4,166-10*

328

Напряжение бетона на уровне арматуры 3^

(т.е. при Уs=^у 1= 72,6 мм)

/ _105324	105324-172,4-72,6 4,4-Ю "-72,6				_
'^ ‘* 46974	4,166-10*		4,16610*		,16М Па<0,0.
Потери от ползучести
sp6	1 + аЦ,, 1+
		^гЫ	(1 + 0 ,8(р.„,)
			У
	0,8-2,5-6,67-7,94				= 76,25 МПа.
	7"	172,4--46974
				(1 + 0,8-2,5)
1 + 6,67-4,47-10' 1+
		4,166.10'*

Вторые потери для арматуры 5 равны

= 40 + 76,2 >= 116,2 МПа.

Суммарная величина потерь напряжения

Дст^ + Да^^^)"^ 16 + 116,2 - 132,2 МПа> 100 МПа,

т.е. превышает минимально учитываемое значение. Напряжение а,р2 с учетом всех потерь равно

0 ,^,2 = 540 - 132,2 = 407,8 МПа.

Усилие обжатия с учетом всех потерь напряжений Р определяем по формуле (5.14). При этом сжимающее напряжение в ненапрягае­ мой арматуре условно принимаем равным вторым потерям напря­ жений, вычисленным для уровня расположения арматуры 5, т.е.

Оз- 116,2 МПа, а поскольку < О, напряжение принима­

ем равным нулю.

1 .Р = ст,р2Л р - о ,Л =407,8x201-116,2x50,3^76 123 Н.

329

Эксцентриситет усилия Р равен

Р	407,8-20 М72.4-116.2-50,3-187,4^ 171 2мм.
	76123

Пример 5.2. Дано: свободно опертая балка с поперечным сече­ нием по рис 5.3; бетон класса В40 (Еь = 36 ООО МПа); передаточная прочность бетона Кьр = 20 МПа; напрягаемая арматура из канатов класса К1400 {Rs,„ = 1400 МПа, Es = 18*Ю'' МПа) площадью сечения:

в растянутой зоне А^р - 1699 мм^ (12015), в сжатой зоне А^^ =283 мм^ (2015); способ натяжения механический на упоры стенда; бетон

подвергается пропариванию; длина стенда 2 0	м; масса балки 1 1 ,2 т;
длина балки / = 18 м.
зео	2015К14ОО

80

1; '^		12015К14ОО
»■1	фь
2130		Тч

Рис. 5.3. К примеру расчета 5.2

Требуется определить величину и точку приложения усилия предварительного обжатия с учетом всех потерь Р для сечения в середине пролета, принимая максимально допустимое натяжение арматуры.

330

Р а с ч е т . Определяем геометрические характеристики приве­ денного сечения согласно формулам (5.11)-(5.13), принимая коэф-

фициент

=

= 5 (площадь сечения конструктивной нена-

3,6*10

прягаемой арматуры не учитываем в виду ее малости)

Для упрощения расчета высоту свесов полок усредняем Площадь сечения бетона

А= 1500x80 + 280x240 + 200x250 =

=120 ООО + 67 200 + 50 ООО = 237 200 мм";

площадь приведенного сечения

Ared =Aл-oЛsp+G.J^^ =237 200 + 5x1699 + 5x283;=?=■

= ТЫ 2 0 0 + 8495 + 1415 = 247 1 1 0 мм^

расстояние от центра тяжести сечения арматуры 5 до нижней грани бажи (учитывая, что сечения всех четырех рядов арматуры одинаковой площади)

ар^ (50 + 1 0 0 + 150 + 200)/4 = 125 мм;

статический момент сечения бетона относительно нижней грани балки

120 000x750 + 67 200x1380 + 50 000x125 = 1,89x10^ мм^;

расстояние от центра тяжести приведенного сечения до нижней грани балки

*5' +	) 1,89 ■10Ч 8495 • 125 +1415 • 1450		III мм;
У гг-------- --------^ = —------------ -------------------------- ----------- =
		247110
	ysp = y-a p - 777 -	125 = 652 мм;
	- ;; = 1450-777 = 673мм;
момент инерции приведенного сечения
	+	120 000(777-750)" +
+	+ 67 200(1380 - 777)" +	+ 5 0 000(777 -125)" +

+ 8495(777-125)"[phone] - 777)" = 7,ЗМ 0'"мм‘ .

