1.5.1. Модели с.С.Кутателадзе и н.Зубера для кризиса кипения в большом объеме

Как известно, кризисом кипения называется прекращение пузырь-кового режима кипения, которое при заданной тепловой нагрузке поверх-ности приводит к ее разрушению. Надежное определение этой величины имеет большое значение при проектировании парогенерирующих аппаратов. В 1947 г. С.С.Кутателадзе предложил так называемую гидродинамическую модель кризиса кипения[ ] .

Суть гидродинамической модели состоит в следующем. Рассмотрим двухфазный граничный слой над обогреваемой поверхностью, на которой образуются пузыри пара. При этом будем считать, что влияние вязкости пренебрежимо мало. Динамический напор пара, образующегося на поверхности нагрева имеет порядок . При высоких значениях указанного динамического напора возможно оттеснение жидкости от поверхности нагрева. В этом случае подпитка пристенного слоя жидкостью прекратится и двухфазный слой потеряет устойчивость. В результате возникнет паровая пленка и теплоотдача резко упадет.

Работу оттеснения жидкости от стенки можно считать равной ,

где  - толщина возникающего парового слоя. Порядок этой толщины можно считать равным введенной выше лапласовой постоянной

что следует из соображений размерности. Поскольку в рамках рассмат-риваемой модели возникновение кризиса ( потери устойчивости двухфазного пузырькового слоя) равновероятно в любой точке поверхности, то соотноше-ние двух рассматриваемых величин должно быть постоянным числом, т.е.

~

Условием потери устойчивости будет k = const. Для случая кипения

Тогда окончательно получим

(30)

Значение константы было найдено из экспериментальных данных и оказалось в пределах 0,13-0,16.

Заметим, что зависимость вида (30) не удается получить из чистых соображений размерности даже положиви пренебрегаяв раз-ности, поскольку в списке переменных фигурируют две величины, имеющие одинаковую размерность -и. Поэтому определить раздельно их степени не представляется возможным.

Как мы видели, модель Кутателадзе не содержит той степени детали-зации, которая позволила бы определить численное значение константы k. Н.Зубер в начале 50-х годов прошлого века предложил модель, которая содержала уже конкретную, хотя и упрощенную, схему взаимодействия жидкости и пара. При высоких плотностях теплового потока у поверхности нагрева возникает система паровых струй. Цилиндрическая струя пара вступает во взаимодействие с встречным потоком жидкости. Эта струя становится неустойчивой, на ее поверхности развиваются волны, которые в конечном итоге приводят к ее разрушению. Разрушение струй приводит к накоплению пара у стенки и оттеснению жидкости, что соответствует возникновению кризиса и в этом смысле соответствует модели Кутателадзе. Диаметр и размещение струй определяется исходя из размеров так называемых волн неустойчивости Тейлора, развивающихся на горизонталь-ной границе между паром и расположенной над ним жидкостью ( см. рис.2). Длина волны выбиралась, как средняя арифметическая между длиной, соответствующей границе устойчивости, и длиной, соответствующей максимальной скорости роста амплитуды волны в результате потери устойчивости. Таким образом, строго говоря, в модели Зубера рассмат-ривается обратный переход через максимальное значение плотности теплового потока. При этом была получена следующая формула для q_кр :

(31)

Величина = 0,131 хорошо соответствует экспериментальному зна-чениюk. Дополнительный множитель, отличающий друг от друга формулы (30) и (31) практически равен единице за исключением давлений близких к критическому,

Выше мы рассматривали стекание ламинарной тонкой пленки по вертикальной поверхности в стационарном приближении. При этом капиллярные силы не играют роли и решение задачи имеет весьма простой вид. Рассмотрим теперь другой возможный режим стекания – волновой. Указанный режим был открыт и исследован П.Л.Капицей. В этом случае течение уже оказывается нестационарным. Чтобы упростить изложение мы не будем выводить уравнение движения. Заметим лишь, что при его выводе используются предположения о том, что волны на поверхности пленки явля-ются длинными, т.е. a/ <<1 (a – амплитуда волны,  - длина волны ) и ско-рость в каждом сечении пленки имеет то же параболическое распределение, что и для стационарного случая

–средняя по сечению скорость, h – толщина пленки

После интегрирования уравнения движения по поперечной

координате у получим уравнение движения с 2-мя переменными

v и h. Это уравнение имеет вид

где  - кинематическая вязкость

Уравнение неразрывности оказывается в этом случае

п

Рис.3.2. Волновое

течение пленки

на вертикальной поверхности

ростым и наглядным.

Для удобства запишем толщину слоя h в форме

h = h₀ (1 + )

где  - малая величина ( т.е. амплитуда волн мала)

Положим, что волны на поверхности пленки не затухают (ниже справедливость этого предположения будет доказана). Тогда величины, входящие в уравнения должны быть функциями аргумента (x – ct), где с – фазовая скорость волн.

Тогда

Интегрируя при этих условиях уравнение неразрывности находим

h₀ (c – v)(1 + ) = h₀ (c – v₀)

где v₀ - скорость потока при h = h₀

Учитывая малость , последнее с точностью до малых 3-го порядка можно переписать как

Подставляя все полученные соотношения в уравнение движения (), получим

Чтобы уравнение () имело незатухающее периодическое решение необходимо, чтобы последние два члена были равны нулю. То есть

и c – 3v₀ = 0

Тогда получаем уравнение

Если в первом приближении положить с = 3v₀ , то решение уравнения () будет

 =  sin (k x -  t)

где ;  = ck  3v₀c ,

То есть частота пропорциональна скорости v₀. Это отличает рассматриваемые волны от обычных капиллярных волн, для которых  дается формулой

При конечных скоростях волны не затухают. Они поддерживаются за счет работы гравитационных сил. Баланс этой работы и диссипируемой за счет вязкости энергии должен определить амплитуду волн – h₀. Диссипируемая мощность с учетом того, что

<< дается формулой

а после интегрирования

Для усреднения по длине используем интегрирование по длине волны

Подстрочный знак ср. означает усреднение по длине,  -динамическая вязкость.

Средняя мощность работы силы тяжести на единицу длины составляет

Учитывая полученные выше выражения, связывающие ,и приравнивая выражения () и () можно получить уравнение баланса мощности движущих и диссипативных сил, которое имеет вид

где функция Ф – интеграл, зависящий от с/v₀ и . Капица искал минимум функции Ф, который, как это видно из () дает минимум толщине пленки h_0. Поиск этого минимума оказывается довольно громоздким, поскольку требует последовательных приближений.

Мы приведем здесь только результаты.

 = 0,21; с = 2,4v₀ ; Ф = 0,8; k = (0,9 gQ/ )^1/2

Конкретное ограничение, связанное с длиной волны выражается неравенством

 > 14 h₀.

Заметим, что для этого варианта коэффициент теплоотдачи оказывается примерно на 20:% выше, чем по формуле Нуссельта, что связано с уменьшением средней толщины волновой пленки по сравнению с гладкой.