2.4.6. Использование дополнения Хантли
Теперь рассмотрим вывод зависимости для коэффициента теплоотдачи на начальном участке при ламинарном течении в трубе. Однако, используем дополнение, предложенное Хантли. Выше уже говорилось о том, что увеличение числа размерностей в может привести к получению более однозначных результатов, если такое добавление не приводит к появлению новых размерных постоянных
Суть дополнений, внесенных Хантли, состоит в том, что если рассмат-ривается масштаб некоторой векторной величины, то в качестве размерно-стей можно использовать ее отдельные компоненты, если они раздельно вхо-дят в переменные величины, характеризующие рассматриваемую задачу. Чаще всего это положение можно реализовать в отношении координат. Действительно, в задаче могут фигурировать процессы, масштаб которых различен в зависимости от пространственной координаты, вдоль которой протекает процесс. Например, при передаче теплоты в канале процесс тепло-проводности протекает вдоль поперечной координаты, а конвективный перенос теплоты - вдоль продольной.
Используем подобный подход для получения формы зависимости для теплоотдачи на входном участке трубы. Коэффициент теплоотдачи зависит от следующих величин.
= f ( d, x, w, a, )
Всего в зависимости фигурирует 6 величин.
Будем считать, что мы имеем две размерности длины - М1 и М2. Поскольку мы имеем еще три размерности – Дж, с, К, то остается лишь один безразмерный комплекс, который должен быть константой.
a b ac xd we df = const (20)
В предыдущих примерах мы приводили полученные значения показателей степени без вывода, поскольку процесс решения системы линейных уравне-ний достаточно прост. Однако, в данном случае, учитывая некоторые его особенности мы продемонстрируем всю процедуру.
Запишем левую часть этой формулы в размерностях
[Дж/(М22 К)] а [Дж/(М2 К)] b [M22/c] c M1d [M1/c] e M2 f
В силу безразмерности комплекса суммарный показатель степени для каждой размерности должен быть равен нулю
Система для определения показателей степени имеет вид
a + b = 0
2a + b –2c –f = 0
a + b = 0 (21)
c + e = 0
d + e = 0
Поскольку система (20) однородна, мы можем выбрать произвольно одну из неизвестных. Положим а = 1. Тогда последовательно можно получить
b = - 1, 2c + f = 1, d = c = - e
Из-за идентичности первого и третьего уравнений один показатель остается неопределенным.
Для удобства положим
d = 1/n, c =1/n e = -1/n f = 1 –2/n
Тогда мы можем записать
-1 a1/n x1/n w-1/nd1 –2/n = const
Иначе
Nu = C (Pe d/x)1/n (22)
Таким образом, неизвестным остался лишь показатель степени. Оказывается, что для данного случая n = 3.
Заметим, что в большей степени, чем локальные, расчетчиков инте-ресуют средние коэффициенты теплоотдачи на заданной длине канала. Выше мы уже получили формулу для средней теплоотдачи на участке пластины длиной L. Общая форма для перехода к средним значениям теплоотдачи имеет для трубы следующий вид
(23)
Конкретно для формулы (23) получим
(24)
Полное решение поставленной задачи показывает, что формула (24) имеет следующий окончательный вид
(25)
Необходимо обратить внимание, насколько удобной оказывается интерпретация Хантли. Используя лишь один масштаб длины, мы бы не смогли получить столь близкую к реальной форму решения задачи.
В заключение используем этот же метод для определения установив-шейся теплоотдачи. По смыслу задачи зависимость от продольной координа-ты х отсутствует. Тогда мы исходно имеем d = 0. То есть в систему (21)
для определения показателей степени мы должны подставить d = 0. Тогда
с = 0 и е = 0. Как и ранее имеем a=1, b =-1. Но тогда f = 1. Таким образом,
d / = C или Nu = C .