3 3 1

Максимально допустимое значение без учета потерь равно

ОМ^,п= 0,8x1400 = 1120 МПа.

Определим первые потери.

Потери от релаксации напряжений в канатной арматуре равны

= 0 ,2 2 - ^ - 0 ,1

= (0,22 • 0 ,8 - 0,1)1120 = 85 МПа.

Температурный перепад между упорами стенда и упорами при пропаривании принимаем равным At ~ 65“. Тогда потери от этого перепада равны

1,25-Дґ= 1,25'65 ” 81 МПа.

Потери от деформации анкеров при Д/ - 2 мм и / = 20 м равны

До„, = — £	.	= —3 —18X10" -18 МПа.
•РІ I		2 .1 0 "

Потери от деформации стальной формы отсутствуют, поскольку усилие обжатия передастся на упоры стенда.

Таким образом, сумма первых потерь равна

Дст^д,)= 85 + 81 + 18 = 184 МПа > 100 МПа,

т.е. потери в дальнейшем не корректируем.

Усилие обжатия с учетом первых потерь и его эксцентриситет равны

^,) = (Лр +	-	Д'^,р(0 ) -	(1699 + 283X1120 -		184) = 1855'Ю’ Н;
	-	К К	1699 • 652	~ 283.673	,
			1699	+ 283

Проверим максимальное сжимающее напряжение бетона оьр на нижней грани балки от действия усилия Р(\), вычисляя аьр по форму­ ле (5.8) при ys= у = 777 мм и принимая момент от собственного веса Л/равным нулю;

332

4 ) ^ »	1855-10\ 1855.10^463-777	= 16,63 МПа <0,9Д,,=
л .	7,31.10'“
	= 0,9-20 = 18 МПа,
Т.е. напряжение	не превышает допустимое значение.
Определяем вторые потери напряжений.
Потери от усадки равны
	£6,./^.= 0,00025-18 10"=	45 МПа.
Потери от ползучести определяем по формуле (5.7), принимая
значения фйсг и Еь по классу бетона, равному Кьр = 20 МПа (т.е. по

классу В20, поскольку Кьр< 0,7		• 40 = 28 МПа). Согласно табл. 5.1
	, J „		Е.	18-10-
ф4,ст=2 ,8 , при В20 £4=27,5’Ю’МПа,			а = — =	-----------5-= б,55.
				27,5-10
Для арматуры^	А„	1699
	= - ^ t =— -------= 7,16-10

А237 200

для арматуры У ц	А^	783
	=	-----------= l,19•10"^

А237 200

Определим напряжение бетона на уровне арматуры 5" по формуле (5.8) лртАу^ =уsp- 652 мм, принимая момент от собственного веса бал­ ки в середине пролета. Вес балки в кН равен 11 200x0,01 = 112 кН, а нагрузка от него равна

а	=— =6,22кНм;
у.		18
а р	=	6,22-17,5' ТОО 1 гг
8		^— =238,1 кНм
		8

(здесь / = 17,5 м - расстояние между прокладками при хранении балки);

