- •А. Кинематика материальной точки и абсолютно твердого тела
- •Основные формулы
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Б. Динамика материальной точки и абсолютно твердого тела
- •Основные формулы
- •Силы инерции
- •В. Законы сохранения
- •энергии, импульса и момента импульса
- •Основные формулы
- •Г. Механические колебания
- •Д. Элементы теории относительности
- •Основные формулы
- •Е. Молекулярное строение вещества. Уравнение состояния газа. Процессы
- •Основные формулы
- •Основные формулы
- •Решение:
- •Длина свободного пробега и число столкновений молекулы
- •З. Электростатика
- •Основные формулы
- •Расчет напряженности и потенциала электрических полей, созданных непрерывным распределением зарядов
- •Работа по перемещению заряда в электростатическом поле
- •Электроёмкость. Конденсаторы
- •Движение заряженных частиц в электрическом поле
- •И. Магнитостатика
- •Основные формулы
- •Сила Ампера
- •Сила Лоренца
- •Решение:
- •К. Законы постоянного тока
- •Л. Электромагнетизм
- •Основные формулы
- •Решение
- •М. Волновая оптика
- •Н. Квантовая оптика
- •Тепловое излучение
- •Фотоэффект
- •Комптон – эффект
- •Фотоны
- •Давление света
- •О. Квантовая механика
- •Волны де Бройля
- •П. Ядерная физика
Длина свободного пробега и число столкновений молекулы
Ж - 4
Найти среднее число столкновений Z в единицу времени молекул
азота и среднюю длину l свободного пробега молекулы при давлении P=53,33кПа и температуре t = 270C.
Решение:
Среднее число столкновений молекул в единицу времени определяется формулой:
Z = 2p s 2n V ,
где s - диаметр молекулы (находится по таблице: s = 3×10-10м); n – число
молекул в единице объёма: n = P/kT; <V> = (8RT/pm)1/2-средняя скорость. Подставляя в формулу для Z значения n и V, а так же учитывая,
что R=kN0, где N0=6,02×1023 моль-1– число Авогадро, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z = 4s 2P |
|
|
p N0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kTm |
|
|
|
|
|
|
||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Z = 4 × |
9 × 10− 20 × |
53,33× 103 |
|
p × 6,02 × 1023 |
|
|
|
= |
2,5 × 109 c− 1. |
|||||||||||||
1,38 × 10− 23 × 300 × 28 × 10− |
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Средняя длина свободного пробега |
10− 23 × 300 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
l = |
V |
= |
|
kT |
|
= |
|
|
1,38 × |
|
|
= |
1,9 × 10− 7 м. |
|||||||||
Z |
|
|
|
2P |
|
|
|
|
× 10− 10 )2 53,33× 103 |
|
|
|||||||||||
2p s |
2 |
× 3,14 × (3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ж - 5
Найти показатель политропы n процесса, совершаемого идеальным газом, при котором остаётся неизменным коэффициент:
а) диффузии D=const; б) вязкости η =const; в) теплопроводности f=const.
Решение. Для политропического процесса
PVn = const , где
P-давление газа, V- его объём, n – показатель политропы. а) Коэффициент диффузии
D = 13 v l , где
v = |
|
8kT |
|
- средняя скорость молекул, |
|||
|
p m0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
l = |
|
|
1 |
|
|
|
- средняя длина свободного пробега молекул, |
|
p d2n |
|
|||||
|
|
2 |
|
d – диаметр молекулы,
n – концентрация молекул.
Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории
выразим n – концентрацию молекул, затем, подставив n формулу для λ – длины свободного пробега и используя формулу для средней скорости молекул, получим выражение для коэффициента диффузии:
P = nkT Þ |
n = |
P |
Þ |
l = |
kT |
|
Þ |
||
|
p d2 P |
|
|
||||||
kT |
|||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
8kT |
|
|
|
kT |
|
|
|||
Þ |
D = 3 |
|
v l |
= |
|
|
|
× |
|
|
|
|
,откуда |
|||||||||
3 |
|
p m0 |
|
|
p d2 P |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
D = ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
)× |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
8 × k |
|
× |
|
k |
|
|
T 2 |
или D = |
A × |
T 2 |
, где |
||||||||||
|
6p m |
|
|
p d |
2 |
|
|
P |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
P |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через А обозначена группа постоянных величин в скобке.
Выразим температуру Т из уравнения Менделеева – Клапейрона:
PV = ν RT |
Þ |
T = |
PV |
|
|
и, подставив её в выражение для |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициента диффузии, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
(PV )2 = |
é |
A |
|
|
|
|
||||||
|
D = A × |
|
|
ù × P 2 |
× V 2 . |
|||||||||||||
|
|
ê |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
P |
n R |
|
|
3 |
ú |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë ( n R) |
2 |
û |
|
|
|
|||
Поскольку по условию D = const , то |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
é |
A |
ù 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
D |
|
= |
ê |
|
|
|
|
ú |
× PV |
|
или |
|
PV |
|
= const , |
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ë |
( n R) 2 û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, показатель политропы в данном процессе n = 3.
б) |
Коэффициент вязкости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
h |
= |
1 v l r , где r |
= m0 × n - плотность газа. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполняя действия, аналогичные предыдущим, получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
8kT |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8km0 × |
1 |
|||||||||||||||
|
h |
= |
|
× |
|
|
|
× m0 n = |
|
|
× T 2 = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p d2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p d2 n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 p m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6p |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]× (PV ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
8km0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
× |
|
|
2 |
Þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
6p |
|
p d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Возведем η в квадрат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
ï |
|
|
|
8km0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 ï |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
= í |
ç |
|
|
|
6p |
|
× |
|
p d |
2 |
÷ |
|
× |
n R |
ý PV . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
ï |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
||||||
|
Т. к. по |
условию |
|
|
h 2 = const , то |
|
PV = |
const |
следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||
показатель политропы в данном процессе n = 1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
Коэффициент теплопроводности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = |
|
|
h |
|
× Cv , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
где CV - молярная теплоёмкость при постоянном объёме. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
СV = |
i |
× R , где i - число степеней свободы. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||
т.к. в CV не входят ни P, ни T, ни V, то СV |
|
= |
|
× R = const. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда такие же вычисления, что и в пункте б) дадут тот же результат, т.е.
PV = const
следовательно, показатель политропы в данном процессе n = 1.