^0	Му^ 1855-10' 1855-10'-463-652 238,М 0*-652

7.3Г.ТГ

Напряжение бетона на уровне арматуры

333

(т.е. приУs = -у,р = -673 мм)
1855	10^	1855 • 10' • 463 • 673			238,М0" • 673		=1,79 МПа >0,0.
247110		7,3110 10			+ ■
					7,ЗМ 0‘
		Тогда потери от ползучести равны:
для арматуры 5"
Аа.„б =
	1 + ац,				(1 + 0 ,8<Р4 „)
				гес1	у
			0,8-2,8-6,55-13
1 + 6,55-7,1610-'				463-652-247110^		+ 0,8 -2,8)
			1 + --------------- гт;----- (1
				7,ЗМ 0‘"
				=145,9 МПа;
для арматуры З'
А < 6 =-		0,8-2,8-6,55-1,79					= 26,3 МПа.
1 + 6,551,19-10,-3			1-	463-673-247110^ (1 + 0,8 -2,8)
				7,31-10'®
Напряжения оьр с учетом всех потерь равны:
для арматуры 5
^ ..2 =	- Аа	- Аа,^5 - = 1120 -			184 - 45 -145 = 745 МПа;
для арматуры 8^
< 2 = <У.г ~ Д%(.) -			- Д< 6 = 1120 -184 - 45 - 26 = 865 МПа.
Определим усилие обжатия с учетом всех потерь Р и его эксцен­
триситет еор.’
р =		745x1699 + 865x283 = 1510x10^ Н = 1510 кН;
		- <^,р2 К у 'у		745.1699 ■652 - 865.283.673
'0/>					1510.10^		437 мм.

334

П Р И Л О Ж Е Н И Я

Приложение 1

ЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Значения физических величин в этой книге, так же как в СНиП 52-01-2003, Сводах правил и пособиях, даны в Международной сис­ теме единиц СИ. В частности, силы в этой системе принимаются в ньютонах (Н) или килоньютонах (кН), где 1 Н = 0,102 кгс, сопротив­ ления, напряжения, модули упругости и т.п. - в мегапаскалях (МПа), где 1 МПа = 1 Н/мм^ = 10,2 кгс/см', при использовании в какой-либо формуле величины в МПа остальные величины в этой формуле ре­ комендуется принимать в Н и мм (мм').

Одновременно использована система буквенных обозначений, разработанная Международной организацией стандартизации (ИСО). Особенность этой системы состоит в том, что для индексов используются буквы латинского алфавита, а соответствующие ин­ дексам слова, как правило, взяты из английского языка. Обозначение состоит из одного знака или нескольких индексов. Основной знак может изображаться приписной буквой или строчной латинского алфавита*. Все безразмерные величины обозначаются греческими буквами. Индексы используются буквенные или цифровые. Буквен­ ные индексы обозначают, как правило, сокращенное английское слово-термин и бывают одно-, двух- и трехбуквенными. Цифровой индекс обозначается арабскими цифрами. Двух- и трехбуквенные индексы отделяют от однобуквенных запятой.

Прописными латинскими буквами обозначаются не содержа­ щиеся в стандарте показатели бетона: класс по прочности на сжатие В (франц. beton) и марки по средней плотности D (англ. density), мо­ розостойкости F (англ. frost), водонепроницаемости W (англ. water), а также ряд характеристик и усилий.

‘Исключение составляет ст (греч. - сигма) - напряжение.

335

ОСНОВНЫЕ БУКВЕННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Усилия от внешних нагрузок и воздействий

впоперечном сечении элемента

М- изгибающий момент;

N —продольная сила;

Q “ поперечная сила; Т - крутящий момент;

М^н, Мі, Мш - изгибающие моменты соответственно от кратко­ временных нагрузок, от постоянных и длительных нагрузок и от всех нагрузок, включая постоянные, длительные и кратковременные.

Характеристики материалов

Кь,ц - нормативное сопротивление бетона; Р-ь.зег - расчетные сопротивления бетона осевому сжатию для

предельных состояний соответственно первой и вто­ рой групп;

- нормативное сопротивление бетона оСевому растяжению; Ры, Рь(.^ег- расчетное сопротивление бетона осевому растяжению

для предельных состояний соответственно первой и второй групп;

-расчетное сопротивление арматуры растяжению для предельных состояний соответственно первой и вто­

рой групп;

Rs„ - расчетное сопротивление поперечной арматуры растяже­ нию;

К^с - расчетное сопротивление арматуры сжатию для предельных состояний первой группы;

Кьр - передаточная прочность бетона; - расчетное сопротивление сцепления арматуры с бетоном;

Еь - начальный модуль упругости бетона при сжатии и растяже­ нии; приведенный модуль деформации сжатого бетона;

Е,. - модуль упругости арматуры; Єйо, £&о - предельная относительная деформация бетона соответственно

при равномерном осевом сжатии и осевом растяжении; Вь.зн“ относительные деформации усадки бетона; (рь.сг- коэффициент ползучести бетона;

а - отношение соответствующих модулей упругости Es и бетона Еь, V - коэффициент Пуассона.

336

Характеристики положения продольной арматуры в поперечном сечении элемента

5 - обозначение продольной арматуры:

а) при наличии сжатой и растянутой от действия внешней на­ грузки зон сечения - расположенной в растянутой зоне;

б) при полностью сжатом от действия внешней нагрузки сече­ нии - расположенной у менее сжатой грани сечения;

в) при полностью растянутом от действия внешней нагрузки сечении: для внецентренно растянутых элементов - располо­ женной у более растянутой грани сечения; для центрально растянутых элементов - всей в поперечном сечении элемента;

8 "- обозначение продольной арматуры:

а) при наличии сжатой и растянутой от действия внешней на­ грузки зон сечения - расположенной в сжатой зоне;

б) при полностью сжатом от действия внешней нагрузки сече­ нии - расположенной у более сжатой грани сечения;

в) при полностью растянутом от действия внешней нагрузки сечении внецентренно растянутых элементов - расположен­ ной у менее растянутой грани сечения.

Характеристики предварительно напряженного элемента

Р- усилие предварительного обжатия с учетом всех потерь предварительного напряжения в арматуре;

Р(1) - то же с учетом первых потерь напряжений;

-Предварительные напряжения соответственно в напря­ гаемой арматуре 5 и до обжатия бетона или в момент снижения величины предварительного напряжения в бетоне до нуля воздействием на элемент внепших фак­ тических или условных сил, определяемые с учетом потерь предварительного напряжения в арматуре, соот­ ветствующих рассматриваемой стадии работы элемен­ тов;

^зри	^ 8р1 - напряжения a,^, с учетом соответственно первых и
<5ьр -	всех потерь;
	сжимающие напряжения в бетоне в стадии предварительно­
	го обжатия, определяемые согласно гл. 5 с учетом потерь

22 Заказ40

337

предварительного напряжения в арматуре, соответст­ вующих рассматриваемой стадии работы элементов;

Уsp —коэффициент точности натяжения арматуры.

Геометрические характеристики

Ь - пшрина прямоугольного сечения; ширина ребра таврового и двутаврового сечений;

bf и Уf - ширина полки таврового и двутаврового сечений соот­ ветственно в растянутой и сжатой зонах;

h - высота прямоугольного таврового и двутаврового сечений; hfi А /- высота полки таврового и двутаврового сечений соответ­

ственно в растянутой и сжатой зонах;

Asp, ^sp - площадь сечения напрягаемой части арматуры соответственно S и S \

As, и A^s - площадь сечения ненапрягаемой части арматуры соот­ ветственно 5 и S';

а- расстояние от равнодействующих усилий в арматуре S до ближайшей грани;

а' - расстояние от равнодействующей предельных растягиваю-

цщх усилий в арматуре 6"до ближайшей грани;

c/g, dp - расстояние от равнодействующей усилий в арматуре соот­ ветственно площадью As и А,р до ближайшей грани;

Ао - рабочая высота сечения, равная h - a \ X - высота сжатой зоны бетона;

^- относительная высота сжатой зоны бетона;

-расстояние между хомутами, измеренное по длине элемента; во - эксцентриситет продольной силы N относительно центра тя­

жести приведенного сечения;

е, ^ - расстояния от точки приложения продольной силы N до равнодействующей усилий соответственно 5 и 5^;

еор - эксцентриситет усилия предварительного обжатия Р отно­ сительно центра тяжести приведенного сечения;

е^р - расстояние соответственно от точки приложения усилия предварительного обжатия Р до центра тяжести сечения арматуры S;

I - пролет элемента;

/о - расчетная длина элемента, подвергающегося действию сжи­ мающей продольной силы;

338